Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6. Divisão e conquista
e possui solução T (n) = O(n 3 ), que demonstra que essa abordagem não é
melhor que algoritmo simples. Strassen inventou as equações
M1 = (A11 + A22)(B11 + B22)
M2 = (A21 + A22)B11
M3 = A11(B12 − B22)
M4 = A22(B21 − B11)
M5 = (A11 + A12)B22
M6 = (A21 − A11)(B11 + B12)
M7 = (A12 − A22)(B21 + B22)
C11 = M1 + M4 − M5 + M7
C12 = M3 + M5
C21 = M2 + M4
C22 = M1 − M2 + M3 + M6
(cuja verificação é simples). Essas equações contém somente sete multiplicações
de matrizes de tamanho n/2, que leva à recorrência
T (n) = 7T (n/2) + O(1)
para o número de multiplicações, cuja solução é T (n) = O(n log 2 7 ) = O(n 2.81 ).
6.3.2. Menor distância
Dado pontos p1, . . . , pn, pi no plano
uma abordagem direta de encontrar
o par de menor distância euclidiana
possui complexidade Θ(n 2 ). Usando
divisão e conquista um algoritmo de
complexidade O(n log n) é possível.
A ideía é ordenar os pontos por uma
coordenada, dividir em dois subconjuntos
iguais, buscar o par de menor
distância em cada subconjunto e juntar
os resultados. O candidato para
o par de menor distância e o par de
menor distância δ dos dois subconjuntos.
A combinação dos resultados
é o parte mais difícil deste algoritmo,
porque temos que tratar o caso que
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δ