Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

u v w
5.6. Exercícios
Figura 5.1.: Esquerda: O subcaminho uv de uvw não é o caminho mais longo
entre u e v.
w, u · · · v é o caminho mais longo entre u e v. Isso nos permite definir C(s, t, V )
como caminho mais longo entre s e t sem passar pelos vértices em V , e temos
⎧
⎪⎨ maxu∈N − (t)\V C(s, u, V ∪ {t}) + dut caso s = t e N
C(s, t, V ) =
⎪⎩
− (t) \ V = ∅
−∞ caso s = t e N − (t) \ V = ∅
0 caso s = t
(Observe que a recorrência possui valor −∞ caso não existe caminho entre s
e t.)
A tabela de programação dinâmica possui O(n 2 2 n ) entradas, e cada entrada
pode ser computado em tempo O(n), que resulta numa complexidade total de
O(n 3 2 n ).
Um corolário é que caso o grafo é aciclico, o caminho mais longo pode ser
calculado em tempo polinomial.
5.6. Exercícios
Exercício 5.1
Da três exemplos de problemas que não possuem uma subestrutura ótima,
i.e. a solução ótima de um problema não contém soluções ótimas de subproblemas.
Exercício 5.2
O problema do caminho mais longo em grafos aciclicos possui uma subestrutura
ótima? Justifique. Caso sim, propõe um algoritmo de programação
dinâmica que resolve o problema.
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