Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

6.2. Resolver recorrências
Para colocá-la na forma acima, vamos dividir primeiro por n para obter
T (n)/n = 1 + T (n/2)/(n/2)
e depois substituir A(n) = T (n)/n, que leva à recorrência
A(n) = 1 + A(n/2)
cuja solução é
0≤i≤log 2 n 1 = log 2 n. Portanto temos a solução T (n) =
n log 2 n.
Observe que a análise não considera constantes: qualquer função cn log 2 n
também satisfaz a recorrência. A solução exata é determinada pela base; uma
alternativa é concluir que T (n) = Θ(n log 2 n). ♦
Também podemos generalizar isso. Para
é simples de ver que
f(n) = 2f(n/2)
f(n) = 2f(n/2) = 2 2 f(n/4) = · · · = 2 log 2 n n = n
(observe que toda função f(n) = cn satisfaz a recorrência).
Generalizando obtemos
f(n) = cf(n/2) = · · · = c log 2 n = n log2c
f(n) = c1f(n/c2) = · · · = c log c 2 n
1
O caso mais complicado é o caso combinado
T (n) = c1T (n/c2) + f(n).
= n logc 2 c1
O nosso objetivo é nos livrar da constante c1. Se dividimos por c log c 2 n
1
T (n)
c log c 2 n
1
= T (n/c2)
e substituindo A(n) = T (n)/c log c 2 n
1
c log c 2 n/c2
1
temos
+ f(n)
c log c 2 n
1
A(n) = A(n/c2) + f(n)
c log c 2 n
1
obtemos
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