2009/2 Geometria Diferencial - Instituto de Matemática - UFRJ

IM
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEM ÁTICA
Licenciatura em Matemática - 2009/2
Geometria Diferencial -Lista 3 - Prof. Nedir
UFRJ
Nos exercícios abaixo todas as superfície regulares são admitidas orientáveis. Lembrando
que a escolha de um campo normal unitário equivale a escolha de uma orientação.
1. Seja S superfície regular em R 3 .
Definição. Dizemos que uma função f : S → R é diferenciável em p0 ∈ S quando para
qualquer X : U → S, coordenadas locais na vizinhança de p, a função f ◦ X : U → R é
diferenciável.
Admitamos que uma aplicação diferenciável f : S → R seja a restrição de uma aplicação
diferenciável F : R 3 → R e que f seja nula me X(U), para alguma escolha de coordenadas
locais.
a) Mostre que, para cada p ∈ X(U) a componente tangente a S em P do gradiente de F
se anula.
b) Dê exemplo de F e S, com F não constante, satisfazendo o item a.
2. Sejam S superfície regular, X : U → S coordenadas locais e N : S → S 2 a Aplicação
Normal de Gauss. Admita que K(p), a curvatura gaussiana de S em p, seja não nula,
para todo p ∈ S. Considere D ⊂ U tal que a restrição de N a D seja bijeção e denotemos
Q := X(D).
a) Dê a expressão de A(N(Q), a área da imagem esférica de X(D).
b) Conclua, do item anterior, que, sendo K constante, então A(N(Q) = KA(Q), em que
A(Q) é a área de Q.
3. Seja S superfície regular conexa. Mostre que se todos os pontos de S são umbílicos então
ou S está contida em um plano ou Sestá contida numa esfera de raio r, com r = 1/ √ K,
onde K é a curvatura gaussiana de S, ou seja, particularmente, a curvatura gaussiana é
constante.
Sugetão: Observe que a condição de umbilicidade significa que dNp(Xu) = λ(p)Xu e
dNp(Xv) = λ(p)Xv, onde X = X(u, v) é parametrização local numa vizinhança de um
ponto p e λ(p) = λ(X(u, v)) = λ(u, v) é uma função diferenciável(verifique). Mostre
primeiramente que λ é uma função constante, derivando dNp(Xu) = λ(p)Xu e dNp(Xv) =
λ(p)Xv. Isto implica que a curvatura gaussiana é constante. Conclua que a superfície é
parte de um plano se a constante for zero. Se for diferente de zero, procure o candidato
a centro da esfera e mostre que os pontos da superfície estão a uma distância constante
desse ponto.
4. Sejam S superfície regular, N sua aplicação normal de Gauss e p ∈ S. Uma direção
w ∈ TpS é dita assintótica quando < dNp(w), w >= 0, isto quer dizer que a curvatura
normal na direção w é nula. Verifique as afirmações:

a) Se p é um ponto elíptico então não existem direções assintóticas em p.
b) Se p é um ponto hiperbólico então existem exatamente duas direções assintóticas em p.
c) Se p é um ponto parabólico então existe uma única direção assintótica em p, que é
também direção principal.
d) Se p é um ponto planar então todas as direções em p são assintóticas.
5. Sejam S superfície regular e X : U → S coordenadas locais. Considere a função
f : U → R , f(u, v) = 〈X(u, v) , (N ◦ X)(u, v)〉, em que N : S → S 2 é a Aplicação Normal
de Gauss. Admita que f seja regular em U. Mostre que as curvas coordenadas não podem
ser linhas de curvatura com curvatura normal nula.
6. Considere a superfície S = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = 1} como o traço de uma superfície
parametrizada regular de revolução X : U → R 3 , X(u, v) = (cosu, senu, v).
a) As curvas coordenadas de X são linhas de curvatura?
b)Você poderia determinar quais curvas são linhas de curvatura?
7. Seja S uma superfície regular que é traço de uma superfície parametrizada de revolução.
As curvas coordenadas de S, segundo essa parametrização, são linhas de curvatura?
8. Seja S uma superfície regular. Mostre que se α : I ⊂ RtoS é uma parametrização regular
local de uma geodésica em S então esta parametrizaçao é proporcional ao comprimento de
arco.
9. Mostre que as retas são as geodésicas de um plano.
10. Numa superfície de revolução os meridianos e paralelos são sempre geodésicas? (Para
facilitar as contas, considere a curva de revolução parametrizada pelo comprimento de
arco.)
11 Seja S a superfície dada pelo gráfico de função f : R 2 → R , f(x, y) = x 2 − y 2 .
a) Mostre que S contêm as retas bissetrizes do primeiro e segundo quadrantes do plano
z = 0 e mostre (usanso a definição) que essas retas são direções assintóticas de S.
b) Que diferença há, em termos da diferencial da Aplicação Normal de Gauss, entre as
direções assintóticas do cilindro circular e as direções assintóticas do item a)?
12 Estude direções e linhas importantes das seguinte superfícies: Esfera, Chapeu de Sherlock,
Toro de revolução, superfícies de revolução, em geral, Sela do Macaco, Helicóde,
Catenóide.
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