Aula nº 11 (07/10/05) (Cálculo limites de sucessões ... - deetc

Aula nº 11 (07/10/05) (Cálculo limites de sucessões)
Aproximação assintótica
Serve essencialmente para calcular rapidamente o limite antes de efectuar o cálculo
formal
Definição: As sucessões ( ) e ( )
un
lim 1
v =
n
u v dizem-se assintoticamente iguais ( u ~ v ) se
n n
n n
Assim no cálculo de limites é possível substituír sucessões por outras assintóticas
(provando-o!), sendo necessário olhar a expressão como um todo e não a termos
isolados.
n
⎛n+ 1⎞
∞
lim ⎜ temos uma indt 1 se aplicarmos ( n+1 ) ~ n somos conduzidos a um resultado errado, pois
n
⎟
⎝ ⎠
n n n
⎛n+ 1⎞ ⎛n⎞ ⎛n+ 1⎞
n
lim⎜ e lim 1,pois não é assintótico a 1
n
⎟ = ≠ ⎜ =
n
⎟ ⎜
n
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
2 2
( ) ( )
n − n n
lim = lim =+∞, pois n −n
~ n e n+1 ~ n
n+ 1 n
Quando se deve aplicar….
1) Se lim u n = 0 temos:
( n )
= sen( u ) u ;
sen u
lim 1 ou seja ~
u
n
n n
( n )
= tg ( u ) u ;
tg u
lim 1 ou seja ~
u
n
n n
un
( )
( )
arcsen un
lim = 1 ou seja arc sen( u ) ~ u
u
n
( )
arctg un
lim = 1 ou seja arctg ( u ) ~ u
u
n
n n
n n
u
e n − 1
ln un
+ 1
lim = 1 ou seja e − 1 ~ un;
lim = 1 ou seja ( ln ( u + 1 ) ) ~ u
u
u
n
Justificação, ver MI:
( )
n
n n
x
( ) ( ) ( ) ( ) e −1
( + 1)
sen x arcsen x tg x arctg x ln x
lim = lim = lim = lim = lim = lim = 1
→+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x
x x x x x x
Ex. Calcule

3 2
2 2⎛3⎞
⎛2⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞
a)lim ( 2n + 1 ) sen ; )lim ( 1 ) ( ) ; )lim n n
⎜ b n arctg n arctg c n e e
n
⎟ + ⎜
n
⎟
⎜ ⎜ − ⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
2
⎛ 3 ⎞
⎛ ⎞
narcsen e n 1
n
⎜ 2 ⎟⎜ − ⎟
n 3 1
n 1 ⎜ ⎟
⎛ + ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎝ + ⎠
d) lim ( 2n+ 1) ln ; e)lim 1 tg ; f)lim
⎝ ⎠
⎜
n 2
⎟ ⎜ + ⎜
n
⎟⎟
⎝ + ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠
⎛ 5⎞ ⎛ 2 ⎞
ln ⎜1+ ln 1
n
⎟ ⎜ +
n 1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ + ⎠
2 ⎛ 2 ⎞
arctg(
n) sen ⎜ 2 ⎟
2 5
g)lim
⎝n + n+
⎠
3⎛1⎞ 2⎛
3⎞
2ntg ⎜ ln 1+
n
⎟ ⎜
n
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Para n muito maior que 1 (n>>1) temos:
p q 1) n n ( p q )
>> ; > 0 ∧ > 0 ∈ ℜ (qt. maior o expoênte + rápido a sucessão cresce)
n p 2) ( )
a >> n ; a > 1 ∈ℜ, q∈ℜ
n n 3) a b ; ( a b 1)
>> > > ∈ℜ
p 4) n log ( n) ; ( a 1 p 0)
>> > ∧ > ∈ ℜ
n n
5) n >> n! >> a ;
a
Ex 1) Calcule
5 2 n 4
n
2n − 3n + 1 2 + n 3n + 10 n!
a)lim ; b)lim ; c)lim
5 4
n n n n
n + 10n + 2 10.2 + 3 + 5 5n + 4 + ln n
Teoremas:
u1+ u2 + ... + un
I) limun= a⇒ lim = a, ( a∈ℜ
)
n 2k
Ex. Calcule lim ∑
3kn
+ n
k = 1
II) limu = a⇒ lim n u × u × ... × u = a, ( u ≥ 0)
n 1 2 n n
un
III) lim ( un+ 1 un) a lim a, ( a )
− = ⇒ = ∈ℜ
u
n+ 1 IV) lim = a⇒ lim n u = a, ( u > 0)
u
n
n
n
n n
n
n n n
Ex. 1)lim ln n;2)lim n!;3)lim
!
n
⎛un+ 1 − un ⎞ un
⎛com limun = lim vn =+∞ e vn
crescente ⎞
v) lim ⎜ ⎟= a⇒ lim = a,
⎜ ⎟
⎝ vn+ 1 − vn ⎠
vn
⎝ ou limu n = lim vn = 0 e vn
decrescente ⎠
( )

∑ k
k=1 Ex lim
n
∑
3k+1
k=1
n