Propriedades Assintóticas de Polinômios que Satisfazem a ... - DCCE

Telma Regina do Nascimento Cortes
PROPRIEDADES
ASSINTÓTICAS DE POLINÔMIOS
QUE SATISFAZEM A UMA
RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA
DE TRÊS TERMOS
Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José
do Rio Preto, para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.
Orientadora: Profa. Dra. Eliana X. L. de Andrade
São José do Rio Preto
2000

Aos meus pais, Célia e Vildo,
à minha irmã, Flávia
e ao meu noivo, Roberto.

Agradecimentos
A Deus, por ter me dado a vida e a oportunidade de viver sempre ao
lado de pessoas maravilhosas.
Aos meus pais, que sempre me apóiam em todas as decisões que tenho
que tomar, que enchem minha vida de muito amor e bons exemplos.
Ao Roberto, a quem pude confiar todas as minhas preocupações, pela
atenção, paciência, carinho e compreensão que me dispensou durante este e todos
os outros períodos da minha vida.
A todos os meus familiares e amigos de infância por compreenderem
minha ausência e pelo incentivo constante. Em especial à minha irmã Flávia,
aos meus amigos Danglei, Gercina, Janeci, Jerry e Fabiana que sempre me acom-
panharam e desejaram o melhor para mim.
À professora Eliana, que tornou possível a realização deste e de outros
trabalhos e que sempre esteve disposta a me atender com muita paciência e
dedicação, durante todo o período da iniciação científica e do mestrado, pela
amizade, pela consideração e por tudo que as palavras não foram capazes de
expressar.
Ao professor Ranga que me recebeu com todo carinho e apoio desde o
meu começo na iniciação científica. Em especial à professora Cleonice, pelo apoio
constante.
A todos os meus amigos da Pós-Graduação: Carina, Claudinéia, Clinton,
Elisa, Graziela, Liberto, Lisandra, Marcelo, Patrícia, Paulo, Romildo, Rose, pelo
apoio, companheirismo e alegria constante que não deixaram de me proporcionar.
A todos os professores e funcionários que de alguma forma colaboraram
para a realização deste trabalho.
À FAPESP, pelo auxílio financeiro.

“ Não se ensina aquilo que se quer;
ensina-se e só se pode ensinar
aquilo que se é.”
Jean Jaurès

Resumo
O principal objetivo deste trabalho é realizar um estudo sobre as pro-
priedades de polinômios que satisfazem a relações de recorrência de três termos,
cujos coeficientes possuem propriedades assintóticas de periodicidade dois. Os
polinômios ortogonais Qn(x) e similares aos ortogonais ˜ Bn(t) são exemplos disso.
Buscamos informações sobre as propriedades dos polinômios Qn(x) e sua medida
φ(x), para os casos em que os coeficientes da relação de recorrência são limitados
e ilimitados. Baseando-nos nesses resultados, apresentamos como eles podem ser
transferidos para os polinômios similares ˜ Bn(t) com relação à sua respectiva me-
dida ψ(t), para o caso onde os coeficientes da relação de recorrência são limitados.
Finalmente, discutimos alguns resultados que encontramos para o caso ilimitado
associado aos polinômios ˜ Bn(t).

Abstract
The main purpose of this work is to study the properties of polynomials that
satisfy three term recurrence relations whose coefficients satisfy asymptotic pro-
perties with periodicits two. The orthogonal polynomials Qn(x) and orthogonal
L-polynomials ˜ Bn(t) are considered examples as these. We looked for information
about the properties of the polynomials Qn(x) and its measure φ(x) when the
coefficients of the recurrence relation are bounded or unbounded. We present
how those results, obtained for the bounded case, can be transfered to study the
polynomials ˜ Bn(t) and the associated measure. Finally, we discuss some results
that we have obtained for the unbounded case associated with the polynomials
˜Bn(t).

Índice
1 Introdução 1
2 Resultados Preliminares 5
2.1 Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Convergência Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Segundo Teorema de Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.5 Transformada de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Teorema de Stieltjes-Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.7 Lema de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.8 Teorema Fundamental de Grommer-Hamburger . . . . . . . . . . . . 9
2.1.9 Frações Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.10 Seqüências Encadeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Seqüências Encadeadas e Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . 17
i

2.2.2 Frações Contínuas e Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 SPO cujos zeros são densos em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 Comportamento Regular dos Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . 22
3 Propriedades Assintóticas dos Polinômios Ortogonais 24
3.1 Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Fórmulas de Quadratura Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.4 Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Propriedades Assintóticas dos Polinômios Similares 59
4.1 Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ii

4.2 Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Propriedades Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Representação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.4 Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Considerações Finais 76
Referências Bibliográficas 79
iii

Capítulo 1
Introdução
Seja φ : IR −→ IR uma função não-decrescente, com infinitos pontos de aumento em
(a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞ e tal que os momentos
existem, são finitos e µ0 = 1. 1
função peso.
µn =
b
a
x n dφ(x), n = 0, 1, · · · , (1.1)
Então, dφ(x) é chamada distribuição em (a, b) e, se dφ(x) = w(x)dx, w(x) é uma
O suporte de dφ (supp(dφ)) é o conjunto dos pontos de aumento de φ, ou seja,
supp(dφ) = {x ∈ IR : φ(x + ɛ) − φ(x − ɛ) > 0, para todo ɛ > 0}. (1.2)
dφ(t) é que uma distribuição forte em (a, b) se os momentos existem para todos os
valores de n inteiros (positivos e negativos) e, se o intervalo (a, b) é tal que 0 ≤ a < b ≤ ∞,
dizemos que dφ(t) é uma distribuição forte de Stieltjes em (a, b).
Seja IPn o espaço de todos os polinômios algébricos de grau menor ou igual a n.
Os polinômios Pn(x) ∈ IPn, n ≥ 0, pertencem a um sistema de polinômios ortogo-
nais (SPO), {Pn(x)} ∞ n=0, com relação a uma distribuição (medida positiva) dφ(x) sobre um
1 Geralmente, φ é chamada de função peso se é absolutamente contínua. Caso contrário, φ é uma função
distribuição, medida ou função peso integral. Usaremos a mesma terminologia para ambos os casos. Quando
o peso for denotado por uma letra grega a mesma refere-se a uma distribuição, no uso de letras latinas
trata-se de pesos absolutamente contínuos.
1

intervalo real (c, d), −∞ ≤ c < d ≤ ∞, se são definidos por:
(i) Pn(x) =
n
an,kx k é de grau exatamente n, isto é, an,n = 0,
k=0
(ii) 〈Pn(x), Pm(x)〉 =
d
c
Pn(x)Pm(x)dφ(x) = 0, m = n.
2
(1.3)
Na forma mônica, isto é, an,n = 1, satisfazem à uma relação de recorrência de três
termos da seguinte forma:
Pn(x) = (x − βn−1)Pn−1(x) − αn−1Pn−2(x), n ≥ 1,
P−1(x) ≡ 0, P0(x) ≡ 1, (1.4)
βn−1 ∈ IR, αn−1 > 0, n = 1, 2, · · · .
Definição 1.1 Uma seqüência de polinômios mônicos { ˜ Bn(z)} ∞ n=0 de grau igual a n, são
chamados de polinômios similares aos ortogonais com relação a uma distribuição forte de
Stieltjes dψ(t) no intervalo (a, b), 0 ≤ a < b ≤ ∞, se são definidos por:
b
a
t −n+s ⎧
⎪⎨ 0, se 0 ≤ s ≤ n − 1,
Bn(t)dψ(t) ˜ =
⎪⎩ ρn > 0, se s = n.
(1.5)
Uma das propriedades envolvendo os polinômios similares é que eles também satis-
fazem a uma relação de recorrência de três termos do tipo
onde ˜ B0(z) = 1, ˜ B1(z) = z − ˜ β1.
˜Bn+1(z) = (z − ˜ βn+1) ˜ Bn(z) − ˜αn+1z ˜ Bn−1(z), n = 1, 2, · · · , (1.6)
Para os polinômios ortogonais mônicos Pn(x) e similares ˜ Bn(t), sabe-se que os coe-
ficientes {βn, αn} ∞ n=0 e { ˜ βn, ˜αn} ∞ n=1 que aparecem nas relações de recorrência de três termos,
armazenam informações sobre as propriedades desses polinômios e as medidas φ(x) e ψ(t)
associadas. Além disso, os estudos relacionados à obtenção dessas informações revelaram-se
bastante gratificantes, contribuindo para uma série de trabalhos (veja, por exemplo, [25, 51])
que tornaram-se clássicos. Um aspecto importante desses artigos está relacionado aos pro-
blemas em que os coeficientes da relação de recorrência possuem propriedades assintóticas.
Formalmente, podemos descrever esses problemas da seguinte forma.

Dadas as relações de recorrência (1.4) e (1.6), consideremos os coeficientes {βn, αn} ∞ n=0
e { ˜ βn, ˜αn} ∞ n=1 satisfazendo dois casos. Primeiramente, suponhamos que sejam limitados, ou
seja, satisfaçam às condições
para os polinômios ortogonais mônicos e
para os similares.
lim
n→∞ β2n = b1, lim α2n = a
n→∞ 2 1,
lim
n→∞ β2n+1 = b2 e lim α2n+1 = a
n→∞ 2 2,
lim ˜β2n = β
n→∞
(0) , lim ˜α2n = α
n→∞ (0)
lim ˜β2n+1 = β
n→∞
(1)
e lim
n→∞ ˜α2n+1 = α (1) ,
3
(1.7)
(1.8)
O outro caso que abordaremos é quando os coeficientes da relação de recorrência de
ambos os polinômios , Pn(x) e ˜ Bn(t), são ilimitados, mas satisfazem
e
lim
n→∞ β2n/λ2n = ˜b1, lim α
n→∞ 1/2
2n /λ2n = ã1,
lim
n→∞ β2n+1/λ2n = ˜b2 e lim α
n→∞ 1/2
2n+1/λ2n = ã2
lim ˜β2n/λ2n =
n→∞
˜ β (0) , lim ˜α2n/λ2n = ˜α
n→∞ (0) ,
lim ˜β2n+1/λ2n =
n→∞
˜ β (1)
e lim
n→∞ ˜α2n+1/λ2n = ˜α (1) ,
respectivamente, onde {λn} ∞ n=0 é uma seqüência que varia regularmente (definição 3.2.2).
(1.9)
(1.10)
Nosso objetivo, neste trabalho, é estudar as propriedades dos polinômios ortogonais
e similares quando os coeficientes das relações de recorrência satisfazem às condições acima.
As razões entre dois polinômios cujos índices diferem de uma ou duas unidades e as funções
distribuições limites serão discutidas. Daremos, também, algumas aplicações em fórmulas
de quadratura.
Assim, procurando elaborar um trabalho contendo informações claras sobre o as-
sunto de forma a servir de referência aos que possam vir a se interessar pelo mesmo, organi-
zamos esta dissertação da seguinte forma.

No Capítulo 2, fizemos um breve levantamento do estudo de polinômios ortogonais
e similares aos ortogonais que serão de grande importância para o desenvolvimento deste
trabalho. Além disso, abordamos alguns resultados de teorias gerais nas quais nos baseamos
para darmos continuidade a este estudo.
De forma detalhada estudamos, no Capítulo 3, tanto o caso em que os coeficientes
da relação de recorrência (1.4) são limitados, ou seja, satisfazem (1.7), quanto ilimitados,
mas que variam regularmente, satisfazendo (1.9). Este último caso foi considerado por Van
Assche em [6].
Baseando-nos nesses resultados, apresentamos, no Capítulo 4, como eles (ou parte
deles) podem ser transferidos para a relação de recorrência (1.6) através da transformação
obtida em Sri Ranga [48] e aqueles que não podem ser obtidos através desta transformação.
O caso em que os coeficientes da relação de recorrência (1.6) satisfazem (1.8) foi tratado
em [3], artigo, este, que tomamos como referência para o estudo deste caso. Para nosso
conhecimento, sobre o problema (1.6) com condições (1.10), não há nenhum trabalho similar
publicado até hoje. Mas, tomando como referência o que foi feito para os polinômios orto-
gonais, na Seção 4.2, apresentamos, alguns resultados que conseguimos encontrar para esse
caso.
No Capítulo 5, apresentamos as observações finais sobre o trabalho.
Finalmente, relacionamos, nas Referências Bibliográficas, os livros e artigos por nós
consultados e/ou citados.
4

Capítulo 2
Resultados Preliminares
Neste capítulo, apresentamos alguns conceitos e propriedades básicos ao estudo que
abordaremos nos capítulos posteriores. Muitos resultados serão considerados sem demons-
tração, mas podem ser encontrados nos textos clássicos sobre o assunto.
2.1 Resultados Gerais
Sejam CI o espaço linear dos números complexos, C0(IR) o conjunto das funções reais
contínuas definidas na reta e que se anulam fora de um intervalo finito (que varia com cada
função) e ψA a função característica do conjunto aberto A, isto é,
⎧
⎪⎨ 1, x ∈ A,
ψA :=
⎪⎩ 0, x /∈ A.
Diremos que a medida de um conjunto aberto A é dada por
m(A) := sup{ f(x)dx; f ∈ C0(IR), f ≤ ψA}
IR
e que um conjunto N tem medida nula se, para cada ɛ > 0, existe um aberto Aɛ ⊃ N tal
que
m(Aɛ) ≤ ɛ.
5

São exemplos de conjuntos de medida nula: quaisquer conjuntos enumeráveis, a
união enumerável de conjuntos de medida nula.
Quando uma certa propriedade P é válida no complementar de um conjunto de
medida nula, dizemos que P é válida em quase toda parte, e abreviaremos por q.t.p..
2.1.1 Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue
Teorema 2.1.1 (Zygmund [57]) Seja {fk} ∞ k=0 uma seqüência de funções mensuráveis em
E tal que fk → f q.t.p. de E. Se existe ψ e L(E) tal que, para todo k, |fk| < ψ para quase
todo ponto de E, então f.
fk →
E
2.1.2 Convergência Uniforme
E
Definição 2.1.1 (Rudin [42]) Dizemos que uma seqüência de funções {fj} ∞ j=0 em Ω con-
verge uniformemente para f num subconjunto compacto de Ω se, para um dado compacto
K ⊂ Ω e todo ɛ > 0, existe N = N(K, ɛ) tal que, para j > N,
|fj(z) − f(z)| < ɛ, ∀ z ∈ K.
Definição 2.1.2 (Funções Analíticas, Churchill [14], p.40) Uma função f de variável
complexa z é analítica em um ponto z0 se sua derivada f ′
(z) existe não somente em z0, mas
em todo ponto z em alguma vizinhança de z0. f é analítica em um domínio do plano z se é
analítica em todo ponto desse domínio.
Teorema 2.1.2 (Teorema 10.28, Rudin [42]) Seja H(Ω) a classe de todas as funções
analíticas em Ω. Suponha que fj ∈ H(Ω), para j = 1, 2, · · · , e fj → f uniformemente
em subconjuntos compactos de Ω. Então, f ∈ H(Ω) e f ′
j → f ′
subconjunto compacto de Ω.
6
uniformemente em todo

2.1.3 Segundo Teorema de Helly
Teorema 2.1.3 (Teorema 2.3, p.54, Chihara [12]) Seja {φn} uma seqüência uniforme-
mente limitada de funções não-decrescentes definidas em um intervalo compacto [a, b] e que
converge em [a, b] para uma função limite φ. Então, para toda função real f, contínua em
[a, b],
2.1.4 Integral de Stieltjes
b b
lim fdφn = fdφ.
n→∞ a
a
Definição 2.1.3 (Rudin [41], p.120) Seja φ uma função monótona crescente em [a, b]
(como os números φ(a) e φ(b) são finitos, segue-se que φ é limitada em [a, b]). Para cada
subdivisão P de [a, b], escrevemos
deremos
∆φi = φ(xi) − φ(xi−1).
É claro que ∆φi ≥ 0. Qualquer que seja a função real f, limitada em [a, b], consi-
U(P, f, φ) = ∆φisup{f(x)} (xi−1 ≤ x ≤ xi), i = 1, 2, · · · , n,
L(P, f, φ) = ∆φiinf{f(x)} (xi−1 ≤ x ≤ xi), i = 1, 2, · · · , n.
Por definição
b
a
b
a
fdφ = inf{U(P, f, φ)}, (2.1.1)
fdφ = sup{L(P, f, φ)}, (2.1.2)
sendo, novamente, o ínfimo e o supremo relativos a todas as subdivisões.
comum por
ou, às vezes, por
Se os primeiros membros de (2.1.1) e de (2.1.2) são iguais, designamos o seu valor
b
a
b
a
fdφ (2.1.3)
f(x)dφ(x). (2.1.4)
Esta é a integral de Riemann-Stieltjes (ou simplesmente a integral de Stieltjes) de f
relativamente a φ em [a, b].
7

2.1.5 Transformada de Stieltjes
de Stieltjes.
Uma transformada muito usada na teoria de polinômios ortogonais é a transformada
Definição 2.1.4 Seja F (x) uma função distribuição, isto é, uma função real, não-decrescente
com F (−∞) = 0 e F (∞) = 1. A transformada de Stieltjes de F (x) é definida por
∞
S(F (x); z) =
−∞
dF (x)
, z ∈ CI \ IR. (2.1.5)
z − x
Essa função é analítica tanto no conjunto {z : Im(z) > 0} quanto no conjunto
{z : Im(z) < 0} e determina a função F (x) unicamente se F (x) for normalizada de modo a
ser contínua à direita.
Para termos ao alcance todos os pré-requisitos necessários, precisaremos, também,
do seguinte teorema clássico da teoria de funções complexas.
2.1.6 Teorema de Stieltjes-Vitali
Teorema 2.1.4 Seja {fn} ∞ n=0 uma seqüência de funções analíticas numa região aberta G do
plano complexo. Se {fn} ∞ n=0 é uniformemente limitada em G e converge num subconjunto E
de G, onde E tem um ponto limite em G, então {fn} ∞ n=0 converge uniformemente em G.
Vamos considerar o teorema de Stieltjes-Vitali sem demonstração. Para a demons-
tração, bem como para observações históricas interessantes, ver Hille [26].
8
É importante
observar que a forma inicial deste teorema foi provada por Stieltjes na mesma biografia
clássica [51] onde ele resolveu o problema de momento e introduziu a integral de Stieltjes.
2.1.7 Lema de Cesàro
Este lema tem papel fundamental na demonstração de uma das propriedades aqui
estudadas, que é a que envolve a razão entre o polinômio e sua derivada no caso em que os
coeficientes da relação de recorrência são limitados.

Lema 2.1.5 (Média de Cesàro) Se xn −→ x, então n−1 n
xk −→ x, onde n
k=1
−1
n
xk é
conhecida como soma de Cesàro.
k=1
Demonstração: Seja M limite de |xk| e, dado ɛ, seja k0 tal que |x − xk| < ɛ/2 para k ≥ k0.
Se n > k0 e n > 4k0M/ɛ, então
1
n
k0−1
1
x
− xk
≤ 2M +
n
k=1 n k=1
1
n ɛ
< ɛ.
n 2 k=k0
2.1.8 Teorema Fundamental de Grommer-Hamburger
Teorema 2.1.6 (Arnold [4], Apêndice) Seja {Fn} ∞ n=0 uma seqüência de distribuições que
converge fracamente para F , isto é, fdFn ⇒ fdF para toda função contínua f com
suporte compacto e seja suppn(Fn(IR)) < ∞. Então, a transformada de Stieltjes de Fn,
S(Fn(z)), para z ∈ CI, converge para a transformada de Stieltjes de F, S(F (z)), uniforme-
mente em conjuntos compactos do semi-plano superior. Reciprocamente, para uma seqüência
de medidas {Fn} ∞ n=0 com suppn(Fn(IR)) < ∞ tal que {S(Fn(z))} ∞ n=0 converge em um con-
junto z com ponto limite no semi-plano superior, então, a convergência vale uniformemente
em conjuntos compactos z, o limite é a transformada de Stieltjes S(F ) de uma medida finita
F e Fn ⇒ F (fracamente).
2.1.9 Frações Contínuas
Frações contínuas têm um papel fundamental no estudo de problemas clássicos de
momento. Polinômios ortogonais aparecem de maneira natural na análise de certos tipos de
frações contínuas associadas a problemas de momento e este fato pode ser usado como base
no desenvolvimento da teoria de polinômios ortogonais.
Consideraremos apenas o suficiente de frações contínuas para indicar sua relação
com os polinômios ortogonais e obter certos resultados que utilizaremos no estudo das pro-
priedades dos polinômios ortogonais e similares aos ortogonais. Um bom estudo sobre o
assunto pode ser encontrado em [56, 29].
Sejam {an} ∞ n=1 e {bn} ∞ n=0 seqüências arbitrárias de números complexos e
9

C0 = b0
C1 = b0 + a1
b1
C2 = b0 + a1
.
.
Cn = b0 +
b1 + a2
b2
b1 +
b2 +
.. .
a1
a2
a3
an−1
bn−1 + an
bn
10
(2.1.6)
onde Cn é chamado de n−ésimo convergente (ou aproximante) da fração contínua (infinita)
b0 +
b1 +
b2 +
. ..
a1
a2
a3
an−1
bn−1 + an
bn + . . .
(2.1.7)
Definição 2.1.5 A fração contínua (2.1.7) converge para um valor K (finito) desde que
apenas um número finito de Cn não é definido e
lim
n→∞ Cn = K.
Caso contrário, dizemos que a fração contínua diverge.
onde
Referindo-nos a (2.1.6), podemos escrever
Cn = An
Bn
, n = 0, 1, 2, · · · ,
A0 = b0, B0 = 1,
A1 = b0b1 + a1, B1 = b1,
A2 = b0b1b2 + b0a2 + a1b2, B2 = b1b2 + a2

e, em geral, An e Bn são polinômios em ai, bj.
Agora, podemos escrever
Logo, para algum n ≥ 1,
conhecidas como Fórmulas de Wallis.
A1 = b1A0 + a1A−1 onde A−1 = 1,
B1 = b1B0 + a1B−1 onde B−1 = 0.
An = bnAn−1 + anAn−2, A−1 = 1,
Bn = bnBn−1 + anBn−2 B−1 = 0,
11
(2.1.8)
An e Bn são chamados de n−ésimo numerador parcial e n−ésimo denominador
parcial da fração contínua, respectivamente.
2.1.10 Seqüências Encadeadas
Abordaremos, agora, algumas definições e teoremas envolvendo seqüências encadeadas,
fazendo isso de forma breve, apenas com conceitos que são básicos para o estudo dos
polinômios ortogonais. Para maiores detalhes veja [12, p.91].
Definição 2.1.6 Uma seqüência {an} ∞ n=1 é chamada uma seqüência encadeada se existe uma
seqüência {gk} ∞ k=0 tal que
(i) 0 ≤ g0 < 1, 0 < gn < 1, n ≥ 1;
(ii) an = (1 − gn−1)gn, n = 1, 2, · · · .
{gk} ∞ k=0 é chamada de seqüência de parâmetros para {an} ∞ n=1 e g0 é o parâmetro inicial.
Definição 2.1.7 Seja {an} ∞ n=1 uma seqüência encadeada. Uma seqüência de parâmetros
{mk} ∞ k=0 é uma seqüência minimal de parâmetros para {an} ∞ n=1 se m0 = 0.
Se a seqüência minimal de parâmetros é a única seqüência de parâmetros para
{an} ∞ n=1 então dizemos que {an} ∞ n=1 determina seus parâmetros unicamente.

Definição 2.1.8 Seja {an} ∞ n=1 uma seqüência encadeada. Uma seqüência de parâmetros
{Mk} ∞ k=0 é uma seqüência maximal de parâmetros se Mk > gk (k ≥ 0) para qualquer
seqüência de parâmetros {gk} ∞ k=0 para {an} ∞ n=1.
Se {gn} ∞ n=1 é uma seqüência de parâmetros para {an} ∞ n=1 e gn → g, então, an →
(1 − g)g ≤ 1/4 (n → ∞). O teorema abaixo mostra que a recíproca é válida.
Teorema 2.1.7 Seja
Então, 0 ≤ a ≤ 1/4 e
lim
n→∞ an = a.
lim
n→∞ Mn = 1
2 [1 + √ 1 − 4a].
Além disso, se M0 > 0 (isto é, se mn = Mn), então,
Demonstração: Veja Chihara [12, p.102].
lim
n→∞ mn = 1
2 [1 − √ 1 − 4a].
12

2.2 Polinômios Ortogonais
em (1.3), isto é,
Daremos, agora, algumas propriedades dos polinômios ortogonais Pn(x) definidos
(i)
n
Pn(x) = ãn,kx
k=0
k n
= ãn,n (x − xn,k) é de grau exatamente n, isto é, ãn,n = 0,
(ii)
k=1
⎧
⎪⎨
d
〈Pn(x), Pm(x)〉 = Pn(x)Pm(x)dφ(x) =
c
⎪⎩
0,
δn > 0,
para
para
m = n,
m = n.
(2.2.9)
Se ãn,n = 1, denotaremos os polinômios ortogonais mônicos por Qn(x) e, se δn = 1,
n
n
dizemos que eles são ortonormais e os denotaremos por pn(x) =
(x−xn,k).
an,kx
k=0
k = an,n
k=1
Se os polinômios ortogonais Pn(x) são definidos em um intervalo simétrico com
relação à origem, ou seja, (−d, d) e a distribuição dφ(x) satisfaz dφ(x) = −dφ(−x), não é
difícil demonstrar que Pn(x) = (−1) n Pn(−x), n ≥ 0.
Também podemos demonstrar que (2.2.9) (ii) é equivalente a
d
c
x s Pn(x)dφ(x) = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1. (2.2.10)
Daremos, agora, algumas propriedades dos polinômios ortogonais Pn(x) definidos
em (1.3). Um estudo detalhado sobre eles pode ser encontrado em [12] e [52]. Sabemos que
satisfazem a uma relação de recorrência de três termos.
Teorema 2.2.1 {Pn(x)} ∞ n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
com P0(x) = 1, P−1(x) = 0 e
γn = an+1,n+1
an,n
Pn+1(x) = (γnx − ɛn)Pn(x) − λnPn−1(x), n ≥ 0,
〈xPn, Pn〉
= 0, ɛn = γn
〈Pn, Pn〉 , λn = γn
γn−1
〈Pn, Pn〉
〈Pn−1, Pn−1〉
13
= 0. (2.2.11)
n
Demonstração: Temos que Pn(x) = an,ix
i=0
i n+1
. Logo, xPn(x) = biPi(x).
i=0
Igualando os coeficientes dos termos de maior grau em ambos os membros da igual-
dade acima e isolando o coeficiente bn+1, encontramos bn+1 = an,n
Porém, de (2.2.10),
〈xPn(x), Pj(x)〉 =
b
a
an+1,n+1
Pn(x)xPj(x)ω(x)dx = 0, para j + 1 < n, ou seja, j ≤ n − 2.
.

Mas, para j ≤ n − 2, de (2.2.9), obtemos
〈xPn(x), Pj(x)〉 =
Logo, bj = 0, j ≤ n − 2.
Assim,
de onde concluímos que γn = 1
Como bn+1 = an,n
n+1
i=0
bi 〈Pi(x), Pj(x)〉 = bj 〈Pj(x), Pj(x)〉 = 0.
xPn(x) = bn+1Pn+1(x) + bnPn(x) + bn−1Pn−1(x),
an+1,n+1
, ɛn =
bn+1
bn
e λn =
bn+1
bn−1
bn+1
, temos que γn+1 = an+1,n+1
.
Calculando os produtos internos 〈Pn+1(x), Pn(x)〉 e 〈Pn+1(x), Pn−1(x)〉 chegamos,
〈xPn, Pn〉
〈Pn, Pn〉 e λn = γn 〈Pn, Pn〉
γn−1 〈Pn−1, Pn−1〉 .
respectivamente que ɛn = γn
Como conseqüência imediata desse teorema, temos os seguintes resultados.
Corolário 2.2.2 {pn(x)} ∞ n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
xpn(x) = an,n
an+1,n+1
com p0(x) = a0,0, p−1(x) = 0 e βn =
an,n
pn+1(x) + βnpn(x) + an−1,n−1
pn−1(x), n ≥ 0,
d
c
tp 2 n(t)dφ(t).
Corolário 2.2.3 {Qn(x)} ∞ n=0 satisfaz à seguinte relação de recorrência de três termos:
an,n
Qn+1(x) = (x − βn)Qn(x) − αnQn−1(x), n ≥ 0, (2.2.12)
com Q0(x) = 1, Q−1(x) = 0 e αn = a2 n−1,n−1
a 2 n,n
= 〈Qn, Qn〉
〈Qn−1, Qn−1〉
.
> 0.
Um resultado muito conhecido sobre seus zeros é dado por
Teorema 2.2.4 Para n ≥ 1, os zeros de Pn(x), xn,k, k = 1, · · · , n, são reais, distintos e
pertencem ao intervalo (c, d).
Outro importante teorema da teoria de polinômios ortogonais é o seguinte.
14

Teorema 2.2.5 (Teorema da Separação dos Zeros) Os zeros de Pn(x) e de Pn+1(x) se
entrelaçam, isto é,
xn+1,i < xn,i < xn+1,i+1, i = 1, 2, · · · , n.
Teorema 2.2.6 (Identidade de Christoffel-Darboux) Seja {Qn(x)} ∞ n=1 uma seqüência
de polinômios ortogonais mônicos satisfazendo (2.2.12) com αn−1 = 0 (n ≥ 1). Então,
parciais:
n−1
k=0
Qk(x)Qk(y)
α0α1 · · · αk
= (α0α1 · · · αn−1) −1 Qn(x)Qn−1(y) − Qn−1(x)Qn(y)
. (2.2.13)
x − y
Para os polinômios ortonormais, pn(x), temos
n−1
k=0
pk(x)pk(y) = an−1,n−1
an,n
15
pn(x)pn−1(y) − pn−1(x)pn(y)
. (2.2.14)
x − y
Das duas últimas propriedades, podemos obter a seguinte decomposição em frações
onde γn+1,k = Qn(xn+1,k)
Q ′
n+1(xn+1,k)
Qn(x)
Qn+1(x) =
n+1 γn+1,k
, (2.2.15)
x − xn+1,k
> 0.
k=1
Como Q ′
n(x) é um polinômio de grau n − 1, pelo polinômio de interpolação de
Lagrange (2.2.19),
de onde concluímos que
Q ′
n(x) =
n Qn(x)
(x − xn,k)Q ′
n(xn,k) Q′
k=1
Q ′
n(x)
Qn(x) =
k=1
n(xn,k),
n 1
. (2.2.16)
x − xn,k
Do corolário 2.2.2, mostra-se facilmente que os zeros de Pn(x) são os auto-valores
da matriz de Jacobi
⎛
⎜ β0
⎜ √
⎜ α1 β1
⎜ 0
⎜
⎝
√ α2
.. . .
√ α1 0 0 · · ·
√ α2 0 · · ·
. ..
.. . βn−2
. .. 0
√ αn−2
0 · · · 0 √ αn−2 βn−1
Um famoso resultado de J. Favard é o seguinte:
⎞
⎟
⎠
(2.2.17)

Teorema 2.2.7 (J. Favard, Chihara [12]) Se um sistema de polinômios {πn(x)} ∞ n=0 sa-
tisfaz a uma relação de recorrência do tipo
xπn(x) =
ân,n
ân+1,n+1
πn+1(x) + ˆ βnπn(x) + ân−1,n−1
πn−1(x),
n = 0, 1, 2, · · · , com π−1(x) = 0, â−1,−1 = 0, π0(x) = â0,0, ân,n > 0 e ˆ βn ∈ IR, então
{πn(x)} ∞ n=0 é ortogonal com relação a alguma função distribuição φ (que pode não ser uni-
camente determinada) e
ˆβn =
d
c
tπ 2 n(t)dφ(t).
Em muitos exemplos, φ é unicamente determinada pela relação de recorrência. Este
é o caso quando ambos { ân−1,n−1
} e {| ˆ βn|} são seqüências limitadas ou, em outras palavras,
ân,n
quando o suporte de dφ é compacto. Lembremos que supp(dφ) é sempre fechado, portanto
compacto é equivalente a limitado.
Definição 2.2.1 A função de Christoffel λn correspondente a uma função distribuição φ é
definida por
com πn−1(z) = 1 para z ∈ CI, n = 1, 2, · · · .
tados por λn,k.
ân,n
d
λn(z) = min |πn−1(t)|
π(z)∈IPn−1 c
2 dφ(t),
Os números λn(xn,k) são chamados números de Christoffel e são geralmente deno-
Existem importantes resultados envolvendo os números de Christoffel, dentre eles,
a fórmula de quadratura mecânica de Gauss-Jacobi e os conhecidos núcleos de Dirichlet.
Teorema 2.2.8 (Fórmula de Quadratura de Gauss-Jacobi) Para todo polinômio
π(x) ∈ IP2n−1,
d
c
π(t)dφ(t) =
16
n
π(xn,k)λn,k. (2.2.18)
k=1
Demonstração: Seja π(x) um polinômio arbitrário cujo grau não excede 2n − 1. Cons-
truindo o polinômio de interpolação de Lagrange de π(x) sobre os nós xn,k, obtemos
n
Ln(x) = π(xn,k)ln,k(x), (2.2.19)
k=1

onde
ln,k(x) =
pn(x)
(x − xn,k)p ′
n(xn,k) .
Agora, Q(x) = π(x) − Ln(x) é um polinômio de grau no máximo 2n − 1 que se anula em
xn,k, k = 1, 2, · · · , n. Logo,
Q(x) = R(x)pn(x)
onde R(x) é um polinômio de grau no máximo n − 1. Assim, como R(x) é ortogonal a pn(x),
d
c
π(t)dφ(t) =
=
=
=
=
d
d
Q(t)dφ(t) + Ln(t)dφ(t)
c
c
d
d
R(t)pn(t)dφ(t) + Ln(t)dφ(t)
c
c
d n
π(xn,k)ln,k(t)dφ(t)
c
k=1
n
d
π(xn,k) ln,k(t)dφ(t)
k=1
c
n
π(xn,k)λn,k
k=1
Definição 2.2.2 (Núcleo de Dirichlet) O núcleo de Dirichlet é definido por
n−1
Kn(x, t) = pk(x)pk(t),
k=0
ou, pela soma de Christoffel-Darboux (2.2.14), isto é,
Kn(x, t) = an−1,n−1
an,n
17
pn(x)pn−1(t) − pn−1(x)pn(t)
. (2.2.20)
x − t
2.2.1 Seqüências Encadeadas e Polinômios Ortogonais
Sejam
ξi = lim
n−→∞ xn,i, ηj = lim
n−→∞ xn,n−j+1
σ = lim
i−→∞ ξi e τ = lim
j−→∞ ηj.
Definição 2.2.3 O intervalo [ξ1, η1] é chamado verdadeiro intervalo de ortogonalidade.
(2.2.21)

Usando a teoria de seqüências encadeadas, obtemos a relação entre o verdadeiro
intervalo de ortogonalidade [ξ1, η1] e as seqüências de coeficientes {βn} e {αn} da relação de
recorrência, como veremos a seguir.
Teorema 2.2.9 (Chihara [12], p.108) Seja ∆ = [ξ1, η1] o verdadeiro intervalo de ortogo-
nalidade dos polinômios mônicos {Qn(x)} ∞ n=0 definidos por (2.2.12). Então,
αn+1
(i) ξ1 é o maior valor de c para o qual βn > c e
é uma seqüência
(βn − c)(βn+1 − c)
encadeada e
αn+1
(ii) η1 é o menor valor de d para o qual d > βn e
é uma seqüência
(d − βn)(d − βn+1)
encadeada.
Se tal ξ1 (ou η1) não existe, então ξ1 (η1) é escolhido como −∞ (∞).
2.2.2 Frações Contínuas e Polinômios Ortogonais
As fórmulas de Wallis (2.1.8) levam a uma conexão direta entre polinômios ortogo-
nais e frações contínuas pois, se em (2.1.7) tomarmos
b0 = 0, a1 = α0 = 0, an+1 = −αn e bn = x − βn−1, n ≥ 1,
obteremos a fração contínua
α0
−α1
x − β0 +
−α2
x − β1 +
x − β2 + . . .
18
(2.2.22)
cujo n−ésimo denominador parcial, Bn = Qn(x), satisfaz à relação de recorrência (2.2.12).
Assim, pelo Teorema de Favard 2.2.7, segue que os denominadores parciais de
(2.2.22) formam um SPO com relação a alguma φ se βn, n = 0, 1, · · · , são reais e αn,
n = 0, 1, · · · , são positivos. A fração contínua (2.2.22) é chamada de fração contínua de
Jacobi ou, simplesmente, de J-fração devido à sua relação com as conhecidas matrizes de
Jacobi (2.2.17).
Retornando às fórmulas de Wallis, note que os numeradores parciais, An = An(x),
satisfazem à relação de recorrência
An(x) = (x − βn−1)An−1(x) − αn−1An−2(x), n = 2, 3, · · ·

A−1(x) = 1, A0(x) = 0, A1(x) = α0.
Verifica-se facilmente por indução que α −1
0 An(x) é uma polinômio mônico de grau
n − 1 que é independente de α0. Assim,
Q (0)
n (x) = α −1
0 An+1(x), n ≥ −1,
é um polinômio mônico de grau n independente de α0 que satisfaz à fórmula de recorrência
n ≥ 1.
Q (0)
n (x) = (x − βn)Q (0)
n−1(x) − αnQ (0)
n−2(x), n = 1, 2, 3, · · ·
Q (0)
−1(x) = 0, Q (0)
0 (x) = 1.
Logo, {Q (0)
n (x)} ∞ n=0 é um SPO se βn, n = 1, 2, · · · , são reais e αn são positivos para
Definição 2.2.4 Os polinômios mônicos Q (0)
n (x) são chamados de polinômios numeradores
correspondentes a Qn(x), n ≥ 0.
O nome polinômios associados é freqüentemente usado na literatura ao invés de
polinômios numeradores.
Um outro resultado importante sobre a decomposição dos convergentes da J-fração
(2.2.22) é o seguinte.
Teorema 2.2.10 (Teorema 4.3, p.88, Chihara [12]) Se βn são reais e αn > 0, n ≥ 1,
temos
α0Q (0)
n−1(x)
Qn(x) =
n
k=1
λn,k
x − xn,k
=
d
c
dφn(t)
x − t
onde λn,k são os coeficientes da fórmula de quadratura de Gauss correspondentes aos zeros
xn,k e φn é a correspondente função distribuição com salto λn,k no ponto xn,k.
Se o verdadeiro intervalo de ortogonalidade [ξ1, η1] é limitado, usando [12, II-
Teorema 3.1], do segundo Teorema de Helly 2.1.3, podemos concluir, então, que
α0Q
lim
k→∞
(0)
nk−1(x)
=
(x)
Qnk
η1
ξ1
19
dφ(x)
z − x , para z /∈ [ξ1, η1]. (2.2.23)

Assim, segue que se [ξ1, η1] é limitado, existe uma subseqüência de convergentes da
J-fração (2.2.22) que converge para
F C(z) =
η1
ξ1
20
dφ(x)
z − x , para z /∈ [ξ1, η1]. (2.2.24)
A. Markov, em 1896, foi o primeiro a demonstrar que de fato a J-fração converge
uniformemente para F C(z) em todo subconjunto compacto do plano complexo que não
intercepta o intervalo [ξ1, η1].
2.2.3 SPO cujos zeros são densos em intervalos
Em 1898, O. Blumenthal provou que o conjunto X de todos os zeros de todos os
polinômios Qn(x) é denso no intervalo [σ, τ]. Algumas extensões foram obtidas a partir do
Teorema de Blumenthal, dentre elas, o seguinte teorema.
Teorema 2.2.11 (Blumenthal generalizado, Chihara [12]) Sejam os polinômios Qn(x)
dados por (2.2.12) e suponhamos que lim
n→∞ βn = β e lim
n→∞ αn = α > 0, onde β e α são finitos.
Seja, ainda, X = {xn,k : 1 ≤ k ≤ n, n = 1, 2, · · ·}. Então, X é denso no intervalo [σ, τ],
σ = β − 2 √ α e τ = β + 2 √ α.
Como conseqüência desse teorema e de (2.2.15), temos o seguinte resultado.
Teorema 2.2.12 Sejam Qn(x) polinômios satisfazendo (2.2.12). Então, para ɛ > 0 sufi-
cientemente grande,
Qn−2(z)
Qn(z)
1
≤ ,
ɛ2 para todo z ∈ CI \ [−A, A], onde [−A, A] é o verdadeiro intervalo de ortogonalidade dos
polinômios Qn(x).
Demonstração: Sabemos, do Teorema 2.2.11, que os zeros dos polinômios Qn(x) são densos
em um intervalo compacto, suponhamos [−A, A]. Temos, de (2.2.15), que
Qn−2(z)
Qn(z) =
Qn−2(z)
Qn−1(z)
Qn−1(z)
Qn(z) ≤
n−1
n γn−1,j γn,k
|z − xn−1,j| |z − xn,k|
j=1
k=1
(2.2.25)

≤ 1
ɛ2
para ɛ suficientemente grande tal que z ∈ CI \ [−A, A], com
γn−1,j = Qn−2(xn−1,j)
Q ′
n−1(xn−1,j)
n−1 n
γn−1,j
j=1 k=1
e γn,k = Qn−1(xn,k)
Q ′
n(xn,k) .
21
γn,k, (2.2.26)
Em Szegö [52, p.48] encontramos que λn,k, k = 1, · · · , n, podem ser dados por
λn,k = an,n
an−1,n−1
1
p ′
n(xn,k)pn−1(xn,k) .
Esse resultado segue facilmente da quadratura gaussiana e da Identidade de Christoffel-
Darboux. Mas, Qn(x) = pn(x)/an,n.
Daí,
n
γn,k =
k=1
=
n
λn,kp 2 n−1(xn,k)
k=1
d
c
p 2 n−1(x)dφ(x) = 1.
Uma outra propriedade que freqüentemente faremos uso é a do limitante para os
zeros dos polinômios Qn(x).
Do núcleo de Dirichlet (2.2.20), podemos notar que
xK 2 n(x, xn,k) = x a2 n−1,n−1
a 2 n,n
p2 n(x)p2 n−1(xn,k)
(x − xn,k) 2 .
Assim, pela fórmula de quadratura de Gauss-Jacobi,
d
xK
c
2 n(x, xn,k)dφ(x) = a2n−1,n−1 a2 p
n,n
2 n p
n−1(xn,k) λn,j
j=1
2 n(xn,j)
xn,j
(xn,j − xn,k)
2
=
a
λn,k
2 n−1,n−1
a2 p
n,n
2 n−1(xn,k)[p ′
n(xn,k)] 2 xn,k
Portanto,
Por outro lado,
= xn,k
.
λn,k
xn,k = λn,k
d
c
xK 2 n(x, xn,k)dφ(x).

d
xn,k = λn,k xK
c
2 d n−1
n(x, xn,k)dφ(x) = λn,k x[ pj(x)pj(xn,k)]
c
j=0
2 dφ(x)
⎧
d ⎨n−1
= λn,k x p
c ⎩
j=0
2 j(x)p 2 ⎫
⎬
j(xn,k)
⎭ dφ(x)
⎧
⎫
⎪⎨ d n−2
⎪⎬
+2λn,k x (pi(x)pi(xn,k))pj(x)pj(xn,k) dφ(x)
c ⎪⎩ i=0
⎪⎭
j=i+1
Assim,
Portanto,
= λn,k
n−1
βjp
j=0
2 n−1
j(xn,k) + λn,k 2
j=1
aj−1,j−1
pj−1(xn,k)pj(xn,k).
aj,j
|xn,k| ≤ λn,k max
0≤j≤n−1 |βj|
n−1
p
j=0
2 j(xn,k)
n−1
aj−1,j−1
+2λn,k max
|pj−1(xn,k)pj(xn,k)|
1≤j≤n−1 aj,j j=1
≤ max
0≤j≤n−1 |βj|
aj−1,j−1
+2λn,k max
1≤j≤n−1 aj,j
= max
0≤j≤n−1 |βj|
aj−1,j−1
+ 2 max
1≤j≤n−1 aj,j
n−1
p
i=0
2
i (xn,k) n−1
p
j=0
2 j(xn,k)
,
|xn,k| ≤ max
0≤j≤n−1 |βj| + 2 max
1≤j≤n−1 α1/2
j . (2.2.27)
2.2.4 Comportamento Regular dos Polinômios Ortogonais
Denotemos por Nn(t) o número de inteiros k para os quais
xn,n − xn,k ≥ t|xn,1 − xn,n|, 0 ≤ t ≤ 1.
Definição 2.2.5 A função distribuição dos zeros, quando existe, é definida por
Nn(t)
β(t) = lim , 0 ≤ t ≤ 1. (2.2.28)
n→∞ n
22

Em [53] e [20] mostrou-se que para uma grande classe de medidas dφ(t), β(t) existe
e, além disso, é dado por
β0(t) = 1
2
23
1
− arcsen(2t − 1). (2.2.29)
π
Neste caso, a medida dφ(t) é chamada medida arco-seno e os polinômios pn(x)
têm comportamento zero regular.
Em [21], Erdös e Turán consideraram polinômios ortogonais em [−1, 1] e mostraram
que se dφ(x) = w(x)dx, onde w(x) é uma função integrável não-negativa em [−1, 1], ou
seja, w(x) > 0 exceto para um conjunto de medida de Lebesgue nula, então dφ(x) é uma
medida arco-seno. Em [53], Ullman faz uma discussão bastante completa da medida arco-
seno absolutamente contínua e, em [20], Erdös e Freud estabeleceram resultados nos casos
em que dφ(x) não é absolutamente contínua. Peso arco-seno com suporte não compacto foi
introduzido por Erdös em [19].
O caso em que o suporte da medida dφ(x) está contido em [−1, 1] e os dois pont@HZbH@@HbH

Capítulo 3
Propriedades Assintóticas dos
Polinômios Ortogonais
3.1 Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados
Nesta seção, baseados no artigo de Van Assche [5], vamos estudar, o comportamento
assintótico de polinômios ortogonais quando os coeficientes da relação de recorrência de três
termos, tanto os de índice par quanto os de índice ímpar, tendem a limites finitos. A razão
entre dois polinômios cujos índices diferem de uma ou duas unidades e a função distribuição
limite serão discutidas. Daremos, também, algumas aplicações dos resultados obtidos em
fórmulas de quadratura.
satisfazendo:
Sejam, então, as seqüências {βn} ∞ n=0 e {αn} ∞ n=0 da relação de recorrência (2.2.12)
lim
n→∞ β2n = b1, lim α2n = a
n→∞ 2 1,
lim
n→∞ β2n+1 = b2 e lim α2n+1 = a
n→∞ 2 2.
(3.1.1)
Usando a estimativa (2.2.27) podemos concluir que os zeros dos polinômios orto-
gonais mônicos {Qn(x)} ∞ n=0 estão sempre no interior de um intervalo compacto, suponhamos
[−A, A].
24

3.1.1 Propriedades Assintóticas
e
Da fórmula de recorrência (2.2.12) facilmente obtemos que
Q2n+1(x) = (x − β2n)Q2n(x) − α2nQ2n−1(x) (3.1.2)
Q2n+2(x) = (x − β2n+1)Q2n+1(x) − α2n+1Q2n(x). (3.1.3)
Resolvendo a segunda equação para Q2n+1(x), obtemos
Q2n+1(x) = Q2n+2(x) + α2n+1Q2n(x)
.
x − β2n+1
Substituindo esta expressão em (3.1.2), temos a seguinte fórmula de recorrência
envolvendo somente os polinômios de grau par
de grau ímpar
Q2n+2(x) =
x − β2n+1
(x − β2n)(x − β2n+1) − α2n+1 − α2n Q2n(x)
x − β2n−1
x − β2n+1
−α2nα2n−1 Q2n−2(x)
x − β2n−1
= b2n(x)Q2n(x) − a2n(x)Q2n−2(x). (3.1.4)
De modo análogo, obtemos a fórmula de recorrência que envolve apenas os polinômios
Q2n+3(x) =
(x − β2n+1)(x − β2n+2) − α2n+2 − α2n+1
x − β2n+2
Q2n+1(x)
x − β2n
=
x − β2n+2
−α2n+1α2n Q2n−1(x)
x − β2n
b2n+1(x)Q2n+1(x) − a2n+1(x)Q2n−1(x). (3.1.5)
Essas fórmulas de recorrência modificadas serão muito úteis no estudo do compor-
tamento assintótico dos polinômios {Qn(x)} ∞ n=0 quando n tende para infinito.
e
Sejam X1 o conjunto dos pontos de acumulação de
{xn,i : i = 1, 2, · · · , n; n = 1, 2, · · ·}
X2 := {x ∈ IR : Qn(x) = 0 para infinitos valores de n}.
25

Um elemento de X2 não é necessariamente um ponto de acumulação do conjunto
{xn,i}. Se tomarmos uma função peso em [−β, −α] ∪ [α, β] (0 < α < β) que é simétrica com
relação à origem, este ponto pertencerá a X2, pois todo polinômio ortogonal de grau ímpar
com relação a uma distribuição simétrica se anula na origem. Mas, não se pode encontrar
uma seqüência de zeros (exceto para a seqüência constante zero) que converge para zero. Já
os polinômios de grau par não se anulam em (−α, α) pois, se existir um zero neste intervalo,
pela simetria, existirá também um segundo zero, o que é impossível (polinômios ortogonais
podem ter no máximo um zero num intervalo onde a função distribuição é constante). Pela
mesma razão, a origem será o único zero em (−α, α) para os polinômios de grau ímpar.
Assim, se a distribuição dφ(x) for simétrica, zero é raiz de infinitos polinômios de grau
ímpar, ou seja, 0 ∈ X2.
Deste fato, podemos concluir que supp(dφ) ⊂ X1 ∪ X2, onde o suporte de dφ, como
definido em (1.2), é o espectro da função distribuição φ(x) e o espectro não é necessariamente
X1∪X2, como se pode ver da observação anterior, pois se 0 ∈ X2, 0 /∈ supp(dφ) nas condições
citadas anteriormente.
Denotaremos por fn(x) ∼ g(x), quando a razão fn(x)/g(x) tende para um. A esfera
de Riemann, CI ∪ {∞}, será denotada por CI e consideremos
ZN := {xn,i : i = 1, 2, · · · , n; n ≥ N}.
Teorema 3.1.1 Se os coeficientes da fórmula de recorrência (2.2.12) satisfazem (3.1.1),
então, quando n → ∞,
Qn(z)
Qn−2(z)
∼ Q(z) =
1
(z − b1)(z − b2) − (a
2
2 1 + a 2 2)
+ [(z − b1)(z − b2) − (a2 1 + a2 2)] 2 − 4a2 1a2 2
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ X1 ∪ X2.
26
(3.1.6)
Demonstração: Sabemos que os zeros de {Qn(x)} ∞ n=0 estão todos no interior do intervalo
compacto [−A, A]. Assim, a razão Qn(z)/Qn−2(z) é analítica em CI \[−A, A] para todo n ≥ 2.
Se K é um conjunto compacto em CI \ X1 ∪ X2, então K pode ter no máximo um número
finito de zeros de {Qn(x)} ∞ n=0 e cada um deles é zero de um número finito de polinômios.

Isto significa que existe um inteiro N tal que, para n ≥ N, as razões Qn(z)/Qn−2(z) são
analíticas em K.
Seja
ɛ = inf {|z − x| : z ∈ K, x ∈ (X1 ∪ X2) ∩ ZN}
que é uma quantidade estritamente positiva, pois K (que é um conjunto compacto) e o
conjunto ( X1 ∪ X2) ∩ ZN são disjuntos.
Pelo Teorema 2.2.12, para z ∈ K e n ≥ N
Qn−2(z)
1
≤ .
Qn(z) ɛ2 Assim, a razão Qn−2(z)/Qn(z) é uniformemente limitada em todo subconjunto com-
pacto de CI \ (X1 ∪ X2).
O próximo passo é mostrar que esta razão converge quando z ∈ [A, ∞) e, como
este conjunto tem um ponto limite, podemos usar o Teorema de Stieltjes-Vitaly 2.1.4 para
concluir a convergência uniforme em todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2).
Tomemos, então, z ∈ [A, ∞) (ou seja, z real). Por hipótese, os coeficientes das
fórmulas de recorrência (3.1.4) e (3.1.5) convergem quando n → ∞. A convergência das
razões Q2n+2(z)/Q2n(z) e Q2n+1(z)/Q2n−1(z) segue do fato de que a seqüência
z − β2n+1
fn(z) = α2nα2n−1
z − β2n−1
−1 z − β2n
× (z − β2n)(z − β2n+1) − α2n+1 − α2n
z − β2n+1
−1 z − β2n−1
× (z − β2n−2)(z − β2n−1) − α2n−1 − α2n−2
z − β2n−3
é uma seqüência encadeada com seqüência de parâmetros (minimal) dada por
gn(z) = 1 − Q2n+2(z)
Q2n(z)
−1 z − β2n+1
(z − β2n)(z − β2n+1) − α2n+1 − α2n
.
z − α2n−1
Isto significa que fn(z) = gn(z)[1−gn−1(z)] e como, para z ∈ [A, ∞), fn(z) converge,
pelo Teorema 2.1.7, gn(z) também convergirá.
Para determinar este limite dividimos a equação (3.1.4) por Q2n(z) e a equação
(3.1.5) por Q2n+1(z). Daí,
Q2n+2(z)
Q2n(z) =
x − β2n+1
(z − β2n)(z − β2n+1) − α2n+1 − α2n
x − β2n−1
27
z − β2n+1 Q2n−2(z)
− α2nα2n−1
z − β2n−1 Q2n(z)

e
Q2n+3(z)
Q2n+1(z) =
Fazendo n → ∞, obtemos
(z − β2n+1)(z − β2n+2) − α2n+2 − α2n+1
z − β2n+2 Q2n−1(z)
−α2n+1α2n
z − β2n Q2n+1(z) .
Q(z) = {(z − b1)(z − b2) − (a 2 1 + a 2 2)} − a2 1a 2 2
Q(z) .
Resolvendo esta equação, chegamos que
Q(z) = 1
(z − b1)(z − b2) − (a
2
2 1 + a 2 2)
± [(z − b1)(z − b2) − (a2 1 + a2 2)] 2 − 4a2 1a2
2 .
z − β2n+2
z − β2n
Como, para todo n, Qn(z)/Qn−2(z) → ∞ quando z → ∞, devemos escolher o sinal
positivo. Assim, Q(z) → ∞ quando z → ∞.
A relação assintótica (3.1.6) não vale em X1 ∪ X2 pois, neste conjunto, a razão
Qn(z)
não é limitada. Em particular, a relação assintótica não vale sobre o espectro
Qn−2(z)
supp(dφ). Portanto, em X2 podemos encontrar uma subseqüência para a qual o resultado
assintótico vale.
Corolário 3.1.2 Suponhamos que as condições (3.1.1) sejam satisfeitas. Então, quando
n → ∞,
e
28
(i) Q2n(z)
Q2n−1(z) ∼ Q(z) + a21 , (3.1.7)
z − b1
(ii) Q2n+1(z)
Q2n(z) ∼ Q(z) + a22 z − b2
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2).
Demonstração: Da fórmula de recorrência (2.2.12) obtemos facilmente que
Q2n+1(z)
Q2n−1(z)
Q2n(z)
= (z − β2n) − α2n.
Q2n−1(z)
(3.1.8)
Como, do teorema anterior, o lado esquerdo converge uniformemente em todo sub-
conjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2), (3.1.7) segue imediatamente fazendo n → ∞. Analoga-
mente, demonstramos (3.1.8).

Teorema 3.1.3 Sob as condições (3.1.1) temos que, para n → ∞,
1 Q
n
′
n(z)
Qn(z) ∼
z − (b1 + b2)/2
[(z − b1)(z − b2) − (a2 1 + a2 2)] 2 − 4a2 1a2 2
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2).
29
(3.1.9)
Demonstração: Como a seqüência Qn(z)/Qn−2(z) converge para Q(z) uniformemente em
todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2), pelo Teorema 2.1.2, a seqüência de derivadas
(Qn(z)/Qn−2(z)) ′
convergirá para Q ′
(z) uniformemente em subconjuntos compactos de
CI \ (X1 ∪ X2). Tomando-se, então, a derivada de (3.1.6), temos que
(Qn(z)/Qn−2(z)) ′
(Qn(z)/Qn−2(z))
Q′
=
n(z)
Qn(z)
Q′
−
n−2(z)
Qn−2(z)
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2).
Q′ (z)
∼
Q(z)
Agora, seja K um conjunto compacto em CI \ (X1 ∪ X2) e N tal que Qn(z) não tem
zeros em K para n ≥ 2N − 2. Podemos, então, escrever
1 Q
2n
′
2n(z)
Q2n(z)
=
′
N−1
1 Q 2j(z) Q′
−
2j−2(z)
+
2n j=1 Q2j(z) Q2j−2(z)
1
=
n
′
Q 2j(z) Q′
−
2j−2(z)
2n j=N Q2j(z) Q2j−2(z)
1
n
′
Q 2j(z) Q′
−
2j−2(z)
+
2n Q2j(z) Q2j−2(z)
1
′
Q 2N−2(z)
. (3.1.10)
2n Q2N−2(z)
j=N
Pelo Lema de Cesàro 2.1.5, concluímos que
1 Q
2n
′
2n(z)
Q2n(z)
1 Q
∼
2
′
(z)
Q(z)
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ (X1 ∪ X2).
Um raciocínio análogo garante o resultado para os índices ímpares. Calculando,
então, explicitamente Q′ (z)
, chegamos ao resultado desejado.
Q(z)
Observe que ambos os comportamentos assintóticos das razões Qn(z)/Qn−1(z) e
Q ′
n(z)/Qn(z) dependem somente dos limites das seqüências {βn} ∞ n=0 e {αn} ∞ n=0 e não delas
mesmas. Assim, diz-se que essas funções têm comportamentos assintóticos invariantes.
3.1.2 Fórmulas de Quadratura Invariantes
Daremos, agora, algumas aplicações de resultados da seção anterior. Usaremos o
conceito de convergência fraca para este objetivo.

Definição 3.1.1 Uma seqüência de funções distribuições Fn(x) converge fracamente para
uma função distribuição F (x) (Fn(x) ⇒ F (x)) se, para toda função f(x) contínua e limi-
tada,
∞
∞
f(x)dFn(x) → f(x)dF (x). (3.1.11)
−∞
−∞
O Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6 nos garante que para (3.1.11) ser válido,
basta mostrarmos que S(Fn(x); z) converge para S(F (x); z), uniformemente em todo sub-
conjunto compacto de CI \ IR.
Para o objetivo aqui proposto, que é o de se obter a fórmula de quadratura, neces-
sitaremos do uso das transformadas de Stieltjes das seguintes funções distribuições:
F (x; δ, β) = 1
x
π
G(x; δ, β, γ) = 2
π
×
|t|
30
√
−∞ β2 − t2 √ t2 − δ2 IB(t)dt. (3.1.12)
[(δ2 − γ2 ) 1/2 + (β2 − γ2 ) 1/2 ] 2
(β2 − δ2 ) 2
√
x β2 − t2 √ t2 − δ2 −∞
|t − γ|
×
IB(t)dt, (3.1.13)
onde |γ| ≤ δ < β e IB(t) é a função indicadora do conjunto B = [−β, −δ] ∪ [δ, β], isto é,
⎧
⎪⎨ 0, t /∈ B
IB(t) =
⎪⎩ 1, t ∈ B.
e
Então,
para x ∈ B.
dF (x; δ, β) = 1
π
|x|
√
β2 − x2 √ x2 dx
− δ2 dG(x; δ, β, γ) = 2 [(δ
π
2 − γ2 ) 1/2 + (β2 − γ2 ) 1/2 ] 2
(β2 − δ2 ) 2
√
β2 − x2 √ x2 − δ2 dx,
|x − γ|
Lema 3.1.4 Seja z ∈ CI \ [−β, −δ] ∪ [δ, β]. Então,
(i) S(F (x; δ, β); z) =
(ii) S(G(x; δ, β, γ); z) =
z
√ z 2 − δ 2 √ z 2 − β 2 e (3.1.14)
2(z + γ)
z2 − γ2 − [(δ2 − γ2 )(β2 − γ2 )] 1/2 + √ z2 − δ2√z 2 . (3.1.15)
− β2 As raízes quadradas √ z 2 − δ 2 e √ z 2 − β 2 são escolhidas de modo que z 2 /( √ z 2 − δ 2√ z 2 − β 2 )
é analítica em CI \ [−β, −δ] ∪ [δ, β] e tende para um quando z tende para infinito.

Demonstração: A partir da definição de transformada de Stieltjes, temos que
chegamos que
S(F (x; δ, β); z) = 1
−δ
π −β
+ 1
β
π δ
1
z − x
1
z − x
|x|
√
β2 − x2 √ x2 dx
− δ2 |x|
√
β2 − x2 √ x2 dx.
− δ2 Fazendo x = −t na primeira integral e, em seguida, t = x, obtemos
S(F (x; δ, β); z) = 1
β
π δ
+ 1
π δ
1
z + x
1
z − x
β
|x|
√
β2 − x2 √ x2 dx
− δ2 |x|
√
β2 − x2 √ x2 dx.
− δ2 Usando a mudança de variáveis y = x 2 e, em seguida, y = (β2 − δ 2 )
S(F (x; δ, β); z) =
De (2.2.23) e (2.2.24) sabemos que
onde F C(u) é o limite da fração contínua
2z
(β2 − δ2 1 1
)π −1 2z2 − β2 − δ2 β2 − δ2 1 1
dφ(t) = F C(u),
−1 u − t
α1
− t
α2
u − β1 −
α3
u − β2 −
α4
u − β3 −
u − β4 − . ,
..
2
dt
√ 1 − t 2 .
31
t + (β2 + δ2 )
,
2
e αi, βi, i = 1, 2, · · · , são os coeficientes da relação de recorrência de três termos dos
polinômios ortogonais com relação a dφ(x).
Mas, da fórmula de recorrência para os polinômios de Tchebyshev de primeira espécie
mônicos, sabemos que α1 = π, α2 = 1/2, α3 = α4 = · · · = 1/4 e βi = 0 para i = 1, 2, · · · .
dt
π
Assim, para dφ(t) = √ , F C(u) =
1 − t2 u − 1/2
, onde L(u) = u −
L(u)
1/4
L(u) .
Logo, [L(u)] 2 − uL(u) + 1/4 = 0. Daí,
L(u) = u ± √ u 2 − 1
2
e F C(u) =
π
√ u 2 − 1 ,

pois F C(u) u→∞
−→ 0.
Portanto, para u = 2z2 − β2 − δ2 β2 − δ2 ,
Daí,
• Seja γ = 0.
F C(u) =
S(F (x; δ, β); z) =
π(β2 − δ2 )/2
(u2 − β2 )(u2 − δ2 ) .
z
√
z2 − β2 √ z2 .
− δ2 Para a distribuição G(x; δ, β, γ), consideremos dois casos:
De maneira análoga à feita para a distribuição F (x; δ, β),
S(G(x; δ, β, 0); z) = 2
π
(δ + β) 2
(β2 − δ2 ) 2
(β2 − δ2 )
2z
1 1
−
−1 β2 + δ2 δ2 − t
− β2 ⎧
⎪⎨ 1
⎪⎩
−1
√ ⎪⎬
1 − t2dt .
⎪⎭
1
2z 2 − β 2 − δ 2
⎫
β 2 − δ 2
− t
√ 1 − t 2 dt
Como, neste caso, a função peso é a de Tchebyshev de segunda espécie, a fração
contínua F C(u) é dada por F C(u) = π(u − √ u 2 − 1).
Assim, a primeira integral entre as chaves é igual a
e, a segunda, igual a
π
√
2 2 2 2z − (β + δ ) − 2 z2 − β2 √ z2 − δ2
−π
β 2 − δ 2
2 2 β + δ − 2δβ
β 2 − δ 2
Logo, substituindo os resultados acima na transformada de Stieltjes da distribuição
G(x; δ, β, 0) obtida anteriormente e multiplicando-a e dividindo-a por z 2 −δβ+ √ z 2 − β 2√ z 2 − δ 2 ,
chegamos ao resultado desejado para γ = 0.
• Para γ = 0, de maneira análoga à feita anteriormente, chegamos que
.
32

S(G(x; δ, β, γ); z) = 2 [(δ
π
2 − γ2 ) 1/2 + (β2 − γ1/2 )] 2
(β2 − δ2 ) 2
(z + γ)(β2 − δ2 )
2(z2 − γ2 )
⎧
⎪⎨ 1
×
⎪⎩
−1
1
2z 2 − β 2 − δ 2
β 2 − δ 2
1 1
−
−1 β2 + δ2 − 2γ2 δ2 − β2 − t
√ 1 − t 2 dt
⎫
√ ⎪⎬
1 − t2dt .
− t
⎪⎭
Logo, por (2.2.23) e (2.2.24), o valor da primeira integral é
e, o da segunda, é
Daí,
π(u − √ u 2 − 1), com u = 2z2 − β 2 − δ 2
β 2 − δ 2
π(v − √ v 2 − 1), onde v = β2 + δ 2 − 2γ 2
S(G(x; δ, β, γ); z) = 2 [(δ
π
2 − γ2 ) 1/2 + (β2 − γ1/2 )] 2
(β2 − δ2 ) 2
×π
z 2 − γ 2 −
δ 2 − γ 2
δ 2 − β 2
.
(z + γ)(β2 − δ2 )
2(z2 − γ2 )
β2 − γ2
− z2 − β2√z 2 − δ2
Multiplicando-se e dividindo-se esta expressão por z 2 − γ 2 − √ δ 2 − γ 2√ β 2 − γ 2 +
√ z 2 − β 2 √ z 2 − δ 2 , obtemos o resultado desejado.
Tomemos, agora,
b(1) = min{b1, b2}, b(2) = max{b1, b2}
a(1) = min{a1, a2} e a(2) = max{a1, a2}.
Teorema 3.1.5 Sejam {pn(x)} ∞ n=0 um sistema de polinômios ortonormais que satisfazem
(3.1.1) e {λn,j} n j=1 seus números de Christoffel. Então, para toda função contínua f(x),
(i)
2n
λ2n,jp
j=1
2 2n−1(x2n,j)f(x2n,j) → a2 (1)
a2 ∞
1 −∞
f(x)dG
+ a21 − a2 (1)
a2 f(b2),
1
x − b1
+ b2
; δ, β, −γ
2
33

(ii)
e
(iii)
onde
2n+1
λ2n,jp
j=1
2 2n(x2n+1,j)f(x2n+1,j) → a2 (1)
a2
∞
f(x)dG x −
2 −∞
b1
+ b2
; δ, β, γ
2
+ a22 − a2 (1)
a2 f(b1)
2
1
n
∞
f(xn,j) → f(x)dF x −
n j=1
−∞
b1
+ b2
; δ, β ,
2
δ 2 =
2 b1 − b2
+ (a1 − a2) 2 , β2 2 b1 − b2
=
2
2
+ (a1 + a2) 2 , γ = b1 − b2
2
34
(3.1.16)
e as funções F (x; δ, β) e G(x; δ, β, γ) são as definidas em (3.1.12) e (3.1.13), respectivamente.
Demonstração: (i) Sabemos, de (2.2.15) e de
que
λn,k = an,n
an−1,n−1
Qn−1(z)
Qn(z) =
1
p ′
n(xn,k)pn−1(xn,k) ,
n
j=1
λn,jp2 n−1(xn,j)
. (3.1.17)
z − xn,j
Seja Gn(x) uma distribuição discreta que dá saltos nos zeros xn,j, j = 1, · · · , n, de
pn(x) definida por
onde
Gn(x) =
n
λn,jp 2 n−1(xn,j)U(x − xn,j), (3.1.18)
j=1
⎧
⎪⎨ 1, x ≥ 0,
U(x) =
⎪⎩ 0, x < 0.
Assim, de (3.1.17), a transformada de Stieltjes de Gn(x) é dada por
∞ 1
S(Gn(x); z) =
−∞ z − x dGn(x) =
Pelo corolário 3.1.2,
n
j=1
S(G2n(x); z) = Q2n−1(z)
Q2n(z)
λn,jp 2 n−1(xn,j)
z − xn,j
(3.1.19)
= Qn−1(z)
. (3.1.20)
Qn(z)
z − b1
→
a2 , (3.1.21)
1 + Q(z)

uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ IR quando n → ∞. Mas, de (3.1.6),
A =
z − b1
a 2 1 + Q(z) =
2(z − b1)
(z − b1)(z − b2) − (a2 2 − a2
1) + [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 .
2
Multiplicando-se e dividindo-se essa última razão por 2a 2 1(z − b2), obtemos
A = (z − b1)(z − b2) + (−a2 2 + a2
1) − [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 2
2a2 .
1(z − b2)
Assim,
• se a1 ≥ a2
A = (z − b1)(z − b2) − |a 2 1 − a 2 2| −
+ |a2 1 − a 2 2| − (a 2 2 − a 2 1)
2a 2 1(z − b2)
[(z − b1)(z − b2) − (a 2 2 + a 2 1)] 2 − 4a 2 1a 2 2
2a 2 1(z − b2)
Multiplicando-se e dividindo-se a primeira expressão do segundo membro pelo con-
jugado do numerador, isto é, por
obtemos
(z − b1)(z − b2) − |a 2 1 − a 2 2| +
A = a2 2
a 2 1
[(z − b1)(z − b2) − (a 2 2 + a 2 1)] 2 − 4a 2 1a 2 2,
2(z − b1)
(z − b1)(z − b2) − |a2 1 − a2
2| + [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 2
+ |a21 − a2 2| − (a2 2 − a2 1)
2a2 .
1(z − b2)
• se a1 < a2
A = (z − b1)(z − b2) + (−a2 2 + a2
1) − [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 2
2a2 =
1(z − b2)
(z − b1)(z − b2) − |a2 1 − a2
2| − [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 2
2a2 1(z − b2)
= a21 a2 2(z − b1)
1 (z − b1)(z − b2) − |a2 1 − a2
2| + [(z − b1)(z − b2) − (a2 2 + a2 1)] 2 − 4a2 1a2 ,
2
após multiplicar e dividir a segunda razão pelo conjugado do numerador. Como a1 < a2
|a 2 1 − a 2 2| − (a 2 2 − a 2 1)
2a 2 1(z − b2)
= 0.
35

Logo, podemos somar este termo nulo à igualdade acima.
Portanto,
S(G2n(x); z) → a2 (1)
a2 S
1
o que conclui parte do teorema.
G x − b1
+ b2
; δ, β, −γ ; z
2
+ a21 − a2 (1)
a2 S (U(x − b2); z) ,
1
Como convergência fraca é equivalente a (3.1.11) temos o resultado dado em (i).
O resultado em (ii) segue ao substituirmos (b1, a1) por (b2, a2).
(iii) Sabemos, de (2.2.16), que
Q ′
n(z)
Qn(z) =
n 1
.
z − xn,j
j=1
Agora, consideremos a função distribuição discreta
36
Fn(x) = 1
n
U(x − xn,j). (3.1.22)
n j=1
Logo, nFn(x) é igual ao número de zeros de Qn(x) que são menores ou iguais a x.
A transformada de Stieltjes é, então, dada por
S(Fn(x); z) = 1
n 1
=
n j=1z
− xn,j
1 Q
n
′
n(z)
Qn(z) .
Assim, de (3.1.9) e (3.1.14), podemos concluir que
z − (b1 + b2)/2
S(Fn(x); z) →
[(z − b1)(z − b2) − (a2 1 + a2 2)] 2 − 4a2 1a2 2
= S F x − (b1
+ b2)
; δ, β ; z ,
2
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ IR.
Portanto, Fn(x) ⇒ F (x − (b1 + b2)/2; δ, β) e, de (3.1.11), obtemos o item (iii).
3.1.3 Casos Especiais
(3.1.23)
Consideremos, agora, alguns casos especiais dos teoremas precedentes. O caso mais
importante é quando b1 = b2 = b e a1 = a2 = a > 0. Neste caso, as funções F e G do
Teorema 3.1.5 têm a forma
F (x − b; 0, 2a) = 1
x
π
−∞
1
4a2 I[b−2a,b+2a](t)dt,
− (t − b) 2

G(x − b; 0, 2a, 0) = 1
2a2 x
4a
π −∞
2 − (t − b) 2I[b−2a,b+2a](t)dt, que podem ser obtidas simplesmente substituindo-se os valores dados acima e usando-se a
transformação t = z − b e, em seguida, fazendo-se z = t.
Os resultados anteriores podem, então, ser dados da seguinte forma: do Teorema
3.1.5, concluímos que
Teorema 3.1.6 Suponha que as condições (3.1.1) sejam válidas com b1 = b2 = b e a1 =
a2 = a > 0. Então, para toda função contínua f(x),
e
(i) ≡ (ii)
(iii)
n
λn,jp
j=1
2 n−1(xn,j)f(xn,j) → 1
2πa2 b+2a
f(x) 4a
b−2a
2 − (x − b) 2dx 1
n
f(xn,j) →
n j=1
1
b+2a
1
f(x)
π b−2a 4a2 dx.
− (t − b) 2
Uma conseqüência imediata do Corolário 3.1.2 é o seguinte
Teorema 3.1.7 Supondo que as restrições (3.1.1) sejam válidas com b1 = b2 = b e a1 =
a2 = a > 0, seja z ∈ CI \ X1 ∪ X2. Então,
Qn(z)
lim
n→∞Qn+1(z)
=
(z − b) +
2
(z − b) 2 .
− 4a2 Já, do Teorema 3.1.3, obtemos o seguinte resultado
Teorema 3.1.8 Sob as mesmas condições iniciais do teorema anterior, temos que
Q
lim
′
n(z)
nQn(z) =
n→∞
1
(z − b) 2 .
− 4a2 Outro caso importante é quando apenas a1 = a2 = a > 0. Para este caso, Chihara
[9, 12] demonstrou que os zeros são densos no conjunto
⎡
⎢
⎣ b1 + b2
2 −
⎧
⎨
2
b1 − b2
+ 4a
⎩ 2
2
⎫ ⎤ ⎡
1/2
⎬
⎥ ⎢
, b(1) ⎦ ∪ ⎣b(2),
⎭
b1 + b2
2 +
⎧
⎨
2
b1 − b2
+ 4a
⎩ 2
2
⎫1/2
⎬
⎭
⎤
⎥
⎦
37

que é justamente o conjunto sobre o qual a função distribuição limite F (x−(b1 +b2)/2; 1
2 |b1 −
b2|, {(b1 − b2)/2 + 4b 2 } 1/2 ) está concentrada. O resultado do Teorema 3.1.5 − (iii), portanto,
é mais forte do que o resultado de Chihara, pois indica como a densidade dos zeros está
distribuida no conjunto mencionado acima.
teorema abaixo.
Daremos especial atenção ao caso em que a1 ou a2 é igual a zero, formulado no
Teorema 3.1.9 Suponhamos que as condições (3.1.1) sejam satisfeitas e que a(1) = 0.
Então, para toda função contínua f(x),
2n
(i) λ2n,jp
j=1
2 ⎧
f(b2), se a2 = 0,
⎪⎨ 1 b2 − b1 b1 + b2
2n−1(x2n,j)f(x2n,j) →
+ β f + β
2β 2
2 (3.1.24)
b1 − b2 b1 + b2
⎪⎩ + + β f − β , se a1 = 0,
2
2
2n+1
(ii)
(iii)
j=1
λ2n+1,jp 2 2n(x2n+1,j)f(x2n+1,j)
⎧
f(b1), se a1 = 0,
⎪⎨ 1 b1 − b2 b1 + (3.1.25)
b2
→
+ β f + β
2β
2 2
b2 − b1 b1 + b2
⎪⎩ + + β f − β , se a2 = 0,
2
2
1
n
f(xn,j) →
n j=1
1
b1 + b2
b1 + b2
f + β + f − β , (3.1.26)
2 2 2
onde β 2 = ((b1 − b2)/2) 2 + a 2 (2) .
Demonstração: Como a1 = 0 ou a2 = 0, as relações (3.1.7) e (3.1.8), neste caso, são dadas
por
Q2n(z)
Q2n−1(z) →
Q2n+1(z)
Q2n(z) →
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
z − b2 − a22 ,
z − b1
se a1 = 0,
z − b2, se a2 = 0,
z − b1 − a2 1
z − b2
, se a2 = 0,
z − b1, se a1 = 0,
38
(3.1.27)

espectivamente, enquanto que (3.1.9) torna-se
1 Q
n
′
n(z)
Qn(z) →
z − b1 + b2
2
39
(z − b1)(z − b2) − a 2
(2) . (3.1.28)
De (3.1.20), temos que a transformada de Stieltjes da função Gn(x) em (3.1.18)
satisfaz, uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ IR,
isto é,
Logo, de (3.1.27), obtemos
S(Gn(x); z) = Qn−1(z)
Qn(z) .
⎧
1
⎪⎨ , se a2 = 0,
z − b2
S(G2n(x); z) →
1 (b2 − b1)/2 + β
⎪⎩
2β z − (b1 + b2)/2 − β + (b1
− b2)/2 + β
, se a1 = 0.
z − (b1 + b2)/2 + β
Substituindo (b1, a1) por (b2, a2) obtemos um resultado análogo para S(G2n+1(x); z),
⎧
1
⎪⎨ , se a1 = 0,
z − b1
S(G2n+1(x); z) →
1 (b1 − b2)/2 + β
⎪⎩
2β z − (b1 + b2)/2 − β + (b2
− b1)/2 + β
, se a2 = 0.
z − (b1 + b2)/2 + β
Desses assintóticos, (i) e (ii) são imediatos. As transformadas de Stieltjes das funções
Fn(x) em (3.1.22) têm o seguinte comportamento
S(Fn(x); z) → 1
2
1
z − (b1 + b2)/2 − β +
1
,
z − (b1 + b2)/2 + β
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ IR. Portanto, (iii) segue.
Assim, quando a1 ou a2 é zero, as funções Gn(x) e Fn(x) convergem fracamente
para funções distribuições que dão no máximo dois saltos. Isto significa que para n grande
a maioria dos zeros está concentrada em torno daqueles pontos onde a função distribuição
limite dá um salto.
3.1.4 Exemplos
Daremos, agora, alguns exemplos de polinômios ortogonais para os quais os resulta-
dos anteriores se aplicam. Com eles, será possível um melhor entendimento dos resultados

das seções precedentes.
Exemplo 1− Os coeficientes da relação de recorrência dos polinômios de Jacobi mônicos,
P (α,β)
n (x), satisfazem (2.2.12) com
e
α > −1 e β > −1.
αn =
βn =
β 2 − α 2
(2n + α + β)(2n + α + β + 2)
4n(n + α)(n + α)(n + α + β)
(2n + α + β − 1)(2n + α + β) 2 (2n + α + β + 1) ,
É fácil ver que βn → 0 e αn → 1/4. Assim, pelos Teoremas 3.1.7 e 3.1.8, vemos que
1
n
P (α,β)
n (z)
P (α,β)
n−1 (z) ∼ z + √ z2 − 1
,
2
[P (α,β)
n (z)] ′
P (α,β)
n (z) ∼
1
√ z 2 − 1 ,
40
(3.1.29)
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−1, 1], pois b = 0 e a = 1/2. Pelo
Teorema 3.1.6, para toda função contínua f(x),
n
λn,j[p
j=1
(α,β)
n−1 (xn,j)] 2 f(xn,j) → 2
1
f(x)
π −1
√ 1 − x2dx e (3.1.30)
1
n
f(xn,j)
n j=1
→ 1
1 f(x)
√
π −1 1 − x2 dx,
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−1, 1].
Esses resultados são bem conhecidos.
Exemplo 2− Os polinômios mônicos de Pollaczek (para mais detalhes, veja Chihara [12])
satisfazem (2.2.12) com
βn =
−b
n + λ + a + c
e αn =
(n + c)(n + 2λ + c − 1)
4(n + λ + a + c − 1)(n + λ + a + c) ,
onde a ≥ |b| juntamente com 2λ + c > 0 e c ≥ 0 ou 2λ + c ≥ 1 e c > −1. Como βn → 0 e
αn → 1/4 quando n tende para infinito, obtemos os mesmos assintóticos que em (3.1.29) e
(3.1.30).

Exemplo 3− Os coeficientes da relação de recorrência dos polinômios mônicos de Lom-
mel modificados, L (α)
n (z), são dados por
βn = 0 e αn =
1
4(n + α)(n + α − 1) ,
com α > 0. Assim, αn → 0. Logo, temos um limite degenerado, uniformemente em todo
subconjunto compacto de CI \ ({0} ∪ {pontos de massa de φ}). De (3.1.27) e (3.1.28), temos
que
L (α)
n (z)
L (α)
n−1(z)
∼ z,
1 [L
n
(α)
n (z)] ′
L (α)
n (z)
e, para toda função contínua f(x), o Teorema 3.1.9 nos fornece
n
λn,j[l
j=1
(α)
n−1(xn,j)] 2 f(xn,j) → f(0),
1
n
f(xn,j) → f(0).
n j=1
41
1
∼ , (3.1.31)
z
(3.1.32)
Esses limites degenerados no zero talvez possam ser entendidos pelo fato de os
polinômios de Lommel modificados serem ortogonais com relação à função distribuição dis-
creta φ(x) que dá saltos nos pontos
{j −1
v−1,k ; k = 0, ±1, ±2, · · ·},
onde · · · < jv,−1 < jv,0 < 0 < jv,1 < · · · denotam os zeros da função de Bessel Jv(x), e este
conjunto tem o zero como seu ponto limite (veja Szegö [52]).
Exemplo 4− Consideremos os polinômios mônicos de Tricomi-Carlitz. Então,
βn = 0 e αn =
n
(n + α)(n + α − 1) ,
com α > 0. Novamente αn → 0 e temos os mesmos assintóticos que em (3.1.31) e (3.1.32).
Note que, também neste caso, os polinômios são ortogonais com relação à uma
função distribuição discreta e os saltos agora são em {±1/ √ k + α; k = 0, 1, 2, · · ·}. Este con-
junto também tem o zero como ponto limite.

Exemplo 5− Os q-polinômios de Al-Salam e Carlitz satisfazem (2.2.12) com
βn = (1 + α)q n
e αn = −αq n−1 (1 − q n ),
onde α < 0 e 0 < q < 1. Portanto, ambos, αn e βn, convergem para zero quando n tende para
o infinito. Logo, as relações (3.1.31) e (3.1.32) são válidas. Novamente, esses polinômios são
ortogonais com relação a uma função distribuição discreta e os saltos ocorrem nos pontos
{q k , αq k ; k = 0, 1, 2, · · ·} que novamente têm o zero como ponto limite.
limites.
Agora, daremos um exemplo onde as seqüências {αn} ∞ n=0 e {βn} ∞ n=0 têm dois pontos
Exemplo 6− Considere a seqüência de polinômios {Qn(x)} ∞ n=0 que satisfazem (2.2.12) com
β2n = b1, α2n = a 2 1,
β2n+1 = b2 e α2n+1 = a 2 2.
42
(3.1.33)
Obviamente esses polinômios satisfazem às condições (3.1.1), de modo que os Teore-
mas 3.1.1 − 3.1.5 são válidos. Portanto, podemos obter explicitamente a função distribuição
φ(x) com relação à qual esses polinômios são ortogonais.
Teorema 3.1.10 Os polinômios {Qn(x)} ∞ n=0 com coeficientes dados por (3.1.33) são orto-
gonais com relação a
φ(x) = a2 (1)
a2
G
1
x − b1 + b2
; δ, β, −γ
2
onde δ, β e γ são dados por (3.1.16) e G(x; δ, β, γ) por (3.1.13).
+ a21 − a2 (1)
a2 U(x − b1),
1
Demonstração: Considere os polinômios {Q ∗ n(x)} ∞ n=0 com coeficientes dados por (3.1.33),
mas com a1 e a2 trocados, isto é, α2n = a 2 2 e α2n+1 = a 2 1.
De (2.2.12), facilmente obtemos
Q∗ 2n+1(z)
Q∗ 2n(z) = (z − b1) − a 2 Q
2
∗ 2n−1(z)
Q∗ 2n(z)
Q ∗ 2n(z)
e Q∗2n+2(z) Q∗ 2n+1(z) = (z − b2) − a 2 1
Q∗ 2n+1(z) .

Do corolário 3.1.2, sabemos que os limites das funções nessas duas equações existem.
Suponhamos, então, que
de Jacobi,
Q ∗ 2n+1(z)
Q ∗ 2n(z)
→ Q′ (z) e Q∗2n+2(z) Q∗ 2n+1(z)
Fazendo n tender para o infinito, obtemos:
Q ′
(z) = (z − b1) − a 2 2
1
Q ′′ (z)
e Q ′′
→ Q′′ (z).
(z) = (z − b2) − a 2 1
1
Q ′ (z) .
Assim, combinando continuamente essas equações, encontramos a fração contínua
1
Q ′ (z) =
z − b1 −
z − b2 −
z − b1 −
1
a 2 2
a 2 1
a 2 2
z − b2 − a2 1
. ..
= S(φ(x); z),
que segue de (2.2.23) e (2.2.24) (veja [56, 12]), onde φ(x) é a função distribuição com relação
à qual os polinômios {Qn(x)} ∞ n=0, com coeficientes dados por (3.1.33), são ortogonais.
Como na demonstração do Teorema 3.1.5, temos que
1
Q ′ (z) = a2
(1)
S G x − b1
+ b2
; δ, β, γ ; z
2
a 2 1
Daqui, o resultado do teorema segue.
+ a21 − a2 (1)
a2 S(U(x − b1); z).
1
Casos especiais desses polinômios já foram estudados por Chihara. Quando b1 =
b2 = b e a1 = a2 = a, os polinômios Qn(x) são iguais a Un((x − b)/2a), onde Un(x) é o
polinômio de Tchebyshev de segunda espécie de grau n. Para b1 = −c, b2 = c e αn = 1/4,
Chihara [10] obteve a função peso
⎧
⎪⎨
w(x) =
⎪⎩ 0, caso contrário
1/2 |x + c|
(1 + c
|x − c|
2 − x2 ) 1/2 , c2 ≤ x2 ≤ 1 + c2 ,
e, para b1 = b2 = 0, a1 = a e a2 = b, a função peso encontrada é dada por
⎧ ⎡
⎤
2 2 2 2 1/2
⎪⎨
1 x − b − a
⎣ 1 −
⎦ , x ∈ [−(a + b), −|b − a|] ∪ [|b − a|, a + b],
w(x) = |x|
2ab
⎪⎩ 0, caso contrário.
Observe que existe um salto no ponto zero (veja [12, p.91]).
43

3.2 Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados
Nesta seção, vamos supor que os coeficientes da relação de recorrência para os
polinômios ortogonais são ilimitados, mas variam regularmente e, têm comportamento dife-
rente para índices pares e ímpares. O comportamento assintótico para a razão entre dois
polinômios cujos índices diferem de uma ou duas unidades será discutido e usado para a
obtenção da distribuição limitante desses polinômios. Os resultados serão, então, aplicados
a polinômios ortogonais relacionados a funções elípticas. O artigo de Van Assche [6] foi a
principal fonte de pesquisa para este estudo.
3.2.1 Introdução
Vamos supor, então, que os coeficientes da relação de recorrência convergem de uma
maneira particular. Esta convergência será descrita por meio da definição de variação regular
(veja [7, 45] para mais detalhes).
Definição 3.2.1 Uma função mensurável, não-decrescente, f : IR + → IR + , varia regular-
mente (para o infinito) se, para algum α e todo t > 0,
e α é o coeficiente de variação regular.
lim
x→∞ f(xt)/f(x) = tα ,
É fácil ver que uma função que varia regularmente com expoente α pode ser escrita
como x α L(x), onde L : IR + → IR + é uma função de variação lenta, isto é, para todo t > 0,
lim L(xt)/L(x) = 1.
x→∞
Exemplos simples de funções de variação lenta são | log x| a , | log log x| b , etc.
Definição 3.2.2 Se f(x) é uma função que varia regularmente (com expoente α), então
λn = f(n) é uma seqüência que varia regularmente com expoente α.
44

Suponhamos, então, que exista uma seqüência que varia regularmente, {λ2n} ∞ n=1,
com expoente α > 0 tal que os coeficientes da relação de recorrência satisfazem
lim
n→∞ β2n/λ2n = ˜b1, lim α
n→∞ 1/2
2n /λ2n = ã1,
lim
n→∞ β2n+1/λ2n = ˜b2 e lim α
n→∞ 1/2
2n+1/λ2n = ã2.
45
(3.2.34)
Daremos, aqui, algumas propriedades assintóticas dos polinômios ortogonais rela-
cionados e também discutiremos os casos em que ˜ b1 = ˜ b2 e ã1 = ã2 e o caso especial onde
ã1 ou ã2 é igual a zero. Esses resultados serão aplicados a algumas famílias de polinômios
ortogonais relacionados a funções elípticas.
3.2.2 Resultados Preliminares
18]:
O lema seguinte é uma importante e útil observação feita por Dombrowski [16, 17,
Lema 3.2.1 Se {un} ∞ n=0 satisfaz à relação de recorrência
com u−1 = 0, então
u 2 k − uk+1uk−1
a1a2 · · · ak
un+1 + bnun + anun−1 = 0, n ≥ 0, (3.2.35)
= u 2 k
bj − bj−1
0 +
j=1
ujuj−1 +
a1a2 · · · aj
aj
− aj−1
ujuj−2 . (3.2.36)
a1a2 · · · aj
Demonstração: Seja Dk = u 2 k − uk+1uk−1. Da fórmula de recorrência (3.2.35) para uk+1,
temos que uk+1 = −bkuk − akuk−1.
Multiplicando-se ambos os membros por −uk−1 e somando-se u 2 k, obtemos
Dk = u 2 k − uk−1(−bkuk − akuk−1)
= akDk−1 + uk(uk + bkuk−1 + akuk−2).
Usando novamente a relação (3.2.35) para uk, chegamos a
Dk = akDk−1 + uk[(bk − bk−1)uk−1 + (ak − ak−1)uk−2].

Logo,
Dk = ak{ak−1Dk−2 + uk−1[(bk−1 − bk−2)uk−2 + (ak−1 − ak−2)uk−3]}
+uk[(bk − bk−1)uk−1 + (ak − ak−1)uk−2]
= ak−1akDk−2 + [(bk−1 − bk−2)uk−2uk−1 + (bk − bk−1)uk−1uk]
+[(ak−1 − ak−2)uk−3uk−1 + (ak − ak−1)uk−2uk]
O resultado (3.2.36) segue imediatamente da última expressão .
Lema 3.2.2 Seja {Rn(x)} ∞ n=0 uma seqüência de polinômios. Então,
e
R ′
2k(x)
R2k(x)
R ′
2k+1(x)
R2k+1(x)
= −
k
′
R2j−2(x) R2j−2(x)
j=1
R2j(x)
R2j(x)
46
(3.2.37)
k
′
R2j−1(x) R2j−1(x)
= −
. (3.2.38)
j=0
R2j+1(x) R2j+1(x)
Demonstração: A equação (3.2.37) segue imediatamente de
e da fórmula
R ′
2j(x)
R2j(x)
R ′
2k(x)
R2k(x) =
R′
−
2j−2(x)
R2j−2(x)
k
j=1
= −
R ′
2j(x)
R2j(x)
R′
−
2j−2(x)
R2j−2(x)
′
R2j−2(x) R2j−2(x)
R2j(x)
De modo análogo, demonstramos (3.2.38).
Também utilizaremos o seguinte teorema abeliano:
R2j(x)
Teorema 3.2.3 Suponhamos que o conjunto {ɛn,j : j ≤ n, n = 1, 2, · · ·} forma uma matriz
triangular limitada de números complexos tal que ɛn,j → 0 quando n → ∞ e j/n → t ∈ [0, 1].
Então, para qualquer z ∈ CI com |z| < 1,
quando n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1].
z k
k
ɛn,jz −j → 0
j=0

Demonstração: Consideremos uma seqüência {kn} ∞ n=1 tal que kn/n tende para um número
fixo t ∈ [0, 1] quando n tende para o infinito. Observe que
como
z kn
kn
ɛn,jz
j=0
−j kn
= ɛn,kn−iz
i=0
i .
Para i fixo, temos, por hipótese, que ɛn,kn−i → 0 quando n tende para o infinito e,
onde M é uma constante positiva,
|z kn
|ɛn,kn−iz i | ≤ M|z| i ,
kn
ɛn,jz
i=0
−j kn
| = | ɛn,kn−iz
i=0
i kn
| ≤ |ɛn,kn−iz
i=0
i kn
| ≤ M |z|
i=0
i .
Podemos, agora, usar o Teorema da convergência dominada de Lebesgue 2.1.1 para
obter o resultado desejado.
3.2.3 Propriedades Assintóticas
Teorema 3.2.4 Suponhamos que os coeficientes da relação de recorrência (2.2.12) sat-
isfaçam (3.2.34), onde {λn} ∞ n=1 é uma seqüência que varia regularmente com expoente α > 0.
Seja A uma constante positiva tal que |xn,j|/λ2n < A para todo n (o que é possível por
(2.2.27)). Então, para n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1],
1
λ 2 2n
Qk(λ2nz)
Qk−2(λ2nz) ∼ ˜ Q(z, t) = 1
(z −
2
˜b1t α )(z − ˜b2t α ) − (ã 2 1 + ã 2 2)t 2α
+
[(z − ˜ b1t α )(z − ˜ b2t α ) − (ã 2 1 + ã 2 2)t 2α ] 2 − 4ã 2 1ã 2 2t 4α
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−A, A].
47
(3.2.39)
,
Demonstração: Para d suficientemente grande, se z ∈ [A + d, ∞), então, de (2.2.15) e do
Teorema 2.2.12,
Qk−1(λ2nz)
λ2n
Qk(λ2nz) ≤
k λk,jp
j=1
2 k−1(xk,j)
z − xk,j/λ2n
< 1
d .
Conseqüentemente, como z − xk,j/λ2n > z − xn,n/λ2n > d (se k ≤ n),
λ 2
Qk−2(λ2nz)
1
2n
< . (3.2.40)
Qk(λ2nz) d2

Seja {kn} ∞ n=1 uma seqüência de inteiros tal que kn/n → t quando n → ∞ e
˜Qkn,n(z) = λ 2 Q2kn−2(λ2nz)
2n
Q2kn(λ2nz) .
Primeiramente, provaremos que esta razão converge para 1/ ˜ Q(z, t). Mas, de (3.2.40),
48
| ˜ Qkn,n(z)| < 1
. (3.2.41)
d2 Logo, existe uma subseqüência, { ˜ Qkñ,ñ(z)} ∞ ñ=1, que converge. Mostraremos que
{ ˜ Qkñ,ñ(z)} ∞ ñ=1 e { ˜ Qkñ+1,ñ(z)} ∞ ñ=1 têm o mesmo limite, que é o limite de ˜ Qkn,n(z).
Fazendo uk = Q2kñ (λ2ñz), pelo Lema 3.2.1 e por (3.1.4) e (3.1.5),
λ2
Q2kñ
2ñ
(λ2ñz) Q2kñ−2(λ2ñz)
−
Q2kñ+2(λ2ñz) Q2kñ (λ2ñz)
≤ λ2
a2(λ2ñz) · · · a2kñ
2ñ
(λ2ñz)
Q2kñ+2(λ2ñz)Q2kñ (λ2ñz)
+ λ2 kñ
2ñ |a2j+2(λ2ñz) · · · a2kñ
j=0
(λ2ñz)|
Q2j(λ2ñz)Q2j−2(λ2ñz)
× |b2j(λ2ñz) − b2j−2(λ2ñz)|
Q2kñ
(λ2ñz)Q2kñ+2(λ2ñz)
Q2j(λ2ñz)Q2j−4(λ2ñz)
+ |a2j(λ2ñz) − a2j−2(λ2ñz)|
Q2kñ (λ2ñz)Q2kñ+2(λ2ñz)
Agora, de (3.2.41), obtemos facilmente que, para j ≤ kñ,
Q2j(λ2ñz)
Q2kñ
(λ2ñz)
=
kñ
Q2j−2(λ2ñz)
Q2j(λ2ñz) <
2kñ−2j 1
.
λ2ñd
i=j+1
Observe que λ2kñ /λ2ñ = f(2kñ)/f(2ñ). Assim,
f(2ñkñ/ñ)
lim
n→∞ f(2ñ) =
kñ
ñ
α
ñ→∞
−→ t α .
Logo, das condições (3.2.34), se ñ → ∞ e kñ/ñ → t,
α 1/2
2kñ
λ2ñ
= α1/2 2kñ
λ2kñ
λ2kñ λ2ñ
De maneira análoga,
β2kñ
λ2ñ
= β2kñ λ2kñ
λ2kñ λ2ñ
−→ ã1t α
−→ ˜ b1t α
e α1/2
2kñ+1
λ2ñ
e β2kñ+1
λ2ñ
= α1/2
2kñ+1
λ2kñ
= β2kñ+1
λ2kñ
λ2kñ
λ2ñ
λ2kñ
λ2ñ
−→ ã2t α .
−→ ˜ b2t α ,
.
(3.2.42)
o que significa que, para nossa seqüência {kñ}, a matriz {a2j(λ2ñz)/λ 4 2ñ; j ≤ kñ, ñ = 1, 2, · · ·}
é limitada por uma constante C. Com isto, (3.2.42) torna-se
λ 2
Q2kñ
2ñ
(λ2ñz) Q2kñ−2(λ2ñz)
−
Q2kñ+2(λ2ñz) Q2kñ (λ2ñz)
≤
C
d4 kñ
C
+
d4 kñ kñ
j=1
+ |a2j(λ2ñz) − a2j−2(λ2ñz)|
λ 4 2ñd 6
|b2j(λ2ñz) − b2j−2(λ2ñz)|
λ2 2ñd4
C
d4 −j
.

3.2.3, segue que
Podemos, agora, escolher d suficientemente grande tal que C < d 4 e, pelo Teorema
˜Qkñ+1,ñ(z) − ˜ Qkñ,ñ(z) −→ 0, quando ñ → ∞ e kñ/ñ → t.
Assim, como { ˜ Qkñ,ñ(z)} é uma subseqüência convergente, então { ˜ Qkñ+1,ñ(z)} ∞ ñ=1
também converge e tem o mesmo limite. Seja 1/ ˜ Q(z, t) este limite. De (3.1.4) e (3.1.5),
temos que
onde
1
˜Qkñ+1,ñ(z)
Fazendo ñ −→ ∞, obtemos
= a2kñ (λ2ñz)
λ 2 2ñ
−
b2kñ (λ2ñz)
λ 4 2ñ
˜Q(z, t) = a(z, t) − b(z, t)/ ˜ Q(z, t),
a(z, t) = (z − ˜ b1t α )(z − ˜ b2t α ) − (ã 2 1 + ã 2 2)t 2α
Daí, segue que
˜Qkñ,ñ(z).
˜Q(z, t) = 1
{a(z, t) ± a
2 2 (z, t) − 4b(z, t)}.
e b(z, t) = ã 2 1ã 2 2t 4α .
Devemos escolher o sinal positivo uma vez que ˜ Q(z, t) tende para o infinito quando
z vai para infinito. Toda subseqüência de { ˜ Qkn,n(z)} ∞ n=1, portanto, tem o mesmo limite, de
onde o resultado segue para z ∈ [A + d, ∞).
Como { ˜ Qkn,n(z)} ∞ n=1 é uma seqüência de funções analíticas em CI \[−A, A], se tomar-
mos um conjunto compacto K em CI \ [−A, A], a distância ɛ deste conjunto ao intervalo
[−A, A] é estritamente positiva e, para z ∈ K, obtemos o limite superior
| ˜ Qkn,n(z)| ≤ 1
.
ɛ2 Além disso, sabemos que ˜ Qkn,n(z) converge em todo subconjunto de CI \[−A, A] com
um ponto de acumulação. Então, pelo Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4, ˜ Qkn,n(z) converge
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−A, A].
Repetindo o mesmo argumento para a subseqüência
Q ∗ kn,n(z) = λ 2 Q2kn−1(λ2nz)
2n
Q2kn+1(λ2nz) ,
encontramos que esta seqüência também converge para 1/ ˜ Q(z, t), o que demonstra o teorema.
49

Teorema 3.2.5 Sob as mesmas condições do teorema anterior, temos
(i)
(ii)
1
λ2n
1
λ2n
50
Q2k(λ2nz)
Q2k−1(λ2nz) ∼ ˜ Q(z, t) + ã2 1t2α z − ˜b1t α
, (3.2.43)
Q2k+1(λ2nz)
Q2k(λ2nz) ∼ ˜ Q(z, t) + ã 2 2t 2α
z − ˜ b2t α
uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−A, A].
Demonstração: Da fórmula de recorrência (2.2.12), obtemos facilmente que
1
λ 2 2n
Q2k+1(λ2nz)
Q2k−1(λ2nz) =
z − β2k
1
λ2n λ2n
Q2k(λ2nz)
Q2k−1(λ2nz)
, (3.2.44)
− α2k
λ2 .
2n
Fazendo n → ∞, k/n → t e usando o Teorema 3.2.4, (3.2.43) segue imediatamente.
Analogamente, demonstramos (3.2.44).
Teorema 3.2.6 Sob as mesmas hipóteses do Teorema 3.2.4, quando n → ∞ temos que
1 (d/dz)Qn(λ2nz)
n Qn(λ2nz)
−→ 1
2
=
1
0
(∂/∂z) ˜ Q(z, t)
dt
˜Q(z, t)
1
z − (
0
˜b1 + ˜b2)t α /2
(z − ˜b1t α )(z − ˜b2t α ) − (ã2 1 + ã2 2)t2α 2 uniformemente em todo subconjunto compacto de CI \ [−A, A].
− 4ã2 1ã2 2t4α dt,
(3.2.45)
Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar o resultado para z ∈ [A + d, ∞). Consi-
deremos, então, a função
gn(t) = − d
Q2[[nt]](λ2nz) Q2[[nt]](λ2nz)
, 0 ≤ t ≤ 1,
dz Q2[[nt]]+2(λ2nz) Q2[[nt]]+2(λ2nz)
onde [a] é a parte inteira do número real a. Assim,

pelo Lema 3.2.2.
1 1
gn(t)dt
2 0
= 1
=
1/n 2/n
1
gn(t)dt + gn(t)dt + · · · + gn(t)dt
2 0
1/n
(n−1)/n
1
⎧
⎨
′
1/n Q0(λ2nz) Q0(λ2nz)
−
dt
2 ⎩ 0 Q2(λ2nz) Q2(λ2nz)
′
2/n Q2(λ2nz) Q2(λ2nz)
+ −
dt + · · ·
1/n Q4(λ2nz) Q4(λ2nz)
′ ⎫
1 Q2n−2(λ2nz) Q2n−2(λ2nz) ⎬
+ −
dt
(n−1)/n Q2n(λ2nz) Q2n(λ2nz) ⎭
(3.2.46)
= 1
n
′
Q2j−2(λ2nz) Q2j−2(λ2nz)
−
2n j=1 Q2j(λ2nz) Q2j(λ2nz)
= 1 (d/dz)Q2n(λ2nz)
2n Q2n(λ2nz)
(3.2.47)
Se fixarmos t, pelo Teorema 3.2.4,
∂
1
∂z
gn(t) → −
˜Q(z, t)
1
˜Q(z, t)
=
∂
∂z ˜ Q(z, t)
˜Q(z, t) ,
que segue da convergência uniforme de funções analíticas (e de suas derivadas) em conjuntos
compactos. Também, para t ∈ [(j − 1)/n, j/n),
gn(t) = − d
dz
= − d
dz
− d
dz
Q2j−2(λ2nz) Q2j−2(λ2nz)
Q2j(λ2nz)
Q2j−2(λ2nz)
Q2j(λ2nz)
Q2j−2(λ2nz)
Q2j−1(λ2nz) Q2j−1(λ2nz)
Q2j−1(λ2nz) Q2j−1(λ2nz)
Q2j(λ2nz)
Q2j(λ2nz)
51
, (3.2.48)
onde a segunda igualdade é obtida ao multiplicarmos o numerador e o denominador por
Q2j−1(λ2nz).
Então,
1
2 gn(t) < 1
d .
O Teorema da convergência dominada de Lebesgue nos dá (3.2.45) para
z ∈ [A + d, ∞). O resultado geral segue do Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4. Usando o

mesmo argumento, demonstramos o resultado para os índices ímpares.
Os Teoremas 3.2.5 e 3.2.6 podem ser usados para construir fórmulas de quadratura
que usam os zeros dos polinômios ortogonais. Como na seção anterior, usaremos aqui o
conceito de convergência fraca. Para |˜γ| ≤ ˜ δ ≤ ˜ β, consideremos as funções distribuições
(3.1.12) e (3.1.13) já definidas e
˜ b(1) = min{ ˜ b1, ˜ b2},
˜ b(2) = max{ ˜ b1, ˜ b2},
ã(1) = min{ã1, ã2} e ã(2) = max{ã1, ã2}.
Teorema 3.2.7 Sob as condições do Teorema 3.2.4, para toda função contínua f, quando
n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1], temos que
(i)
2k
λ2k,jp
j=1
2 2k−1(x2k,j)f(x2k,j/λ2n) −→ ã2 (1)
ã2 ∞
1 −∞
f(x)dG
+ ã21 − ã2 (1)
ã2 f(
1
˜b2t α ),
x − ˜b1 + ˜b2 t
2
α ; ˜ δt α , ˜ βt α , −˜γt α
2k+1
(ii) λ2k,jp
j=1
2 2k(x2k+1,j)f(x2k+1,j/λ2n) −→ ã2 (1)
ã2
∞
f(x)dG x −
2 −∞
˜b1 + ˜b2 t
2
α ; ˜ δt α , ˜ βt α , ˜γt α
+ ã22 − ã2 (1)
ã2 f(
2
˜b1t α ),
(iii) 1
n
1
∞
f(xn,j/λ2n) −→ f(x)dF x −
n j=1
0 −∞
˜b1 + ˜b2 t
2
α ; ˜ δt α , ˜ βt α
dt,
onde
˜δ 2 =
˜b1 − ˜ b2
2
2
+ (ã1 − ã2) 2 , β˜ 2 =
˜b1 − ˜ b2
Demonstração: Sejam as funções distribuições discretas
e
Gn,k(x) =
2
2
52
+ (ã1 + ã2) 2 e ˜γ = ˜b1 − ˜b2 . (3.2.49)
2
k
λk,jp 2 k−1(xk,j)U(x − xk,j/λ2n) (3.2.50)
j=1
Fn(x) = 1
n
U(x − xn,j/λ2n), (3.2.51)
n j=1

onde U(x) é a função indicadora dada por (3.1.19).
A transformada de Stieltjes dessas funções são dadas por:
∞
S(Gn,k(x); z) =
−∞
que podemos obter de (2.2.15), e
∞
S(Fn(x); z) =
−∞
dGn,k(x)
z − x =
dFn(x)
z − x
que segue diretamente de (2.2.16).
k
j=1
λk,jp 2 k−1(xk,j)
z − xk,j/λ2n
1
n 1
=
n j=1z
− xn,j/λ2n
= 1
n
= λ2n
53
Qk−1(λ2nz)
, (3.2.52)
Qk(λ2nz)
(d/dz)Qn(λ2nz)
, (3.2.53)
Qn(λ2nz)
O comportamento assintótico dessas transformadas é dado pelos Teoremas 3.2.5 e
3.2.6. Pelo Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6, seus limites devem ser as transformadas
de Stieltjes dos limites fracos das funções distribuições Gn,k(x) e Fn(x) (seção 3.1). A iden-
tificação dos limites de (3.2.52) pode ser feita usando-se o Teorema 3.2.5, ou seja, para n e
k pares,
enquanto que para n par e k ímpar,
rior, temos que
S(G2n,2k(x); z) −→
S(G2n,2k+1(x); z) −→
z − ˜b1t α
˜Q(z, t) + ã2 ,
2α
1t
z − ˜b2t α
˜Q(z, t) + ã2 .
2α
2t
Seguindo o mesmo procedimento da demonstração do Teorema 3.1.5 da seção ante-
S(G2n,2k(x); z) =
2k
λ2k,jp 2 2k−1(x2k,j)
j=1
−→ ã2 (1)
ã2 S
1
Assim, podemos concluir o item (i).
1
(x − x2k,j/λ2n)
G x − ˜b1 + ˜b2 t
2
α ; ˜ δt α , ˜ βt α , −˜γt α
; z
+ ã21 − ã2 (1)
ã2 S
1
U(x − ˜b2t α ); z
.
(3.2.54)
De maneira análoga, demonstramos o item (ii) simplesmente substituindo-se o par
( ˜ b1, ã1) por (ã2, ˜ b2).
Para identificar o limite de (3.2.53), observe que o integrando de (3.2.45) é a trans-
formada de Stieltjes da função distribuição F (x − ( ˜ b1 + ˜ b2)t α /2; ˜ δt α , ˜ βt α ) de onde o resultado
segue.

A distribuição assintótica dos zeros dos polinômios ortogonais cujos coeficientes
da relação de recorrência variam regularmente é, portanto, igual à versão integral da dis-
tribuição assintótica dos zeros dos polinômios ortogonais com coeficientes de recorrência
limitados (como vimos na seção anterior).
3.2.4 Casos Especiais
Consideraremos, agora, alguns casos especiais dos teoremas anteriores desta seção.
O caso mais importante é quando ˜ b1 = ˜ b2 = ˜ b e ã1 = ã2 = ã > 0. Neste caso,
k
λk,jp
j=1
2 ∞
k−1(xk,j)f(xk,j/λ2n) −→ f(x)dG(x −
−∞
˜bt α ; 0, 2ãt α , 0)dt.
Fazendo z = xt α e, em seguida, x = z, obtemos
k
λk,jp
j=1
2 ∞
k−1(xk,j)f(xk,j/λ2n) −→ f(xt
−∞
α )dG((x − ˜b)t α ; 0, 2ãt α , 0)dt.
Mas,
G((x − ˜ b)t α ; 0, 2ãt α , 0) =
1
2 ˜ b 2 πt α
(x−˜b)t α√
4ã2t2α − u2I[−2ãtα ,2ãtα ](u)du.
−∞
Utilizando a mudança de variáveis u = (z − ˜ b)t α e, em seguida, u = z, obtemos
G((x − ˜b)t α ; 0, 2ãt α , 0) = 1
2˜b 2 x
4ã
π −∞
2 − (u − ˜b) 2I [ ˜b−2ã, ˜b+2ã] (u)du.
Portanto, o resultado do Teorema 3.2.7 torna-se
k
λk,jp
j=1
2 k−1(xk,j)f(xk,j/λ2n) −→ 1
2ã2 ˜b+2ã 4ã
π ˜b−2ã 2 − (x − ˜b) 2f(xt α )dx,
enquanto que, usando as mesmas mudanças de variáveis anteriores,
1
n
f(xn,j/λ2n) −→
n j=1
1
1
˜b+2ã f(xt
π 0 ˜b−2ã α dx
)
4ã2 − (x − ˜b) 2
Se fizermos f(x) = x M nesta última expressão, então,
1
n
xn,j
M
n j=1
λ2n
→ 1 1
π Mα + 1
˜ b+2ã
˜ b−2ã
y M dy
4ã 2 − (y − ˜ b) 2
dt.
dt.
54

Um importante caso a ser considerado é quando ã1 ou ã2 é igual a zero. Neste caso,
vemos que ˜ δ = ˜ β no Teorema 3.2.7 e as funções distribuições F e G tornam-se degeneradas
em dois pontos.
De fato, do Teorema 3.2.7, temos que
S(Fn(x); z) −→ S(F (x − ( ˜ b1 + ˜ b1)t α /2; ˜ βt α , ˜ βt α ); z).
Logo, de (3.2.55), obtemos que
F (x − ( ˜ b1 + ˜ b1)t α /2; ˜ βt α , ˜ βt α ) = 1
2 U(x − (˜ b1 + ˜ b1)t α /2 − ˜ βt α ) + 1
2 U(x − (˜ b1 + ˜ b1)t α /2 + ˜ βt α ).
Portanto,
De (3.1.15), temos que
F (x; ˜ β, ˜ β) = 1
2 U(x − ˜ β) + 1
2 U(x + ˜ β).
S(G(x; ˜ βt α , ˜ βt α , ˜γt α ); z) = 1
2 ˜
˜β + ˜γ
β z − ˜ βtα + ˜ β − ˜γ
z + ˜ βtα
Daí,
= ˜ β + ˜γ
2 ˜ β S(U(x − ˜ βt α ); z) + ˜ β − ˜γ
2 ˜ β S(U(x + ˜ βt α ); z).
G(x; ˜ β, ˜ β, ˜γ) = ˜ β + ˜γ
2 ˜ β U(x − ˜ β) + ˜ β − ˜γ
2 ˜ β U(x + ˜ β).
O resultado do Teorema 3.2.7 pode, então, ser dado como
2k
λ2k,jp 2 ⎪⎨
2k−1(x2k,j)f(x2k,j/λ2n) −→
j=1
Sabemos que
S(G2n,2k(x); z) −→
⎧
⎪⎩
55
f( ˜b2t α ), se ã2 = 0,
1
2 ˜
˜b2 −
β
˜b1 2
+ ˜
˜b1 +
β f
˜b2 2 + ˜
β t α
˜b2 −
+
˜b1 2
+ ˜
˜b1 +
β f
˜b2 2 − ˜
β tα
, se ã1 = 0.
z − ˜b1t α
˜Q(z, t) + ã2 =
2α
1t
1
z − ˜ b2t α
= S(U(x − ˜ b2t α ); z),
se ã2 = 0, de onde concluímos a primeira parte do resultado acima.
Se ã1 = 0,

z − ˜b1t α
˜Q(z, t) + ã2 z −
=
2α
1t ˜b1t α
[z − ˜b1 + ˜b2 t
2
α − ˜ βt α ][z − ˜b1 + ˜b2 t
2
α + ˜ βt α ]
= 1
2 ˜
(
β
˜
˜b1 +
β − ˜γ)S U(x −
˜b2 2 + ˜
β t α
); z
+ ( ˜
˜b1 +
β + ˜γ)S U(x −
˜b2 2 − ˜
β t α
); z ,
o que conclui o resultado. De maneira análoga,
2k+1
j=1
λ2k+1,jp 2 2k(x2k+1,j)f(x2k+1,j/λ2n)
⎧
f(
⎪⎨
−→
⎪⎩
˜b1t α ), se ã1 = 0,
1
2 ˜
˜b1 −
β
˜b2 2
+ ˜
˜b1 +
β f
˜b2 2 + ˜
β t α
˜b2 −
+
˜b1 2
+ ˜
˜b1 +
β f
˜b2 2 − ˜
β tα
, se ã2 = 0
Já, de (3.2.45), temos que
1
S(Fn(x); z) −→
Daí,
1
n
f(xn,j/λ2n) −→
n
1
1
f
2 0
j=1
0
z − ( ˜ b1 + ˜ b2)t α /2
[(z − ˜b1t α )(z − ˜b2t α ) − a2 (2) t2α ]
⎡
2 dt,
= 1
1 ⎢ 1
⎢
2 0 ⎣
z − ( ˜b1 + ˜b2 2 − ˜ β)t α
1
+
z − ( ˜b1 + ˜b2 2 + ˜ β)t α
⎥
⎦ dt
= 1
1
S U(x − (
2 0
˜b1 + ˜b2 2 − ˜ β)t α
); z
+S U(x − ( ˜b1 + ˜b2 2 + ˜ β)t α
); z dt.
onde f é uma função contínua, n → ∞, k/n → t e
3.2.5 Exemplos
˜b1 + ˜b2 2 + ˜
β t α
˜b1 +
+ f
˜b2 2 − ˜
β t α
dt,
˜β 2 = (( ˜ b1 − ˜ b2)/2) 2 + a 2 (2).
⎤
56
(3.2.55)
Importantes famílias de polinômios ortogonais satisfazem a uma relação de recorrência
com coeficientes que variam regularmente, tais como os polinômios de Laguerre, Hermite,

Meixner (de primeira de segunda espécies), Poisson-Charlier e Carlitz. Para todas essas
famílias pode-se aplicar os resultados obtidos nesta seção. Esses polinômios já foram trata-
dos por Nevai e Dehesa [38]. Veremos rapidamente polinômios com limites diferentes para
índices pares e ímpares.
Stieltjes [51], Carlitz [8]e Al-Salam [2] estudaram dois sistemas de polinômios orto-
gonais {Cn(x)} ∞ n=0 e {Dn(x)} ∞ n=0 cujas fórmulas de recorrência satisfazem
e
com
Cn+1(x) = xCn(x) − αnCn−1(x) (3.2.56)
Dn+1(x) = xDn(x) − βnDn−1(x), (3.2.57)
α2n = (2n) 2 κ 2 , α2n+1 = (2n + 1) 2 ,
β2n = (2n) 2 , β2n+1 = (2n + 1) 2 κ 2
e κ é um número real (ver [12, p.193]). Esses polinômios ortogonais estão relacionados a
funções elípticas da seguinte maneira. Sejam
K(κ 2 ) =
π/2 dθ
√
0 1 − κ2sen2θ −π
e q = e
K(1 − κ2 )
K(κ2 ) .
Se 0 < κ < 1, então 0 < q < 1 e as funções distribuições W (x) para os polinômios
{Cn(x)} ∞ n=0 e {Dn(x)} ∞ n=0 são, respectivamente,
e
W (C) (x) =
W (D) (x) =
∞
j=−∞
j=−∞
q (2j+1)/2
2j + 1
U x −
1 + q2j+1 2K(κ2 ) π
∞ qj
U x −
1 + q2j j
K(κ2 ) π
,
onde U(x) é a função definida em (3.1.19) (veja [12, p.194]). Isto significa que os polinômios
{Cn(x)} ∞ n=0 e {Dn(x)} ∞ n=0 são ortogonais no espaço gerado por π/K(κ 2 ).
É óbvio que as condições (3.2.34) são válidas com λ2n = n (α = 1). Para os
polinômios definidos em (3.2.56), encontramos ˜ b1 = ˜ b2 = 0, ã1 = κ e ã2 = 1. Para os
polinômios dados por (3.2.57) temos que ˜ b1 = ˜ b2 = 0, ã1 = 1 e ã2 = κ. Se usarmos o
Teorema 3.2.4, obtemos
57

1
lim
n→∞n2
Ck(nz)
Ck−2(nz)
1
= lim
n→∞n2
Dk(nz)
Dk−2(nz)
= 1
2 {z2 − (κ 2 + 1) 2 +
[z 2 − (κ − 1) 2 t 2 ][z 2 − (κ + 1) 2 t 2 ]},
uniformemente para z em conjuntos compactos de CI \ [−A, A]. Do limite superior (2.2.27),
segue que podemos tomar A = 2 se 0 < κ < 1, n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1]. O valor 2
para A certamente não é o melhor possível e, provavelmente, o comportamento assintótico
vale uniformemente para z num subconjunto compacto de CI \ ([−(1 + κ)t, −(1 − κ)t] ∪ [(1 −
κ)t, (1 + κ)t]). Entretanto, não é fácil provar esta última afirmação.
Sejam {x (C)
n,j } n j=1 e {x (D)
n,j } n j=1 os zeros de Cn(x) e Dn(x), respectivamente. Então,
pelo Teorema 3.2.7, temos que, para toda função contínua f e 0 < κ < 1,
lim
2k
n→∞
j=1
lim
2k+1
n→∞
j=1
λ (C)
2k,j c2 2k−1(x (C)
2k,j )f(x(C)
2k+1
2k,j /2n) = lim λ (D)
2k+1,jd22k(x (D)
2k+1,j )f(x(D) 2k+1,j /2n)
= 1
κ 2 π
1+κ
1−κ
f(tx) + f(−tx)
2
j=1
λ (C)
2k+1,jc22k(x (C)
2k+1,j )f(x(C) 2k+1,j /2n) = lim
= 1
π
1+κ
1−κ
f(tx) + f(−tx)
2
(1 + κ) 2 − x 2
x2 − (1 − κ) 2
dx
x
2k
λ
n→∞
j=1
D 2k,jd 2 2k−1(x (D)
2k,j )f(x(D)
(1 + κ) 2 + x2
x2 − (1 − κ) 2
x
2k,j /2n)
onde o significado de λ (C)
n,j e λ (D)
n,j é óbvio e {cn(x)} ∞ n=0 e {dn(x)} ∞ n=0 são os polinômios orto-
normais.
Finalmente,
1
n
lim f(x
n→∞n
j=1
(C)
1
n
n,j /n) = lim f(x
n→∞n
j=1
(D)
n,j /n)
= 1
1
1+κ
(f(tx) + f(−tx))
π 0 1−κ
(1 + κ) 2 − x2 dx,
x
(1 − κ) 2 dxdt.
− x2 58

Capítulo 4
Propriedades Assintóticas dos
Polinômios Similares
Neste capítulo, faremos um estudo semelhante ao que foi feito no capítulo anterior
para os polinômios ortogonais mas, agora, para os polinômios similares aos ortogonais, ˜ Bn(z).
Na seção 4.1, usamos principalmente o trabalho de Andrade, Sri Ranga e
Van Assche [3] e na seção 4.2, apresentamos os resultados obtidos por nós para o caso
em que os coeficientes da relação de recorrência são ilimitados.
4.1 Coeficientes da Relação de Recorrência Limitados
4.1.1 Introdução
não vazio.
Sejam ˜ X = (0, ∞) \ [ ˇ d, ˆ d] e ˜ Z = CI \ [ ˇ d, ˆ d]. Quando (??) e/ou (??) valem, então ˜ X é
Vamos supor, a partir de agora, que (??) sempre vale e consideremos o comporta-
mento dos polinômios
˜B 1
z − t V (t; d1, d2, d0, β, δ)dt = L(z; d1, d2, d0, β, δ).
59

Logo, analisando os casos α (1) ≥ α (0) e α (1) < α (0) ,
{(α (1) + α (0) ) − |α (1) − α (0) |}
2α (0) L(z; γ0, γ1, λ, β, β (0) ) = 1
2πα (0)
B
1
z − t V (t; γ0, γ1, λ, β, β (0) )dt.
Assim, o primeiro resultado deste teorema segue do Teorema ??. De maneira análoga,
o outro resultado do teorema é obtido trocando-se (α (0) , β (0) ) por (α (1) , β (1) ) em (??).
que
O resultado desse último teorema e as equações (??) e (??) nos permitem concluir
Teorema 4.1.1 Para toda função contínua e limitada f em (0, ∞),
(i) lim
2n
n→∞
r=1
2n+1
(ii) lim
n→∞
r=1
e
τ2n,rf(z2n,r) =
E (1)
τ2n+1,rf(z2n+1,r) =
f(t)dφ (1) (t),
E (0)
f(t)dφ (0) (t)
1
n
(iii) lim f(zn,r) = f(t)d
n→∞n
r=1
E
˜ F (t; γ0, γ1, β),
onde φ (0) (x) e φ (1) (x) são as mesmas funções dadas no Teorema ??.
4.1.2 Casos Especiais
Vamos considerar, agora, alguns casos especiais. Note que, mesmo que os coefi-
cientes βn, αn+1, n ≥ 1, sejam positivos, qualquer um de seus limites, isto é, qualquer um
dos valores β (0) , α (0) , β (1) e α (1) , pode assumir o valor zero.
Caso 1 : Vamos considerar o caso em que
α (0) = α (1) = α > 0 e β (0) = β (1) = β > 0.
Então, ã = ˜ b = β, a = β + 2α −
Substituindo esses valores em (??) e no Teorema ??, obtemos
60
(β + 2α) 2 − β2
e b = β + 2α + (β + 2α) 2 − β2 .
R4(z) = 1 1 z + β
+ √ √ =
2z 2z z − a z − b 1
b 1 1 + β/t
√ √ dt. (4.1.1)
2π a z − t b − t t − a

Do Teorema ??, segue que R (0)
3 (z) = R (1)
3 (z) = R3(z), onde
R3(z) =
2
z − β + (z − β) 2 − 4αz
pois (z − a)(z − b) = (z − β) 2 − 4αz.
1 b 1
=
2πα a z − t V (t; 0, 2√α, 0, β, β)dt,
Caso 2 : Agora, consideremos o caso onde α (0) ou α (1) assume o valor zero. Sejam (para ν
igual a 0 ou 1),
α (ν) = 0, α (1−ν) = α ≥ 0, β (ν) > 0 e β (1−ν) > 0.
Então, de (??), segue que a = ã e b = ˜ b. Com isto, podemos escrever
R4(z) = 1 1
+
2z 2z
z 2 − β (0) β (1)
(z − a)(z − b)
Portanto, ˜ F (t) = 1
1
U(t − a) + U(t − b).
2 2
1/2 1/2
= +
z − a z − b .
Note que se α = 0, então a = βmin = min{β (0) , β (1) } e b = βmax = max{β (0) , β (1) }.
De (??) e (??), podemos concluir que:
• se α (0) = α, então
R (0)
3 (z) =
• se α (1) = α, então
R (0)
3 (z) =
1
z − β (1) e R (1)
3 (z) =
z − β (0)
(z − a)(z − b) = β(0) − a 1
b − a z − a
Caso 3 : Consideraremos, agora, o caso
z − β (1)
(z − a)(z − b) = β(1) − a 1
b − a z − a
+ b − β(0)
b − a
1
z − b
+ b − β(1)
b − a
e R (1)
3 (z) =
α (ν) ≥ 0, α (1−ν) ≥ 0, β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Segue que u2 = 0 e, assim,
a = ã = 0, ˜ b = β + ( √ α (0) − √ α (1) ) 2
Substituindo esses valores em (??), temos que
R4(z) = 1/2
z +
1/2
z − ˜ b √ z − b
= 1/2
z
e b = β + ( √ α (0) + √ α (1) ) 2 .
1 b
+
2π ˜b 1 1
z − t
t − ˜b √ dt
b − t
1
z − b .
1
.
z − β (0)
61

e
˜F (t) = 1
1 t U(x −
U(t) +
2 2π −∞
˜b) − U(x − b)
√
b − x x − ˜ dx.
b
Se α (0) = α (1) e β = 0, então ˜ b também é zero.
Caso 4 : Finalmente, suponhamos que
α (ν) = 0, α (1−ν) = α ≥ 0, β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Então, a = ã = 0, b = ˜ b = β + α e
R4(z) = 1/2
z
+ 1/2
z − b .
Isto significa que ˜ F (t) = 1 1 U(t) + 2 2U(t − b). Se α = β = 0, então ˜ F (t) = U(t).
4.1.3 Exemplos
Daremos, agora, alguns exemplos de polinômios que satisfazem à relação de recorrên-
cia (??) para a qual os coeficientes satisfazem às propriedades (??) e (??).
Exemplo 1 : Para λ > 0 e 0 < a < b < ∞, os polinômios ˜ Bn(z) definidos por
b
t
a
−n+s Bn(t)t ˜ −λ (b − t) λ−1/2 (t − a) λ−1/2 dt = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1,
satisfazendo à relação de recorrência (??) com
βn = β, αn+1 =
n(n + 2λ − 1)
α, n ≥ 1,
(n + λ)(n + λ − 1)
onde β = √ ab e α = ( √ b − √ a) 2 /4. Este resultado também é válido para λ = 0 se tomarmos
α2 = 2α. Este caso foi trabalhado com mais detalhes por Cooper e Gustafson [15] e seus
polinômios R2n(x) estão relacionados aos polinômios ˜ Bn(x) por ˜ Bn(x 2 ) = x n R2n(x).
Como β (0) = β (1) = β e α (0) = α (1) = α, estamos tratando do caso 1 da última seção.
Exemplo 2 : Para 0 < a < b < ∞, consideramos os polinômios ˜ Bn(z) definidos por
b
a
t −n+s Bn(t) ˜ 1 + √ ab/t
√ √ dt = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1.
b − t t − a
62

A função distribuição neste caso é aquela que aparece no limite em (4.1.1). Em [47],
Sri Ranga e Bracciali demonstraram que esses polinômios satisfazem à relação de recorrência
(??) com
onde ln = (1 + l)n − (1 − l) n
(1 + l) n l, l =
+ (1 − l) n
última seção.
βn = βln−1/ln, αn+1 = (l 2 n − 1)βn, n ≥ 1,
1 + α/β, β = √ ab, e α = ( √ b − √ a) 2 /4.
Como β (0) = β (1) = β e α (0) = α (1) = α, estamos tratando novamente do caso 1 da
Exemplo 3 : Para λ > 0, consideremos os polinômios ˜ Bn(z) definidos por
onde
é uma função escada com saltos nos pontos
t = tk+1 =
∞
t
0
−n+s Bn(t)dψ ˜ (λ) (t) = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1,
1 + 2β(k + λ) +
dψ (λ) (t) = 2t (k + λ)
t + β
−1e−k k!
2(k + λ)
1 + 4β(k + λ)
e t = t−k−1 = β 2 /tk+1,
para k = 0, 1, · · · . Esses polinômios estão relacionados aos polinômios de Tricomi-Carlitz
através da transformação t(x) = { √ ρx 2 + β + √ ρx} 2 , x ∈ (−∞, ∞). Os coeficientes da
relação de recorrência associada satisfazem
βn = β e αn+1 =
n
, n ≥ 1.
(n + λ)(n + λ − 1)
Como β (0) = β (1) = β e α (0) = α (1) = 0, estamos agora no caso 2 e
R4(z) = 1
z − β
e R3(z) = 1
z − β .
Exemplo 4 : Como exemplo final consideremos os polinômios ˜ Bn(z) satisfazendo à relação
de recorrência (??) com
α2n = α (0) , α2n+1 = α (1) , β2n = β (0) para n ≥ 1 e β2n+1 = β (1) para n ≥ 0,
63

onde 0 < β (0) β (1) < ∞ e 0 < α (0) α (1) < ∞. Assim, os resultados dos Teoremas ?? − ?? e ??
são válidos. Como An(z)/ ˜ Bn(z) −→ R1(z) com
1
R1(z) =
z − β (1) α
−
(0) z
z − β (0) α
−
(1) z
z − β (1) α
−
(0) z
z − β (0) − . ,
. .
obtemos, da teoria de frações contínuas, que
R1(z) =
(z − β) 2 − λ 2 z − (α (0) − α (1) )z +
2(z − β (0) )
(z − β) 2 − γ2
0z (z − β) 2 − γ2 1z .
Assim, da mesma forma que no Teorema ??, obtemos que
R1(z) =
B
1
z − t
(1)
1 − αmin/α
dψ(t) =
z − β (1) + 1
2πα (1)
B
1
z − t V (t; γ0, γ1, λ, β, β (0) )dt,
onde B, γ1, γ0 e λ são os mesmos que os do Teorema ??. Dessa forma, concluímos que, com
a função distribuição acima, os polinômios ˜ Bn(z) satisfazem
B
t −n+s ˜ Bn(t)dψ(t) = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1.
Observe que se α (0) = α (1) = α, então λ = γ0 e
dψ(t) = 1
2π
√
√
b − t t − a
t − β(0)
dt,
t t − β (1)
em B = [a, βmin] ∪ [βmax, b], onde ab = β (0) β (1) e a + b = β (0) + β (1) + 4α.
64

4.2 Coeficientes da Relação de Recorrência Ilimitados
4.2.1 Introdução
Como no capítulo 3, seção 3.2, faremos uso da definição de função que varia regu-
larmente, 3.2.1, e vamos supor que existe uma seqüência que varia regularmente, λn, com
expoente α > 0. Sejam os coeficientes da relação de recorrência (??) satisfazendo
lim
n→∞ β2n/λ2n = β (0) , lim α2n/λ2n = α
n→∞ (0) ,
lim
n→∞ β2n+1/λ2n = β (1)
e lim
n→∞ α2n+1/λ2n = α (1) .
65
(4.2.2)
Seguindo o mesmo raciocínio utilizado na seção e no capítulo anteriores e supondo
que (??) seja válido, faremos, aqui, um estudo sobre o caso ilimitado para os polinômios
similares as ortogonais, Bn(z).
4.2.2 Propriedades Assintóticas
com
e
De (??), podemos obter a seguinte relação de recorrência:
Bk+1(λ2nz) = ak+1(λ2nz)Bk−1(λ2nz) − bk+1(λ2nz)Bk−3(λ2nz), k ≥ 3, (4.2.3)
ak+1(λ2nz) = (λ2nz − βk)(λ2nz − βk+1) − αk
De (4.2.3),
para λ2nz ∈ X.
λ2nz − βk+1
λ2nz − βk−1
λ2nz − αk+1λ2nz (4.2.4)
λ2nz − βk+1
bk+1(λ2nz) = αk−1αk
λ
λ2nz − βk−1
2 2nz 2 . (4.2.5)
ak+1(λ2nz) = Bk+1(λ2nz)
Bk−1(λ2nz)
Bk−3(λ2nz)
+ bk+1(λ2nz) , k ≥ 3. (4.2.6)
Bk−1(λ2nz)
Temos que a2(λ2nz) = B2(λ2nz) e a3(λ2nz) = B3(λ2nz)/B1(λ2nz).
Logo, do mesmo modo que na seção ??, podemos mostrar que ak(λ2nz) > 0, k ≥ 2,

Vamos estudar, agora, a convergência da razão 1
CI \ [ ˘ d, ˆ d], quando as condições (4.2.2) são satisfeitas.
Bk+1(λ2nz)
λ2 2n Bk−1(λ2nz)
66
para todo z ∈ Z =
Teorema 4.2.1 Suponhamos que os coeficientes da fórmula de recorrência (??) satisfazem
(4.2.2), onde λn é uma seqüência que varia regularmente com expoente α > 0. Sejam ˇ d e ˆ d
constantes positiva tais que ˇ d < zj,n/λ2n < ˆ d para todo n (o que é possível devido a (??)).
Então, para n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1],
1
λ 2 2n
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z, onde
R2(z, t) = 1
2
+
Bk+1(λ2nz)
Bk−1(λ2nz) → R2(z, t) (4.2.7)
(z − β (0) t α )(z − β (1) t α ) − (α (0) + α (1) )t α z
[(z − β(0)t α )(z − β (1) t α ) − (α (0) + α (1) )t α z] 2 − 4α (0) α (1) t 2α z 2
Demonstração: De (??), para k ≥ 3 temos que
Bk−1(λ2nz)
ak−1(λ2nz)Bk−3(λ2nz)
1 −
Bk+1(λ2nz)
ak+1(λ2nz)Bk−1(λ2nz)
=
bk+1(λ2nz)
ak−1(λ2nz)ak+1(λ2nz)
.
, k ≥ 3,
(4.2.8)
que, para qualquer z ∈ [ ˆ d+d, ∞), d > 0 suficientemente grande, nos fornece duas seqüências
encadeadas {g (0)
k (λ2nz)} e {g (1)
k (λ2nz)}, onde
com
e
g (ν)
k (λ2nz) = {1 − m (ν)
(ν)
k−1 (λ2nz)}m k (λ2nz), k ≥ 1, para ν = 0, 1,
Como r (ν)
h (ν)
k (z) = g(ν) k (λ2nz) =
r (ν)
k (z) = m(ν) k (λ2nz) = 1 −
de parâmetros para {h (ν)
k (z)}.
b2k+2+ν(λ2nz)
a2k+2+ν(λ2nz)a2k+ν(λ2nz)
B2k+2+ν(λ2nz)
a2k+2+ν(λ2nz)B2k+ν(λ2nz)
0 (z) = 0 para ν = 0 e ν = 1, a seqüência {r (ν)
k
, k ≥ 1
, k ≥ 0.
(z)} é uma seqüência minimal
Agora, sob as condições assintóticas (4.2.2), de (4.2.4) e (4.2.5), concluímos que
ak(λ2nz)
lim
n→∞ λ2 2n
= (z − β (0) t α )(z − β (1) t α ) − (α (0) + α (1) )zt α ,

e, portanto,
lim
n→∞ h(ν) k
(z) =
bk(λ2nz)
lim
n→∞ λ4 2n
= α (0) α (1) z 2 t 2α ,
α (0) α (1) z 2 t 2α
[(z − β (0) t α )(z − β (1) t α ) − (α (0) + α (1) )zt α ]
2 = h(z, t),
para qualquer z ∈ [ ˆ d + d, ∞). Assim, do Teorema 2.1.7, segue que 0 ≤ h(z, t) ≤ 1/4 e as
correspondentes seqüências de parâmetros {r (ν)
k (z)} convergem para limites que dependem
somente de h(z, t). Logo, {r (0)
k
(z)} e {r(1) (z)} convergem para o mesmo limite e, conseqüen-
k
temente, Bk+1(λ2nz)
λ 2 2nBk−1(λ2nz) converge para um limite R2(z, t) para qualquer z ∈ [ ˆ d + d, ∞).
Fazendo n tender para infinito em (4.2.8), obtemos o limite
R2(z, t) = 1
λ 2
Bk−1(λ2nz)
2n
Bk+1(λ2nz)
2 {(z − β(0) t α )(z − β (1) t α ) − (α (0) + α (1) )t α z
+ [(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α (0) + α (1) )tαz] 2 − 4α (0) α (1) t2αz2 }.
Agora, para z ∈ Z, como zk,j/λ2n são os zeros de Bk(λ2nz),
= λ2
2n
Bk−1(λ2nz)
Bk(λ2nz)
Bk(λ2nz)
Bk+1(λ2nz)
≤
k
τk,j k+1
τk+1,j
j=1z
− zk,j/λ2n j=1
z − zk+1,j/λ2n
onde ɛ = dist(z, [ ˇ d, ˆ d]). Isto significa que a seqüência Bk−1(λ2nz)
λ 2 2nBk+1(λ2nz)
67
1
= ,
ɛ2 , n ≥ 1, é uniformemente
limitada em todo subconjunto compacto de Z. Portanto, do Teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4,
obtemos o resultado do teorema.
De (??), obtemos facilmente que
1
λ 2 2n
de onde concluimos que
Bk+1(λ2nz)
Bk−1(λ2nz) =
z − βk
1 Bk(λ2nz) αk
−
λ2n λ2n Bk−1(λ2nz) λ2 z,
2n
Corolário 4.2.2 Suponha que (??) e (4.2.2) sejam válidos. Então,
lim
B2k(λ2nz)
n→∞ λ2n
B2k+1(λ2nz)
lim
n→∞ λ2n
B2k−1(λ2nz)
B2k(λ2nz)
= R(0)
3 (z, t) =
= R(1)
3 (z, t) =
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z.
z − β (0) t α
R2(z, t) + α (0) t α z ,
z − β (1) t α
R2(z, t) + α (1) t α z ,

Teorema 4.2.3 Sob as mesmas condições do Teorema 4.2.1, temos que, quando n → ∞,
1 (d/dz)Bk(λ2nz)
n Bk(λ2nz)
→ R4(z, t) = 1
1 (∂/∂z)R2(z, t)
dt
⎡ 2 0 R2(z, t)
1
= ⎣
0
1
z
2z
2 − u2t2α
[z2 − u1tαz + u2t2α ] 2 − 4u3t2α 1
+
z2 2z
⎤
⎦ dt
68
(4.2.9)
uniformemente em todo subconjunto compacto de Z, onde u1 = β (0) + β (1) + α (0) + α (1) ,
u2 = β (0) β (1) e u3 = α (0) α (1) .
Demonstração: Como na demonstração do Teorema 3.2.6, mostraremos o resultado para
z ∈ [ ˆ d + d, ∞). Seja a função
gn(t) = − d
dz
B2[[nt]](λ2nz)
B2[[nt]]+2(λ2nz)
onde [a] é a parte inteira do número real a.
Desta forma, encontramos que
1 (d/dz)B2n(λ2nz)
2n B2n(λ2nz)
B2[nt]](λ2nz)
Se fixarmos t, então, pelo Teorema 4.2.1,
∂
1
∂z
gn(t) → −
R2(z, t)
1
R2(z, t)
=
B2[nt]+2(λ2nz)
= 1
1
gn(t)dt.
2 0
∂
∂z R2(z, t)
R2(z, t)
, 0 ≤ t ≤ 1,
que segue da convergência uniforme de funções analíticas, e de suas derivadas, em conjuntos
compactos. Também, para t ∈ [(j − 1)/n, j/n),
Então,
gn(t) = − d
dz
− d
dz
B2j−2(λ2nz) B2j−2(λ2nz)
B2j−1(λ2nz) B2j−1(λ2nz)
B2j−1(λ2nz) B2j−1(λ2nz)
B2j(λ2nz)
1
2 gn(t) < 1/d.
B2j(λ2nz)
. (4.2.10)
O Teorema da convergência dominada de Lebesgue nos dá (4.2.9) para z ∈ [ ˆ d+d, ∞).
O resultado geral segue do teorema de Stieltjes-Vitali 2.1.4. O mesmo argumento é usado
para os índices ímpares. Calculando-se explicitamente 1 (∂/∂z)R2(z, t)
chega-se ao resultado
2 R2(z, t)
desejado.

4.2.3 Representação Integral
e
Consideremos as funções distribuições F e G da seção anterior, ou seja,
F (u; γ0, γ1, β) = 1
u
2π
−∞
G(u; d1, d2, d0, β, δ) = 2 [(d
π
2 2 − d2 0) 1/2 + (d2 1 − d2 0) 1/2 ] 2
(d2 2 − d2 1) 2
69
|x − β|(x + β)/x
γ2 1x − (x − β) 2
(x − β) 2 − γ2 0x IE(x)dx (4.2.11)
u d
×
−∞
2 2x − (x − β) 2
x[(x − β2 ) 2 − d2 0x]
(x − β) 2 − d 2 1x
onde IE(x) é a função indicadora do conjunto E = [a, a] ∪ [b, b].
(4.2.12)
(x − β)(x − δ)
IE(x)dx,
|x − β|
Daremos, agora, outras propriedades para o caso ilimitado. Primeiramente, anali-
Bk−1(λ2nz)
saremos a convergência da razão λ2n
Bk(λ2nz) .
Teorema 4.2.4 Suponhamos que (??) e (4.2.2) sejam válidos e que 0 < β (0) β (1) e
0 < α (0) α (1) . Então,
R (0)
3 (z, t) =
E (0)
e
R (1)
3 (z, t) =
E (1)
1
z − x dψ(0) (x) =
1
z − x dψ(1) (x) =
onde B = [a, a] ∪ [b, b], αmin = min{α (0) , α (1) }
(0)
1 − αmin/α
z − β (1) tα + 1
2πα (0)
1
B z − x V (x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , λt α/2 , βt α , β (0) t α )dt,
(1)
1 − αmin/α
z − β (0) tα + 1
2πα (1)
1
B z − x V (x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , λt α/2 , βt α , β (1) t α )dt,
λ 2
= ( β (0)
− β (1) ) 2
, β = β (0) β (1) ,
γ 2
1 = ( β (0)
− β (1) ) 2 + ( √ α (0) + √ α (1) ) 2 = ( √ b − √ a) 2 ,
γ 2
0 = ( β (0)
− β (1) ) 2 + ( √ α (0) − √ α (1) ) 2 = ( √ b − √ a) 2 .

Demonstração: De (4.2.7) e do corolário 4.2.2, obtemos
R (0)
3 (z, t) = 2(z − β (0) tα )
×
(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α (1) − α (0) )tαz
+ [(z − β (0) tα )(z − β (1) tα ) − (α (1) + α (0) )tαz] 2 − 4α (0) α (1) t2αz2 (4.2.13)
−1 .
escrito como
Com o mesmo raciocínio usado na demonstração do Teorema ??, R (0)
3 (z, t) pode ser
|α (1) − α (0) | − (α (1) − α (0) )
2α (0) (z − β (1) t α )
Lembremos que
D
B
+ {(α(1) + α (0) ) − |α (1) − α (0) |}
2α (0)
L(z; γ0t α/2 , γ1t α/2 , λt α/2 , βt α , β (0) t α ).
1
z − t V (t; d1, d2, d0, β, δ)dt = L(z; d1, d2, d0, β, δ).
Logo, analisando os casos α (1) ≥ α (0) e α (1) < α (0) , chegamos que
{(α (1) + α (0) ) − |α (1) − α (0) |}
2α (0)
L(z; γtα/2 , γtα/2 , λtα/2 , βtα , β (0) tα )
= 1
2πα (0)
B
1
z − x V (x; γtα/2 , γt α/2 , λt α/2 , βt α , β (0) t α )dt.
Assim, o primeiro resultado deste teorema segue de (??). De maneira análoga, como
R (1)
3 (z, t) = 2(z − β (1) t α )
×
+
(z − βtα ) 2 − λ2tαz − (α (0) − α (1) )tαz
(z − βt α ) 2 − γ 2 0t α z
(z − βt α ) 2 − γ 2 1t α z −1
o outro resultado do teorema é obtido trocando-se (α (0) , β (0) ) por (α (1) , β (1) ).
70
, (4.2.14)
Teorema 4.2.5 Sob as mesmas condições do Teorema 4.2.1, para toda função contínua f,
quando n → ∞ e k/n → t ∈ [0, 1], temos que
(i)
2k
τ2k,jf(z2k,j/λ2n) → αmin
∞
j=1
α (1)
−∞
f(x)dG
x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , λt α/2 , βt α , β (1) t α
+ α(1) − αmin
α (1) f(β (0) t α ),
2k+1
(ii) τ2k+1,jf(z2k+1,j/λ2n) →
j=1
αmin
α (0)
∞
f(x)dG
−∞
x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , λt α/2 , βt α , β (0) t α
+ α(0) − αmin
α (0) f(β (1) t α ),

(iii) 1
n
1
∞
f(zn,j/λ2n) → f(x)dF
n j=1
0 −∞
x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , βt α
dt,
onde
γ 2
0 = ( β (0)
− β (1) ) 2 + ( √ α (0) − √ α (1) ) 2 , γ 2
1 = ( β (0)
− β (1) ) 2 + ( √ α (0) + √ α (1) ) 2 ,
λ 2
= ( β (0)
− β (1) ) 2
e β =
Demonstração: Sejam as funções distribuições discretas
e
β (0) β (1) .
k
Gn,k(x) = τk,jU(x − zk,j/λ2n) (4.2.15)
j=1
Fn(x) = 1
n
U(x − zn,j/λ2n), (4.2.16)
n j=1
onde U(x) é a função dada por (3.1.19). As transformadas de Stieltjes dessas funções dis-
tribuições são
e
∞
S(Gn,k(x); z) =
∞
S(Fn(x); z) =
−∞
−∞
dGn,k(x)
z − x
dFn(x)
z − x
= 1
n
Bk−1(λ2nz)
= λ2n
Bk(λ2nz)
71
(4.2.17)
(d/dz)Bn(λ2nz)
. (4.2.18)
Bn(λ2nz)
O comportamento assintótico dessas transformadas é dado pelo Corolário 4.2.2 e
pelo Teorema 4.2.3, e, pelo Teorema de Grommer-Hamburger 2.1.6, os limites devem ser as
transformadas de Stieltjes dos limites fracos das funções distribuições Gn,k(x) e Fn(x). A
identificação dos limites em (4.2.17) é feita de maneira análoga à demonstração do teorema
3.2.7 da seção 3.2. Para identificar o limite de (4.2.18), observe que o integrando de (4.2.9) é a
transformada de Stieltjes da função distribuição F (x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , βt α ) de onde o resultado
segue.
4.2.4 Casos Especiais
Como fizemos para o caso onde os coeficientes da relação de recorrência são limi-
tados, analisaremos aqui, também os casos que chamam mais a atenção. Entre eles estão
aqueles em que os coeficientes da relação de recorrência têm limites nulos.

Caso 1 : Primeiramente, vamos considerar o seguinte caso:
R3(z, t) =
α (0) = α (1) = α > 0 e β (0) = β (1) = β > 0.
Então, a = b = β, a = β + 2α −
72
(β + 2α) 2 − β2
e b = β + 2α + (β + 2α) 2 − β2 .
Observe que podemos escrever R4(z, t) da seguinte maneira
R4(z, t) = 1
1
2z 0
z2 − β (0) β (1) t2α √
z − atα √ z − atα√z − btα√ 1
+
z − btα 2z
Logo, substituindo esses valores em (4.2.19) e em (4.2.11), temos
R4(z, t) = 1
1 1 z + βt
+
2z 2z 0
α
√
z − atα √ dt
z − btα b
1 1
=
dF (x)dt
a 0 z − x
= 1
b
1 1 1 + βt
2π a 0 z − x
α /x
√ √
btα − x x − atα dtdx.
Do Teorema 4.2.4, segue que R (0)
3 (z, t) = R (1)
3 (z, t) = R3(z, t), onde
2
(z − βtα
) + (z − βtα ) 2 − 4αtαz pois (z − at α )(z − bt α ) = (z − βt α ) 2 − 4αt α z.
dt. (4.2.19)
1 b 1
=
2πα a z − x V (x; 0, 2√αtα , 0, βt α , βt α )dt,
Caso 2 : Agora, consideremos o caso em que α (0) ou α (1) assumem o valor zero. Sejam
(para ν igual a 0 ou 1),
α (ν) = 0, α (1−ν) = α ≥ 0, β (ν) > 0 e β (1−ν) > 0.
Então, de (4.2.19), segue que a = a e b = b. Com isto, podemos escrever
1
R4(z, t) =
0
1 1
+
2z 2z
z2 − β (0) β (1) t2α (z − atα )(z − btα
dt =
)
Portanto, F (x; γ0t α/2 , γ1t α/2 , βt α ) = 1
2 U(t − atα ) + 1
2 U(t − btα ).
1
0
1/2 1/2
+
z − atα z − btα
dt.
Agora, se α = 0, então a = βmin = min{β (0) , β (1) } e b = βmax = max{β (0) , β (1) }.
De (4.2.13) e (4.2.14), a seguinte afirmação também vale:
• se α (0) = α, então
R (0)
3 (z, t) =
1
z − β (1) t α

e
R (1)
3 (z, t) =
• se α (1) = α, então
e
R (0)
3 (z, t) =
Caso 3 : Sejam, agora,
e
z − β (1) tα (z − atα )(z − btα ) = β(1) − a 1 b − β(1) 1
+ ;
b − a z − atα b − a z − btα z − β (0) tα (z − atα )(z − btα ) = β(0) − a 1 b − β(0) 1
+
b − a z − atα b − a z − btα R (1)
3 (z, t) =
1
z − β (0) .
tα α (ν) ≥ 0, α (1−ν) ≥ 0, β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Segue que u2 = 0 e, assim,
a = a = 0, b = β + ( √ α (0) − √ α (1) ) 2
Substituindo esses valores em (4.2.19), temos que
R4(z, t) = 1/2
z +
1 1/2
√
0 z − btα √ 1/2
dt =
z − btα z
F (x) = 1
1 1
U(x) +
2 2π 0
Caso 4 : Finalmente, vamos supor que
x
−∞
e b = β + ( √ α (0) + √ α (1) ) 2 .
1 1
+
2π 0
b
b
U(u − b) − U(u − b)
√ bt α − u √ u − bt α dudt.
α (ν) = 0, α (1−ν) = α ≥ 0, β (ν) = 0 e β (1−ν) = β ≥ 0.
Então, a = a = 0, b = b = β + α e
R4(z, t) = 1/2
z +
1 1/2
dt.
0 z − btα 73
1 1
√
z − x x − btα √ btα − x dxdt,
Isto significa que F (x) = 1
1 U(x) + 2 2U(x − btα ). Se α = β = 0, então F (x) = U(x).

4.2.5 Exemplo
No artigo [48], Sri Ranga mostra a relação entre polinômios ortogonais e os polinômios
L-ortogonais associados quando as funções peso estão associadas de maneira especial, a partir
da transformação
t(x) = { ρx2 + β + √ ρx} 2 , x ∈ (−∞, ∞), (4.2.20)
onde t(x) representa uma aplicação biunívoca entre (−∞, ∞) e (0, ∞).
A inversa de t(x) é dada por
x(t) = 1
2 √ ρ
74
√t β
− √t , t ∈ (0, ∞). (4.2.21)
Dois resultados importantes desse artigo são os seguintes.
Teorema 4.2.6 Sejam b e d tais que √ b = √ ρd 2 + β + √ ρd e
v(t) = At −1/2 w(x(t)).
Então, w(x) é uma função peso em (−d, d) tal que w(x) = w(−x) se, e somente se, v(t) é
uma função peso forte em (β 2 /b, b) tal que √ tv(t) =
positivo.
β 2 /tv(β 2 /t), onde A é um número
Teorema 4.2.7 Sejam w(x) e v(x) um par de funções peso dadas pelo Teorema 4.2.6 e
Qn(x) e Bn(t) os polinômios ortogonais e similares associados a w(x) e v(t), respectivamente.
Então, para n ≥ 0,
Bn(t) = (2 √ ρt) n Qn(x(t)). (4.2.22)
Sabemos que os polinômios mônicos de Hermite, Hn(x), são ortogonais no intervalo
(−∞, ∞), com relação à função peso w(x) = e −x2
e satisfazem à relação de recorrência
Hn+1(x) = xHn(x) − αnHn−1(x), n ≥ 1, (4.2.23)
onde αn = n/2. Logo, de (4.2.21), (4.2.22) e (4.2.23), os polinômios Hn(t), similares aos
ortogonais Hn(x), satisfazem à relação de recorrência (??), onde βn+1 = β e αn+1 = 2ρn, n ≥
1 e a função peso é, pelo Teorema 4.2.6,
v(t) = t −1/2 e − t+β2 /t
4α em (0, ∞).

Daí,
α2n = 2(2n − 1)ρ, α2n+1 = 2(2n)ρ e β2n = β2n+1 = β.
Podemos observar que os coeficientes α2n e α2n+1 são ilimitados, mas variam regu-
larmente. Dessa forma, podemos tomar uma seqüência que varia regularmente, {λn}, onde
λ2n = 2n. Assim, das condições (4.2.2) teremos que β (0) = β (1) = β e α (0) = α (1) = 2ρ.
Assim, estamos tratando do caso 1 da última seção, onde α = 2ρ e β = β.
75

Capítulo 5
Considerações Finais
Diversos trabalhos sobre propriedades assintóticas dos polinômios ortogonais Qn(z)
e seus zeros quando ocorre o caso (3.1.1) já foram publicados. Para citar alguns, Nevai em
[35, 36] fez uma cuidadosa investigação do caso onde b1 = b2 = b e a1 = a2 = a (em [36]
a foi considerado maior que zero). Um de seus resultados é que os zeros dos correspon-
dentes polinômios ortogonais têm comportamento arco-seno. Este comportamento dos zeros
já foi verificado para uma grande classe de polinômios ortogonais (ver, por exemplo [21] e
[53]). Mas, na maioria dos casos, o resultado segue de um conhecimento a priori da função
distribuição φ com relação à qual os polinômios são ortogonais. Entretanto, podemos ter
acesso à relação de recorrência (2.2.12) sem qualquer conhecimento da função distribuição
φ. Chihara [9, 12] mostrou que, sob as condições (3.1.1) (com a1 = a2 = a), pode-se usar
seqüências encadeadas para mostrar que os zeros dos polinômios ortogonais são densos na
união de dois intervalos disjuntos. Essas seqüências encadeadas foram também usadas por
Maki [33] para provar o comportamento regular arco-seno para o caso em que b1 = b2 = b e
a1 = a2 = a, mas fez uma hipótese extra: αn ≤ a 2 .
Akhiezer [1] estudou polinômios ortogonais com função peso concentrada na união de
dois intervalos disjuntos e com os coeficientes da relação de recorrência satisfazendo (3.1.1).
Os dois intervalos disjuntos desempenharam importante papel para se encontrar o compor-
tamento assintótico dos coeficientes da relação de recorrência que foram estudadas aqui.
O caso em que os coeficientes da relação de recorrência para os polinômios ortogo-
76

nais têm limites finitos também foi tratado em Chihara [11], Nevai [37], Geronimo e Case
[23] e outros. Coeficientes de recorrência assintoticamente periódicos com finitos pontos de
acumulação foi estudado por Chihara [11], Geronimo e Van Assche [24, 5]. Já o caso em
que os coeficientes da relação de recorrência para os polinômios similares satisfazem (??) foi
tratado em [3]. Em geral, pode-se dizer que o suporte da função distribuição φ é limitada
se, e somente se, os coeficientes da relação de recorrência são limitados.
Se os coeficientes da relação de recorrência são ilimitados, então a propriedade de
ortogonalidade é estendida sobre um conjunto ilimitado, possivelmente todo o eixo real.
Alguns aspectos interessantes dos polinômios ortogonais com relação a uma função peso
w(x) = φ ′
(x) em (−∞, ∞) e em (0, ∞) para a qual
lim
x→∞ |x|−α log w(x) = −1 (α > 0)
foi dado por Rakhmanov [40], Mhaskar, Saff [34] e Ullman [54, 55] (ver também [43]). Uma
conjectura bem conhecida por Freud [22] diz que, para a função peso |x| ρe−|x|α, os coeficientes
αn da relação de recorrência satisfazem
lim
n→∞ n−1/αα 1/2
n =
1/α Γ(α/2)Γ(α/2 + 1)
Γ(α + 1)
77
(5.1)
(observe que βn = 0, pois w é uma função par). Freud provou esta conjectura para α = 2, 4
e 6 e a prova geral, para α um inteiro par positivo, foi dada por Magnus [32]. A conjectura
(5.1) indica que a seqüência αn cresce como n 2/α . Assim, dizemos que esta seqüência varia
regularmente com expoente 2/α. A conjectura foi provada por Lubinsky, Mhaskar e Saff
[30, 31]. Ver também [38] para maiores informações sobre a conjectura de Freud.
Chihara [13] estudou o caso em que os coeficientes da relação de recorrência são ilimi-
tados e fez um extenso uso de seqüências encadeadas para dar condições a esses coeficientes
sob as quais o conjunto dos zeros dos polinômios ortogonais tivesse um limitante superior
(ou inferior). Nevai e Dehesa [38] supuseram que os coeficientes da relação de recorrência
divergiam, mas de forma que existisse uma função crescente positiva Φ(t) satisfazendo
Φ(x + t)/Φ(t) → 1 para todo x > 0 e t → ∞, tal que βn/Φ(n) e α 1/2
n /Φ(n) tivessem
limites finitos. Sob essas condições, Nevai e Dehesa obtiveram assintóticos para
n
x
j=1
M n
n,j/ Φ
0
M (t)dt,

onde xn,1 < xn,2 < · · · < xn,n são os zeros de pn(x) (ou Qn(x)) e M é um inteiro fixo positivo.
De forma semelhante, Van Assche em [6] fez um estudo para o caso em que os co-
eficientes da relação de recorrência satisfazem (3.2.34), onde λn é uma seqüência que varia
regularmente (definição 3.2.2).
Em [3], Andrade, Sri Ranga e Van Assche estudaram o comportamento assintótico
dos polinômios similares quando os coeficientes da relação de recorrência satisfazem (??).
Com base nos trabalhos aqui apresentados, fizemos um estudo semelhante ao de Van
Assche [6] para o caso dos polinômios similares cujos coeficientes da relação de recorrência
satisfazem (4.2.2) que, para nosso conhecimento, ainda não há nenhum trabalho publicado.
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