Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Conjunto independente máximo
Instância Um grafo não-direcionado G = (V, E).
7.2. Branch-and-bound
Solução Um conjunto independente M ⊆ V , i.e. para todo m1, m2 ∈ V
temos {m1, m2} ∈ E.
Objetivo Maximiza a cardinalidade |M|.
Uma abordagem similar com a cobertura por vértices resolve o problema: caso
o grau máximo do grafo é dois, o problema possui uma solução em tempo
linear. Caso contrário existe ao menos um vértice de grau três. Caso o vértice
faz parte do conjunto independente máximo podemos remover {v} ∪ N(v)
do grafo, para encontrar a conjunto independente máximo no grafo restante.
Caso contrário podemos remover v. Com isso obtemos a recorrência
T (n) ≤ T (n − 1) + T (n − 4)
para o número de folhas da árvore de busca. A recorrência possui solução
O(1.39 n ), melhor que a abordagem direta de testar os 2 n subconjuntos. ♦
7.2. Branch-and-bound
Branch-and-bound
Ramifica-e-limite (ingl. branch-and-bound)
• Técnica geral para problemas combinatoriais.
Branch and Bound is by far the most widely used tool for
solving large scale NP-hard combinatorial optimization problems.
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• Idéia básica:
– Particiona um problema em subproblemas disjuntos e procura soluções
recursivamente.
– Evite percorrer toda árvore de busca, calculando limites e cortando
sub-árvores.
• Particularmente efetivo para programas inteiras: a relaxação linear fornece
os limites.
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