Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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6. Divisão e conquista 6.2.1. Método da substituição Método da substituição • O método da substituição envolve duas etapas: 1. pressupõe-se um limite hipotético. 2. usa-se indução matemática para provar que a suposição está correta. • Aplica-se este método em casos que é fácil pressupor a forma de resposta. • Pode ser usado para estabelecer limites superiores ou inferiores. Mergesort usando o método da substituição Supõe-se que a recorrência T (n) = 2T ⌊n/2⌋ + n tem limite superior igual a n log n, ou seja, T (n) = O(n log n). Devemos provar que T (n) ≤ cn log n para uma escolha apropriada da constante c > 0. T (n) ≤ 2 c ⌊n/2⌋ log(⌊n/2⌋ + n) ≤ cn log n/2 + n = cn log n − cn + n ≤ cn log n para c ≥ 1. A expressão −cn + n na equação cn log n −cn + n residuo é o resíduo. A prova objetiva mostrar que o resíduo é negativo. Como fazer um bom palpite 126 • Usar o resultado de recorrências semelhantes. Por exemplo, considerando a recorrência T (n) = 2T (⌊n/2⌋ + 17) + n, tem-se que T (n) ∈ O(n log n). • Provar limites superiores (ou inferiores) e reduzir o intervalo de incerteza. Por exemplo, para equação do Mergesort podemos provar que T (n) = Ω(n) e T (n) = O(n 2 ). Podemos gradualmente diminuir o limite superior e elevar o inferior, até obter T (n) = Θ(n log n).
6.2. Resolver recorrências • Usa-se o resultado do método de árvore de recursão como limite hipotético para o método da substituição. Exemplo 6.1 Vamos procurar o máximo de uma sequência por divisão é conquista: Algoritmo 6.3 (Máximo) Entrada Uma sequência a e dois índices l, r tal que al, . . . , ar−1 é definido. Saída maxl≤i
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10. Algoritmos de aproximação (As
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14.1. De P até PSPACE Para provar
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