Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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1. Introdução e conceitos básicos obtendo ⎛ 1 ⎝0 2 −3 3 −5 ⎞ 2 −4⎠ ; 0 −6 −12 −8 ⎛ 1 ⎝0 2 −3 3 −5 ⎞ 2 −4⎠ 0 0 −2 0 e logo x3 = 0, x2 = 3/4, x1 = 1/2 é uma solução. ♦ Logo temos um algoritmo que determina a solução com 1≤i≤n 3(n − i + 1)(n − i) = n 3 − n operações de ponto flutuante, que é (exceto valores de n bem pequenos) consideravelmente melhor que os resultados com n! operações acima 2 . Observe que esse método também fornece o determinante do matriz: ela é o produto dos elementos na diagonal! De fato, o método é um dos melhores para calcular o determinante. Observe também que ela não serve para melhorar o método de Cramer, porque a solução do problema original já vem junto. Qual o melhor algoritmo? • Para um dado problema, existem diversos algoritmos com desempenhos diferentes. • Queremos resolver um sistema de equações lineares de tamanho n. • O método de Cramer precisa ≈ 6n! operações de ponto flutuante (OPF). • O método de Gauss precisa ≈ n 3 − n OPF. • Usando um computador de 3 GHz que é capaz de executar um OPF por ciclo temos n Cramer Gauss 2 4 ns 2 ns 3 12 ns 8 ns 4 48 ns 20 ns 5 240ns 40 ns 10 7.3ms 330 ns 20 152 anos 2.7 µs 2 O resultado pode ser melhorado considerando que aji/aii não depende do k 14
Motivação para algoritmos eficientes • Com um algoritmo ineficiente, um computador rápido não ajuda! • Suponha que uma máquina resolva um problema de tamanho N em um dado tempo. • Qual tamanho de problema uma máquina 10 vezes mais rápida resolve no mesmo tempo? Número de operações Máquina rápida log2 n N 10 n 10N n log2 n n 10N (N grande) 2 √ 10N ≈ 3.2N n3 3 √ 10N ≈ 2.2N 2n 3 N + log2 10 ≈ N + 3.3 n N + log3 10 ≈ N + 2.1 Exemplo 1.4 Esse exemplo mostra como calcular os dados da tabela acima. Dado um algoritmo que precisa f(n) passos de execução numa determinada máquina. Qual o tamanho de problema n ′ que podemos resolver numa máquina c vezes mais rápido? A quantidade n ′ satisfaz f(n ′ ) = cf(n). Para funções que possuam uma inversa (por exemplo funções monotônicas) obtemos n ′ = f −1 (cf(n)). Por exemplo para f(n) = log 2 n e c = 10 (exemplo acima), temos log 2 n ′ = 10 log 2 n ⇐⇒ n ′ = n 10 . ♦ Crescimento de funções 15
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Recorrências simplificadas Formalm
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• Prove por indução que T (n) =
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unidade. Em total a avaliação pro
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V ′ = V ∪ {s ∗ , t ∗ } 9.1.
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s 30 19 12 i 10 10 j 10 10 10 1010
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Solução Um fluxo s-t f com valor
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Objetivo Minimiza o valor c(M) de M
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v10 v9 v1 v8 v2 v3 v7 v6 v4 v5 v10
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Parte IV. Teoria de complexidade 23
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Proposição A.3 (Regras para pisos
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Uma aplicação: 1≤i≤n ix i =
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Índice DSPACE, 252 DTIME, 252 NP,
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função concava, 297 convexa, 297
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teorema de Savitch, 256 tese de Cob
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Bibliografia [15] Thomas H. Cormen
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Bibliografia [42] Jon Kleinberg e
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Bibliografia [72] V. Vassilevska Wi
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