Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6.3. Algoritmos usando divisão e conquista
Exemplo 6.11
Considere T (n) = 2T (n/2) + n/ log n do exemplo 6.8 (que não pode ser resolvido
pelo teorema Master). Novamente p = 1 e temos
T (n) ∈ Θ(n + (1 +
n
1
1/(u log u) du)) = Θ(n(1 + [log log u] n 1 )
6.3. Algoritmos usando divisão e conquista
6.3.1. O algoritmo de Strassen
= Θ(n(1 + log log n))
= Θ(n log(log n))
No capítulo 2.2.2 analisamos um algoritmo para multiplicar matrizes quadradas
de tamanho (número de linhas e colunas) n com complexidade de O(n 3 )
multiplicações. Um algoritmo mais eficiente foi proposto por Strassen [63].
A idéia do algoritmo é: subdivide os matrizes num produto A × B = C em
quatro sub-matrizes com a metade do tamanho (e, portanto, um quarto de
elementos):
A11 A12
A21 A22
B11 B12
×
B21 B22
=
C11 C12
C21 C22
Com essa subdivisão, o produto AB obtem-se pelas equações
C11 = A11B11 + A12B21
C12 = A11B12 + A12B22
C21 = A21B11 + A22B21
C22 = A21B12 + A22B22
e precisa-se de oito multiplicações de matrizes de tamanho n/2 ao invés de
uma multiplicação de matrizes de tamanho n. A recorrência correspondente,
considerando somente multiplicações é
T (n) = 8T (n/2) + O(1)
.
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