Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6. Divisão e conquista
Entrada
Medianos
Mediano
Partição
x1 x2 x3 x4 x5 x6
M(k, n)
m
· · ·
xi < m m
xi ≥ m
Recursão k < i : k = i : k > i :
M(k, i − 1) Encontrado M(k − i, n − i)
Figura 6.2.: Funcionamento do algoritmo recursivo para seleção.
13 Sejam y ′ 1, . . . , y ′ 14
k os pontos ordenados por y
com d i s t â n c i a em x menos que δ para xm .
15 for i ∈ [k] do
16 for j ∈ {i, . . . , i + 13} ∩ [k] do
17 i f ||yi − yj|| < ||p − q|| then (p, q) := (yi, yj)
18 end for
19 end for
20 return (p, q)
Observação 6.2
O pré-processamento garante que podemos obter os pontos dos subproblemas
ordenados por x e por y em tempo linear. Ordenar os pontos na rotina leva a
recorrência Tn = T ⌊n/2⌋ + T ⌈n/2⌉ + O(n log n) com solução O(n log 2 n). ♦
6.3.3. Seleção
Dado um conjunto de números, o problema da seleção consiste em encontrar
o k-ésimo maior elemento. Com ordenação o problema possui solução em
tempo O(n log n). Mas existe um outro algoritmo mais eficiente. Podemos
determinar o mediano de grupos de cinco elementos, e depois o recursivamente
o mediano m desses medianos. Com isso, o algoritmo particiona o conjunto
de números em um conjunto L de números menores que m e um conjunto R
de números maiores que m. O mediano m é na posição i := |L| + 1 desta
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xn