Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

1. Introdução e conceitos básicos
(Os dados correspondem ao consenso científico no momento; obviamente novos
descobrimentos podem os mudar Wilkinson Microwave Anisotropy Probe [71],
Lloyd [50])
Métodos para resolver um sistema de equações lineares Como resolver um
sistema quadrático de equações lineares
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
ou Ax = b? Podemos calcular a inversa da matriz A para chegar em x = bA −1 .
O método de Cramer nos fornece as equações
xi = det(Ai)
det(A)
seja Ai a matriz resultante da substituição de b pela i-gésima coluna de A.
(A prova dessa fato é bastante simples. Seja Ui a matriz identidade com a
i-gésima coluna substituído por x: é simples verificar que AUi = Ai. Com
det(Ui) = xi e det(A) det(Ui) = det(Ai) temos o resultado.) Portanto, se o
trabalho de calcular o determinante de uma matriz de tamanho n × n é Tn,
essa abordagem custa (n + 1)Tn. Um método direto usa a fórmula de Leibniz
det(A) =
σ∈Sn
sgn(σ)
1≤i≤n
a i,σ(i)
Isso precisa n! adições (A) e n!n multiplicações (M), com custo total
(n + 1)(n!A + n!nM) ≥ n!(A + M) ≈ √ 2πn(n/e) n (A + M),
um número formidável! Mas talvez a fórmula de Leibniz não é o melhor jeito
de calcular o determinante! Vamos tentar a fórmula de expansão de Laplace
det(A) =
(−1) i+j aij det(Aij)
1≤i≤n
(sendo Aij a matriz A sem linha a i e sem a coluna j). O trabalho Tn nesse
caso é dado pelo recorrência
12
Tn = n(A + M + Tn−1); T1 = 1
.