Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6. Divisão e conquista
para um ɛ > 0 e a constante x0 e suficientemente grande2 temos que
T (x) ∈ Θ x p
x
g(u)
1 + du
1 up+1 com p tal que
p
1≤i≤k aibi = 1.
Observação 6.1
As funções hi(x) servem particularmente para aplicar o teorema para com
pisos e tetos. Com
hi(x) = ⌈bix⌉ − bix
(que satisfaz a condição de h, porque hi(x) ∈ O(1)) obtemos a recorrência
T (x) =
Θ(1)
1≤i≤k
se x ≤ x0
aiT (⌈bix⌉) + g(x) caso contrário
demonstrando que obtemos a mesmo solução aplicando tetos. ♦
Exemplo 6.9
Considere a recorrência
T (n) = T (n/5) + T (7n/10 + 6) + O(n)
(que ocorre no algoritmo da seleção do k-ésimo elemento). Primeiro temos
que achar um p tal que (1/5) p + (7/10) p = 1 que é o caso para p ≈ 0.84. Com
isso, teorema (6.1) afirma que
T (n) ∈ Θ(n p + (1 +
n
c1u/u
1
p+1 du)) = Θ(n p n
(1 + c1
1
u −p du))
= Θ(n p (1 + c1
1 − p n1−p ))
= Θ(n p + c1
n) = Θ(n)
1 − p
Exemplo 6.10
Considere T (n) = 2T (n/2)+n log n do exemplo 6.7 (que não pode ser resolvido
pelo teorema Master). 2(1/2) p = 1 define p = 1 e temos
T (n) ∈ Θ(n + (1 +
n
2 As condições exatas são definidas em Leighton [47].
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1
log u/u du)) = Θ(n(1 + [log 2 (u)/2] n 1 )
= Θ(n(1 + log 2 (n)/2))
= Θ(n log 2 (n))
♦