Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

5. Programação dinâmica
(começando com profundidade 1 na raiz). Caso a chave não pertence à árvore,
podemos imaginar chaves artificiais que representam os intervalos entre as chaves,
e o número de comparações necessárias é um menos que a profundidade
de uma chave artificial. Um exemplo de uma árvore com chaves artificiais
(representadas pelos intervalos correspondentes) é
x2
x1
x3
] − ∞, x1[ ]x1, x2[ ]x2, x3[ ]x3, ∞[
Para facilitar a notação, vamos introduzir chaves adicionais a0 = −∞ e an+1 =
∞. Com isso, obtemos a complexidade média de busca
cM =
1≤i≤n
Pr[c = ai]prof(ai) +
ela depende da árvore concreta.
0≤i≤n
Pr[ai < c < ai+1](prof(]ai, ai+1[) − 1);
Como achar a árvore ótima? A observação crucial é a seguinte: Uma das
chaves deve ser a raiz e as duas sub-árvores da esquerda e da direita devem
ser árvores ótimas pelas sub-sequências correspondentes.
Para expressar essa observação numa equação, vamos denotar com cM (e, d) a
complexidade média de uma busca numa sub-árvore ótima para os elementos
ae, . . . , ad. Para a complexidade da árvore inteira, definido acima, temos cM =
cM (1, n). Da mesmo forma, obtemos
cM (e, d) =
e≤i≤d
Pr[c = ai]prof(ai)+
Árvore de Busca Binária Ótima
e−1≤i≤d
Pr[ai < c < ai+1](prof(]ai, ai+1[)−1)
Supondo que ar é a raiz desse sub-árvore, essa complexidade pode ser escrito
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