Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6. Divisão e conquista
• Numa árvore de recursão cada nó representa o custo de um único subproblema
da respectiva chamada recursiva
• Somam-se os custos de todos os nós de um mesmo nível, para obter o
custo daquele nível
• Somam-se os custos de todos os níveis para obter o custo da árvore
Exemplo
Dada a recorrência T (n) = 3T (⌊n/4⌋) + Θ(n 2 )
• Em que nível da árvore o tamanho do problema é 1? No nível i =
log 4 n = 1/2 log 2 n.
• Quantos níveis tem a árvore? A árvore tem log 4 n+1 níveis (0, . . . , log 4 n).
• Quantos nós têm cada nível? 3 i .
• Qual o tamanho do problema em cada nível? n/4 i .
• Qual o custo de cada nível i da árvore? 3 i c(n/4 i ) 2 .
• Quantos nós tem o último nível? Θ(n log 4 3 ).
• Qual o custo da árvore? log4 (n)
i=0 n2 · (3/16) i = O(n2 ).
Exemplo
nível nós
0 Θ(n2
)
30 1 Θ((n/4) 2
)
Θ((n/4)2 ) Θ((n/4) 2 ) 31 2 Θ((n/4 2 ) 2 ) Θ((n/4 2 ) 2 ) Θ((n/4 2 ) 2 ) 3 2
h = ⌈log 4 n⌉ · · · Θ((n/4 h ) 2 ) · · · 3 h
Prova por substituição usando o resultado da árvore de recorrência
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• O limite de O(n 2 ) deve ser um limite restrito, pois a primeira chamada
recursiva é Θ(n 2 ).
· · ·