Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6.2. Resolver recorrências
O algoritmo multiplica dois números binários com no máximo ⌈n/2⌉ bits, e
os números pl + pr e ql + qr com no máximo ⌈n/2⌉ + 1 bits, e portanto possui
complexidade
T (n) =
que podemos simplificar para
Θ(1) se n ≤ 1
2T (⌈n/2⌉) + T (⌈n/2⌉ + 1) + Θ(n) caso contrário
T (n) = 3T (n/2) + cn.
Dividindo por 3 log 2 n obtemos
T (n)
3log T (n/2)
=
2 n 3log cn
+
2 n/2 3log2 n
e substituindo A(n) = T (n)/3 log 2 n temos
e portanto
A(n) = A(n/2) + cn
3log
= c
2 n
0≤i≤log2 n
= cn
3 log 2 n
0≤i≤log 2 n
3
2
i
n/2 i
3 log 2 n/2i
= cn
3log2 n
(3/2) log2 n+1
= 3c
1/2
T (n) = A(n)3 log 2 n = 3cn log 2 3 = Θ(n 1.58 ).
Exemplo 6.5
Com p = (1101.1100)2 = (220)10 e q = (1001.0010)2 = (146)10 temos n = 8,
x = p1 + p2 = 1.1001 tal que x1 = 1 e x2 = 1001 e y = q1 + q2 = 1011
tal que y1 = 0 e y2 = 1011. Logo z = x2y2 = 0110.0011, t = y22 4 + z =
21.0001.0011, u = p1q1 = 0111.0101, v = p2q2 = 0001.1000 e finalmente
r = 1111.1010.111.1000 = 32120. ♦
6.2.2. Método da árvore de recursão
O método da árvore de recursão
Uma árvore de recursão apresenta uma forma bem intuitiva para a análise de
complexidade de algoritmos recursivos.
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