Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

5. Programação dinâmica
Logo, podemos definir T (i, V ) como menor rota começando no vértice i e
passando por todos vértices em V exatamente uma vez e volta para vértice
1. A solução desejada então é T (1, [2, n]). Para determinar o valor de T (i, V )
temos que minizar sobre todas continuações possíveis. Isso leva à recorrência
T (i, V ) =
minv∈V div + T (v, V \ {v}) V = ∅
caso V = ∅
di1
Se ordenamos todos os sub-conjuntos dos vértices [1, n] em ordem de ⊆, obtemos
uma matrix de dependências
1
2
V1 V2 · · · V2 n
.
n
em que qualquer elemento depende somente de elementos em colunas mais
para esquerda. Uma implementação pode representar uma subconjunto de
[1, n] como número entre 0 e 2 n − 1. Nessa caso, a ordem natural já respeita
a ordem ⊆ entre os conjuntos, e podemos substituir um teste v ∈ Vj com
2 v &j = 2 v e a operação Vj \ {v} com j − 2 v .
1 for i ∈ [1, n] do Ti,0 := di1 { base }
2 for j ∈ [1, 2 n − 1] do
3 for i ∈ [1, n] do
4 Ti,j := min 2 k &j=2 k dik + T i,j−2 k { tempo O(n) ! }
5 end for
6 end for
A complexidade de tempo desse algoritmo é n 2 2 n porque a minimzação na
linha 4 precisa O(n) operações. A complexidade do espação é O(n2 n ). Essa é
atualmente o melhor algoritmo exato conhecido para o problema do caixeiro
viajante (veja também xkcd.com/399).
5.5.3. Árvore de busca binária ótima
Motivação
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• Suponha que temos um conjunto de chaves com probabilidades de busca
conhecidas.
• Caso a busca é repetida muitas vezes, vela a pena construir uma estrutura
de dados que minimiza o tempo médio para encontrar uma chave.