Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6. Divisão e conquista
uma forma que sabemos resolver:
A(n) =
0≤i≤log c2 n
f(n/c i 2)
c log c 2 n/c i 2
1
=
1
c log c 2 n
1
0≤i≤log c2 n
f(n/c i 2)c i 1
Após de resolver essa recorrência, podemos re-substituir para obter a solução
de T (n).
Exemplo 6.4 (Multiplicação de números binários)
Dado dois números p, q de n bits, podemos separá-los em duas partes forma
p = pl pr = pl 2 n/2 + pr
q = ql qr = ql 2 n/2 + qr.
Logo o produto possui a representação
Observação:
pq = (pl 2 n/2 + pr)(ql 2 n/2 + qr)
= 2 n plql + 2 n/2 ( plqr + prql ) + prqr.
plqr + prql = (pl + pr)(ql + qr) − plql − prqr.
Portanto a multiplicação de dois números binários com n bits é possível com
três multiplicações de números binários com aproximadamente n/2 bits.
Algoritmo 6.4 (mult-bin [41])
Entrada Dois números binários p, q com n bits.
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Saída O produto pq (com ≤ 2n bits).
1 i f n = 1 then return pq
2 else
3 x1 := mult-bin(pl, ql)
4 x2 := mult-bin(pr, qr)
5 x3 := mult-bin(pl + pr, ql + qr)
6 return x12 n + (x3 − x2 − x1)2 n/2 + x2
7 end i f