Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

7.3. Análisar árvores de busca
Fato 7.1 (Graham, Knuth e Patashnik [32, cap. 7.3])
Uma expressão para os termos gn de sequência gn que satisfaz uma recorrência
pode ser obtido da seguinte maneira:
1. Expressa a recorrência em forma de uma equação única que é válida
para todo inteiro n, supondo que g−1 = g−2 = · · · = 0.
2. Multiplica a equação por zn e soma sobre todos n. Com isso obtemos
uma equação com a função geradora G(z) =
n gn n no lado da esquerda.
Manipula o lado da direita para obter uma expressão que depende de
G(z).
3. Resolve a equação para obter uma fórmula fechada para G(z).
4. Expande G(z) em uma série de potências. O coeficiente de z n é uma
expressão fechada para gn.
Caso G(z) = P (z)/Q(z) é uma função racional temos ainda
Teorema 7.1 (General expansion theorem for rational generating functions [32, cap. 7.3])
Caso G(z) = P (z)/Q(z) com Q(z) = q0(1−ρ1z) m1 · · · (1−ρlz) ml com ρ1, . . . , ρl
números diferentes, e P (z) é um polinômio de grau menos que m1 + · · · + ml
então
[z n ]G(z) = f1(n)ρ n 1 + · · · + fl(n)ρ n l para todo n ≥ 0 (7.2)
com fk(n) um polinômio de grau mk − 1.
Corolário 7.1 (Graham, Knuth e Patashnik [32])
Dado a recorrência
tn =
Θ(1) n ≤ max1≤i≤k di
i∈[k] αitn−di caso contrário
seja α a raiz com a maior valor absoluto com multiplicidade l do polinômio
característico
z d − α1z d−d1 − · · · − αkz d−dk
com d = maxk dk. Então
((d1, . . . , dk) é o vetor de bifurcação.)
tn = Θ(n l−1 α n ) = Θ ∗ (α n ).
175