Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

1. Introdução e conceitos básicos
obtendo ⎛
1
⎝0 2
−3
3
−5
⎞
2
−4⎠
;
0 −6 −12 −8
⎛
1
⎝0 2
−3
3
−5
⎞
2
−4⎠
0 0 −2 0
e logo x3 = 0, x2 = 3/4, x1 = 1/2 é uma solução. ♦
Logo temos um algoritmo que determina a solução com
1≤i≤n
3(n − i + 1)(n − i) = n 3 − n
operações de ponto flutuante, que é (exceto valores de n bem pequenos) consideravelmente
melhor que os resultados com n! operações acima 2 .
Observe que esse método também fornece o determinante do matriz: ela é o
produto dos elementos na diagonal! De fato, o método é um dos melhores para
calcular o determinante. Observe também que ela não serve para melhorar o
método de Cramer, porque a solução do problema original já vem junto.
Qual o melhor algoritmo?
• Para um dado problema, existem diversos algoritmos com desempenhos
diferentes.
• Queremos resolver um sistema de equações lineares de tamanho n.
• O método de Cramer precisa ≈ 6n! operações de ponto flutuante (OPF).
• O método de Gauss precisa ≈ n 3 − n OPF.
• Usando um computador de 3 GHz que é capaz de executar um OPF por
ciclo temos
n Cramer Gauss
2 4 ns 2 ns
3 12 ns 8 ns
4 48 ns 20 ns
5 240ns 40 ns
10 7.3ms 330 ns
20 152 anos 2.7 µs
2 O resultado pode ser melhorado considerando que aji/aii não depende do k
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