Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar
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7. Árvores de busca, backtracking e branch-and-bound 7.1.1. Exemplo: Cobertura por vértices Considere Cobertura por vértices (ingl. vertex cover) Instância Grafo não-direcionado G = (V, E). Solução Uma cobertura C ⊆ V , i.e. ∀e ∈ E : e ∩ C = ∅. Objetivo Minimiza |C|. A versão de decisão de Cobertura por vértices é NP-completo. O que fazer? 1 3 20 21 18 19 Simplificando o problema 158 • Vértice de grau 1: Usa o vizinho. 17 2 • Vértice de grau 2 num triângulo: Usa os dois vizinhos. 23 22 24 4 16 10 25 15 5 13 14 6 9 12 8 7 11
Algoritmo 7.1 (Redução de cobertura por vértices) Entrada Grafo não-direcionado G = (V, E). 7.1. Backtracking Saída Um conjunto C ⊆ V e um grafo G ′ , tal que cada cobertura de vértices contém C, e a união de C com a cobertura mínima de G ′ é uma cobertura mínima de G. 1 Reduz (G) := 2 while ( alguma r e g r a em baixo se a p l i c a ) do 3 Regra 1 : 4 i f ∃u ∈ V : deg(u) = 1 then 5 s e j a {u, v} ∈ E 6 C := C ∪ {v} 7 G := G − {u, v} 8 end i f 9 Regra 2 : 10 i f ∃u ∈ V : deg(u) = 2 then 11 s e j a {u, v}, {u, w} ∈ E 12 i f {v, w} ∈ E then 13 C := C ∪ {v, w} 14 G := G − {u, v, w} 15 end i f 16 end while 17 return (C, G) Uma solução exata com busca exaustiva: Árvore de busca Algoritmo 7.2 (Árvore de busca) Entrada Grafo não-direcionado G = (V, E). Saída Cobertura por vértices S ⊆ V mínima. 1 minVertexCover (G):= 2 i f E = ∅ return ∅ 3 e s c o l h e {u, v} ∈ E 159
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7. Árvores <strong>de</strong> busca, backtracking e branch-and-bound<br />
7.1.1. Exemplo: Cobertura por vértices<br />
Consi<strong>de</strong>re<br />
Cobertura por vértices (ingl. vertex cover)<br />
Instância Grafo não-direcionado G = (V, E).<br />
Solução Uma cobertura C ⊆ V , i.e. ∀e ∈ E : e ∩ C = ∅.<br />
Objetivo Minimiza |C|.<br />
A versão <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisão <strong>de</strong> Cobertura por vértices é NP-completo.<br />
O que fazer?<br />
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Simplificando o problema<br />
158<br />
• Vértice <strong>de</strong> grau 1: Usa o vizinho.<br />
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• Vértice <strong>de</strong> grau 2 num triângulo: Usa os dois vizinhos.<br />
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