Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

5. Programação dinâmica
O algoritmo possui complexidade de tempo e espaço O(mn), sendo que o
espaço são duas matrizes P e M. O espaço pode ser reduzido para O(min{n, m})
usando uma adaptação do algoritmo de Hirschberg.
5.3. Problema da Mochila
Mochila (ingl. Knapsack)
Instância Um conjunto de n itens com valores vi e peso wi, 1 ≤ i ≤ n, e
um limite de peso da mochila W .
Solução Um subconjunto S ⊆ [1, n] que cabe na mochila, i.e.
i∈S wi ≤
W .
Objetivo Maximizar o valor total
i∈S vi dos itens selecionados.
Idéia: Ou item i faz parte da solução ótima com itens i . . . n ou não.
• Caso sim: temos uma solução com valor vi a mais do que a solução ótima
para itens i + 1, . . . , n com capacidade restante W − wi.
• Caso não: temos um valor correspondente à solução ótima para itens
i + 1, . . . , n com capacidade W .
Seja M(i, w) o valor da solução máxima para itens em [i, n] e capacidade W .
A idéia acima define uma recorrência
⎧
⎪⎨ 0 se i > n ou w = 0
M(i, w) = M(i + 1, w)
⎪⎩
max{M(i + 1, w), M(i + 1, w − wi) + vi}
se wi > w não cabe
se wi ≤ w
A solução desejada é M(n, W ). Para determinar a seleção de itens:
Mochila máxima (Knapsack)
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• Seja S ∗ (k, v) a solução de tamanho menor entre todas soluções que
– usam somente itens S ⊆ [1, k] e
– tem valor exatamente v.