Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Objetivo Minimizar o número de cores |C|.
7.2. Branch-and-bound
• Coloração de grafos de intervalo é um problema polinomial.
• Para um grafo qualquer este problema é NP-completo.
• Dois números são interessantes nesse contexto:
– O número de clique ω(G): O tamanho máximo de uma clique que
se encontra como sub-grafo de G.
– O número cromático χ(G): O número mínimo de cores necessárias
para colorir G.
• Obviamente: χ(V ) ≥ ω(G)
• Um grafo G é perfeito, se χ(H) = ω(H) para todos sub-grafos H.
• Verificar se o grafo permite uma 2-coloração é polinomial (grafo bipartido).
• Um grafo k-partido é um grafo cujos vértices podem ser particionados
em k conjuntos disjuntos, nos quais não há arestas entre vértices de um
mesmo conjunto. Um grafo 2-partido é o mesmo que grafo bipartido.
Coloração de Grafos
• A coloração de mapas é uma abstração do problema de colorir vértices.
• Projete um algoritmo de backtracking para colorir um grafo planar
(mapa).
• Um grafo planar é aquele que pode ser representado em um plano sem
qualquer intersecção entre arestas.
• Algoritmo O(n n ), supondo o caso em que cada área necessite uma cor
diferente
• Teorema de Kuratowski: um grafo é planar se e somente se não possuir
minor K5 ou K3,3.
• Teorema das Quatro Cores: Todo grafo planar pode ser colorido com
até quatro cores (1976, Kenneth Appel e Wolfgang Haken, University of
Illinois)
169