Prova comentada - Vestibular UFSC/2008
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1) an = a1+ (n-1) . r<br />
⎛ a + an<br />
⎞<br />
2) Sn = ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
sen<br />
cos<br />
tg<br />
MATEMÁTICA<br />
FORMULÁRIO<br />
30 o<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
45 o<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
60 o<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
10) Vparalelepípedo = a.b.c<br />
1 . n 11) Vcubo = 3<br />
3) an = a1 . q n –1 12) Vcone =<br />
4) Sn<br />
5)<br />
6)<br />
S<br />
A p n<br />
a 1 .<br />
(q<br />
n<br />
− 1)<br />
3<br />
a<br />
A . h<br />
B<br />
= 13) dA,B= ( ) ( ) 2<br />
2<br />
x − x + y − y<br />
q − 1<br />
a1<br />
1 − q<br />
n!<br />
(n − p) !<br />
= 14) (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2<br />
= 15) Aesfera = 4.π.r 2<br />
7) Pn = n! 16) Alateral cone = π.r.g<br />
8)<br />
9)<br />
Pn =<br />
α , β<br />
C p n<br />
=<br />
n!<br />
α! β!<br />
n!<br />
p! (n − p) !<br />
17) Atrapézio =<br />
B<br />
3<br />
A<br />
(B +<br />
b) ⋅ h<br />
2<br />
B<br />
A
Questão 21<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. Dividindo-se<br />
2<br />
3<br />
2 por<br />
3<br />
2<br />
2 obtém-se 1.<br />
02. Os astrônomos usam o termo ano-luz para representar a distância percorrida pela luz em<br />
um ano. Se a velocidade da luz é de 3,0 × 10 5 km/s e um ano tem aproximadamente<br />
3,2 × 10 7 segundos, então a distância em quilômetros da estrela Próxima Centauri, que está<br />
aproximadamente a 4 anos-luz de distância da Terra, é 3,84 × 10 13 .<br />
04. Para Pitágoras e seus discípulos um número é perfeito se a soma dos divisores desse<br />
número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número. Portanto, segundo o critério<br />
dos pitagóricos, o número 28 não é perfeito.<br />
08. Uma grandeza x (x>0) varia de forma inversamente proporcional ao quadrado da grandeza<br />
y (y>0). Se para x = 16 temos y = 3, então para x = 4 temos y = 12.<br />
2<br />
16. Numa padaria, o quilo do pão salgado custa do preço do quilo do pão doce. Se para<br />
3<br />
comprar 4 quilos de pão salgado e 6 quilos de pão doce você vai gastar R$ 26,00, então o<br />
quilo do pão salgado custa R$ 6,00.<br />
32. Ana tem ao todo 15 notas, sendo essas notas de 1 real, 5 reais e 10 reais, totalizando<br />
100 reais. Se Ana tem pelo menos uma nota de cada tipo, então Ana possui 5 notas de<br />
1 real.<br />
64. Se Lucas pesa 70 kg e senta a 1,1 m do centro de apoio de uma gangorra, então Sofia,<br />
que pesa 55 kg, deverá sentar a 1,4 m do centro para que a gangorra fique em equilíbrio.<br />
Gabarito: 98 (02+32+64)<br />
Número de acertos: 603 (8,78%)<br />
Grau de dificuldade previsto: fácil<br />
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão compreende sete proposições, que envolvem conhecimentos básicos e<br />
fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e sua aplicação em<br />
situações-problema, como potências e suas propriedades, notação científica, divisores de um<br />
número natural, grandezas diretamente e inversamente proporcionais e sistemas de equações<br />
do primeiro grau. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixa<br />
(apenas 8,78%), com um espalhamento correlato distribuído entre várias respostas. Esta foi a<br />
segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. É<br />
surpreendente o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar<br />
com conhecimentos básicos e fundamentais de temas que, além de bastante explorados no<br />
Ensino Fundamental, são também utilizados ao longo do Ensino Médio e aplicados em<br />
situações reais, como comprar pão e brincar de gangorra. Além da resposta correta - 98<br />
(02+32+64) -, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem
decrescente de preferência: 32 – 6,66%; 33 (01+32) – 4,60%; 36 (04+32) – 4,50%; 96 –<br />
(32+64) 4,38%; 34 (02+32) – 4,28%; 66 (02+64) – 3,51%; 37 (01+04+32) – 3,42%. Como podese<br />
observar mais uma vez, na dúvida os candidatos optam pelo acerto parcial, como pode-se<br />
verificar através dos índices das respostas 32, 34, 66 e 96. A proposição correta, 32, obteve<br />
58,62% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por<br />
outras respostas das quais fazia parte, como pode-se observar acima. Talvez o bom índice<br />
obtido por esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, sistemas de<br />
equações do primeiro grau, é explorado desde a sexta série do Ensino Fundamental, além do<br />
fato de que o candidato poderia resolver a situação-problema proposta pelo método da<br />
tentativa e erro. Esperava-se ainda, um índice superior aos 41,16% obtidos pela proposição<br />
64, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas que é a proporcionalidade,<br />
em particular a aplicação da regra de três em situações de proporcionalidade inversa. A<br />
situação-problema desta proposição poderia também ser resolvida aplicando-se os<br />
conhecimentos de Física do Ensino Médio, mais especificamente aqueles relativos ao equilíbrio<br />
estático dos corpos. Outra forma, ainda, de o candidato intuir a veracidade ou não da<br />
proposição é o fato de que a gangorra está presente em praticamente todos os parques de<br />
diversão e qualquer criança que já brincou em uma gangorra com seus colegas de diferentes<br />
pesos sabe que a criança mais pesada deve aproximar-se (sentar mais próxima) do pivô para<br />
que a gangorra esteja em equilíbrio. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento<br />
nesta questão foram a consideração das proposições 01 e 04 como corretas, com 37,59% e<br />
32,59% da preferência dos candidatos, respectivamente. <strong>Prova</strong>velmente, a maioria dos<br />
candidatos que assinalou a proposição 01 como correta considerou que:<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3 6<br />
2 = ( )<br />
2<br />
2 = 2 e que<br />
3<br />
2 3<br />
2<br />
2 2 6<br />
3 2<br />
3<br />
2 = ( 2 ) = 2 , o que implica 2 : 2 = 1. Mas os resultados são diferentes: 2 = 9<br />
3<br />
2<br />
2 e 2 = 8<br />
2 , o<br />
2 3<br />
3 2<br />
que leva a 2 : 2 = 2. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 04 como<br />
correta não tenha dado a devida atenção ao fato de que um número é perfeito se a soma dos<br />
divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número, o que se<br />
verificava para o número 28 (28 = 1+2+4+7+14). Ou, talvez ao determinar os divisores de 28,<br />
tenham esquecido de considerar o número 1, que é divisor de todos os números, e assim<br />
julgaram equivocadamente a proposição como correta, isto é, o número 28 não é perfeito.
Questão 22<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00, uma<br />
comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão<br />
registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.<br />
Total de salários<br />
em reais<br />
2200<br />
2000<br />
1800<br />
1600<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
•<br />
• •<br />
•<br />
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor<br />
é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês.<br />
02. Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre<br />
a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x.<br />
x<br />
04. Em Química, o pH é definido por: pH = log , onde [H + ] é a concentração de<br />
hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja<br />
concentração hidrogeniônica é 2 × 10 -4 molL -1 [H<br />
, o pH é igual a 4,3.<br />
Considere: log 2 = 0,30.<br />
+ ] ⎟⎟<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
08. Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da<br />
festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de<br />
cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a<br />
decoradora havia planejado decorar era 12.<br />
16. Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de<br />
estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a<br />
carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa<br />
situação vivenciada por Bento.<br />
Tempo<br />
•<br />
• •<br />
6000 12000 18000<br />
Posição<br />
x<br />
Total de vendas<br />
em reais
Gabarito: 18 (02+16)<br />
Número de acertos: 2276 (33,25%)<br />
Grau de dificuldade previsto: fácil<br />
Grau de dificuldade obtido: médio<br />
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos<br />
principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: interpretação gráfica e aplicação da função<br />
polinomial do primeiro grau, áreas de figuras planas, aplicação dos logaritmos decimais e suas<br />
propriedades na área de Química para a determinação do pH, aplicação da equação do<br />
segundo grau, interpretação de gráficos de movimento. Esta foi a terceira questão da prova a<br />
ter o maior índice de acerto. A proposição 02 foi a proposição correta que teve o segundo<br />
maior índice de preferência dos candidatos: 75,12%. Ela foi responsável pelos índices das<br />
respostas: 02 – 10,94%; 06 (02+04) – 5,40%; 10 (02+08) – 4,24%; 18 (02+16) – 33,25% e 22<br />
(02+04+16) – 9,93%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição<br />
deva-se à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado com o auxílio do formulário<br />
( B + b).<br />
h<br />
( 10 − x + x).<br />
10<br />
2<br />
fazendo: = ⇒ A =<br />
⇒ A = 50cm<br />
. Portanto, a área da parte<br />
Atrapézio trapézio<br />
trapézio<br />
2<br />
2<br />
colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido<br />
para x . Nesta questão também fica evidente, no quadro de freqüência de respostas da prova,<br />
a preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode<br />
observar através dos índices das respostas 02 – 10,94% e 16 – 6,16%. A proposição incorreta<br />
04 obteve 29,68% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,56%,<br />
5,40%, 3,05% e 9,93% para as respostas 04, 06 (02+04), 20 (04+16) e 22 (02+04+16),<br />
respectivamente. <strong>Prova</strong>velmente a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como<br />
+<br />
−4<br />
correta até tenha substituído, na expressão dada, a concentração hidrogênica ( H ) por 2×<br />
10<br />
e aplicado as propriedades dos logaritmos, obtendo<br />
⎛ 1 ⎞<br />
−1<br />
4<br />
−1<br />
4<br />
pH = log⎜<br />
⇒ = log(<br />
2 . 10 ) ⇒ = log( 2 ) + log( 10 )<br />
4 ⎟ pH<br />
pH<br />
, mas não deu a devida atenção<br />
−<br />
⎝ 2.<br />
10 ⎠<br />
aos sinais e fez pH = log( 2)<br />
+ 4log(<br />
10)<br />
⇒ pH = 0,<br />
30 + 4 = 4,<br />
30 ao invés de<br />
pH = −log(<br />
2)<br />
+ 4log(<br />
10)<br />
⇒ pH = −0,<br />
30 + 4 = 3,<br />
70 . A proposição incorreta 08 obteve 19,94% da<br />
preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,47%, 4,24% e 2,86% para as<br />
respostas 08, 10 (02+08) e 26 (02+08+16), respectivamente. É surpreendente o fato de que<br />
quase 20% dos candidatos consideraram esta proposição como correta, já que a sua<br />
veracidade, ou não, podia ser facilmente verificada utilizando-se os próprios dados fornecidos<br />
no enunciado da proposição.
Questão 23<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. A tabela abaixo mostra a relação entre a posição de uma figura e a quantidade de<br />
elementos que ela possui:<br />
Posição 1 2 3 4 5<br />
Número de elementos 4 7 10 13 16<br />
Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-se afirmar que na centésima posição<br />
haverá uma figura com 301 elementos.<br />
02. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética de razão dois. Se o perímetro do<br />
triângulo é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 19 cm.<br />
04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto<br />
para consumo de metade da massa radioativa dessa substância. Se após 2 horas a massa<br />
desta substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial da amostra era de 64 g.<br />
08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a doze badaladas e a cada meia hora bate<br />
uma badalada. O número de badaladas que esse relógio dá em um dia é 179.<br />
16. Na seqüência de triângulos eqüiláteros, representada nas figuras a seguir, cada novo<br />
triângulo eqüilátero tem seus vértices nos pontos médios dos lados do triângulo eqüilátero<br />
que o antecede. Se a área do primeiro triângulo eqüilátero é A e supondo que essa<br />
seqüência continue indefinidamente, então a soma de todas as áreas dos triângulos assim<br />
5A<br />
obtidas é .<br />
4<br />
32. A soma das raízes da equação x 3 – 12x 2 + 44x – 48 = 0, sabendo-se que estão em<br />
progressão aritmética, é 12.<br />
Gabarito: 33 (01 + 32)<br />
Número de acertos: 1159 (16,89%)<br />
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: médio<br />
Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre progressões<br />
aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema e na determinação<br />
das raízes de uma equação polinomial. A proposição 01 trata de um tema muito explorado no<br />
Ensino Médio e nos vestibulares, que é a identificação de regularidades e a aplicação do termo<br />
geral de uma progressão aritmética. A proposição 32 poderia ser resolvida calculando-se as<br />
raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo-se a soma entre elas,<br />
ou aplicando as relações de Girard e verificando diretamente que a soma das raízes é 12.<br />
Estas duas proposições obtiveram 65,55% e 46,70% da preferência dos candidatos,<br />
respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 01 – 16,99%; 32 – 5,17% e<br />
33 (01+32) – 16,89%. O fato de os candidatos concentrarem suas respostas em 01 e 32 vem,<br />
novamente, reforçar a tese de que eles, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição<br />
incorreta 04 obteve 27,54% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices<br />
obtidos pelas respostas: 04 – 2,97%; 05 (01+04) – 5,87% e 37 (01+04+32) – 3,85%. Talvez os<br />
candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito equivocadamente o<br />
6<br />
cálculo a seguir: 2h<br />
= 120min<br />
= 6×<br />
20min<br />
⇒ ( 2g)<br />
= 64g<br />
.
Questão 24<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade de ela parar na cor branca<br />
1<br />
é . Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que<br />
12<br />
são fronteiras comuns.<br />
02. Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma<br />
“cara” e um número menor que 4 é de 25%.<br />
04. Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar duas operações: digitar uma<br />
senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar<br />
uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de<br />
26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.<br />
08. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares<br />
indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no<br />
Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o<br />
partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4<br />
parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser<br />
formadas é 5040.<br />
16. O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa abaixo<br />
usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor<br />
diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.<br />
SP<br />
PR<br />
SC<br />
RS
Gabarito: 10 (02 + 08)<br />
Número de acertos: 1005 (14,68%)<br />
Grau de dificuldade previsto: difícil<br />
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do<br />
estudo de Probabilidade e Análise Combinatória, como: determinar a probabilidade de um<br />
evento e aplicar na resolução de situações-problema os conceitos de arranjo simples e<br />
combinação simples. Além da resposta correta 10 (02+08), com 14,68%, outras três respostas<br />
predominaram no quadro de freqüência, que são: 02 – 21,51%; 08 – 8,96%; 16 – 8,04% e 18<br />
(02+16) – 6,44%. Como pode-se observar, a resposta 02 superou inclusive o índice da<br />
resposta correta da questão. Este fato vem a reforçar a tese de que os candidatos, na dúvida,<br />
optam pelo acerto parcial assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que<br />
estão corretas, neste caso 02 e 08. A proposição incorreta 16 obteve 34,83% da preferência<br />
dos candidatos e foi responsável pelos índices das respostas 16 e 18 (02+16), destacados<br />
acima. É provável que os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham<br />
feito, simplesmente, P 4 = 4! ⇒ P4<br />
= 24 sem, no entanto, levar em consideração o fato de que<br />
Santa Catarina só pode ser pintada de verde ou vermelho.
Questão 25<br />
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está<br />
fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos<br />
dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do<br />
forno de microondas.<br />
Se comprar um Forno de Microondas e<br />
um Refrigerador, você só pagará<br />
R$ 1.490,00<br />
Se comprar um Refrigerador e<br />
um Fogão, você só pagará<br />
R$ 1.750,00<br />
Se comprar um Fogão e<br />
um Forno de Microondas, você só pagará<br />
R$ 840,00<br />
PREÇO BOM – ELETRODOMÉSTICOS<br />
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.<br />
Gabarito: 29 (questão aberta)<br />
Número de acertos: 3406 (50,34%)<br />
Grau de dificuldade previsto: fácil<br />
Grau de dificuldade obtido: fácil<br />
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos<br />
principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: equações e sistemas de equações lineares.<br />
Esta foi a questão mais fácil da prova toda, obtendo o maior índice de acerto entre as<br />
respostas corretas: 50,34%. Cabe registrar, também, que não houve outras respostas com<br />
porcentagens de freqüência em destaque para esta questão. Por outro lado, sobressai o fato<br />
de que os outros quase 50% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com esses<br />
tópicos que são introduzidos no Ensino Fundamental e aprofundados no Ensino Médio. Tratase<br />
de uma situação-problema que faz parte do cotidiano dos candidatos, ou seja, analisar<br />
ofertas e promoções das lojas e supermercados.
Questão 26<br />
As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função<br />
seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do<br />
⎛ π ⎞<br />
nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen⎜ t ⎟ , em que t é o<br />
⎝12<br />
⎠<br />
tempo medido em horas.<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.<br />
02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.<br />
04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.<br />
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que<br />
o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.<br />
Gabarito: 12 (04+08)<br />
Número de acertos: 786 (11,52%)<br />
Grau de dificuldade previsto: difícil<br />
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão envolve conhecimentos de trigonometria, em particular o estudo da função seno.<br />
Apenas 11,52% dos candidatos responderam corretamente, com um espalhamento correlato,<br />
distribuído entre várias respostas. Listando-se as respostas pela ordem decrescente das<br />
preferências, têm-se: 04 – 9,16%; 10 (02+08) – 8,94%; 08 – 8,35%; 11 (01+02+08) – 7,81%; 09<br />
(01+08) – 6,92%; 06 (02+04) – 6,90%; 02 – 6,80%; 05 (01+04) – 6,70%; 03 (01+02) – 6,52%;<br />
01 – 5,20%; 15 (01+02+04+08) – 4,13%; 07 (01+02+04) – 3,81%; 14 (02+04+08) – 3,34% e 13<br />
(01+04+08) – 3,00%. Como pode-se observar, a grande responsável pelo erro e pelo<br />
espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 01 e 02 como corretas, as<br />
quais obtiveram, respectivamente, 43,86% e 48,06% da preferência dos candidatos. As<br />
proposições 01 e 02 foram as duas proposições incorretas da prova com o maior índice de<br />
preferência dos candidatos. Talvez, da mesma forma como os índices foram tão próximos,<br />
também o raciocínio feito pelos candidatos para verificar a veracidade ou não das duas<br />
proposições tenha sido muito próximo, já que ambas estavam relacionadas. É provável que a<br />
maioria dos candidatos que assinalou a proposição 01 como correta tenha considerado,<br />
equivocadamente, o conjunto imagem da função seno como sendo de [ 0 , 1]<br />
ao invés de [ − 1,<br />
1]<br />
e<br />
⎛ π ⎞<br />
assim fizeram h(<br />
t)<br />
= 8 + 4sen⎜<br />
⋅t<br />
⎟ ⇒ h(<br />
t)<br />
= 8 + 4(<br />
0)<br />
⇒ h(<br />
t)<br />
= 8 . Isto talvez tenha contribuído para<br />
⎝12<br />
⎠<br />
que os candidatos assinalassem também como correta a proposição 02 ao fazer, de forma<br />
⎛ ⎞<br />
equivocada, sem prestar a devida atenção ao estudo da função seno: sen⎜ ⋅t ⎟ = 0 ⇒ t = 12<br />
⎝12<br />
⎠<br />
π<br />
.<br />
As proposições corretas 04 e 08 obtiveram 48,33% e 53,83% da preferência dos candidatos,<br />
respectivamente. Como pode-se observar, cada uma das proposições corretas da questão,<br />
separadamente, obteve um bom índice da preferência dos candidatos, mas o problema foi a<br />
combinação de ambas, realizada por um número muito reduzido de candidatos, o que implicou<br />
um baixo índice de acerto total da questão.
Questão 27<br />
⎡0<br />
⎢<br />
Considere as matrizes: A = ⎢y<br />
⎢<br />
⎣1<br />
no conjunto dos números reais.<br />
x<br />
−1<br />
z<br />
1⎤<br />
⎥<br />
0⎥<br />
, B =<br />
0⎥<br />
⎦<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
⎡−1<br />
⎢<br />
⎢ y<br />
⎢<br />
⎣ 1<br />
1⎤<br />
⎡ 7<br />
⎥ ⎢<br />
0⎥<br />
e C = ⎢−6<br />
x⎥<br />
⎢<br />
⎦ ⎣ 2<br />
2⎤<br />
⎥<br />
3⎥<br />
, onde x, y e z variam<br />
z⎥<br />
⎦<br />
⎡ 64 ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = ⎢-69⎥<br />
.<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 20 ⎦<br />
02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.<br />
04. A matriz transposta de B é B t ⎡ 1 y −1⎤<br />
= ⎢ ⎥ .<br />
⎣x<br />
0 1 ⎦<br />
08. Se A.B = C, então x + y + z = 5.<br />
Gabarito: 03 (01+02)<br />
Número de acertos: 582 (8,54%)<br />
Grau de dificuldade previsto: médio<br />
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão trata do estudo de matrizes, seus tipos mais freqüentes, suas operações e a<br />
aplicação das propriedades dessas operações. Somente 8,54% dos candidatos apontaram<br />
como corretas apenas as proposições 01 e 02, que obtiveram 34,31% e 49,11% da preferência<br />
dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar foi muito baixo o índice de acerto<br />
nesta questão, tendo em vista que o tópico de matrizes além de ser bastante explorado no<br />
Ensino Médio, é considerado muito fácil pelos alunos. Essa foi a questão da prova que teve o<br />
menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil. Ao analisar o quadro de freqüência de<br />
respostas observa-se, além da resposta correta, um espalhamento correlato, distribuído entre<br />
várias respostas que são, em ordem decrescente de preferência: 02 – 17,74%; 04 – 15,25%;<br />
08 – 9,14%; 01 – 8,88%; 10 (02+08) – 7,81%; 06 (02+04) – 7,50%; 09 (01+08) – 5,68%; 12<br />
(04+08) – 4,65%; 05 (01+04) – 3,83% e 11 (01+02+08) – 3,01%. Novamente, percebe-se que,<br />
na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s)<br />
proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 01 e 02. A grande responsável<br />
pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como<br />
corretas, as quais obtiveram 37,82% e 35,29% da preferência dos candidatos,<br />
respectivamente. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 04 como verdadeira<br />
não tenham refletido a respeito do significado da palavra ordenadamente na definição da matriz<br />
transposta de uma matriz dada: seja A uma matriz m × n . Denomina-se matriz transposta de A<br />
t<br />
(indica-se por A ) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A . No caso<br />
da proposição 08, bastaria o candidato realizar o produto das matrizes A e B , a seguir igualar
a matriz C para obter diretamente os valores de x, y e z e, finalmente, verificar que<br />
x + y + z ≠ 5.
Questão 28<br />
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. A lenda do altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, conta a história da duplicação do<br />
volume desse altar, exigida pelo oráculo da cidade de Delfos para acabar com a peste<br />
que assolava Atenas. Para cumprir a ordem, basta fazer como os habitantes de Atenas:<br />
dobrar as medidas dos lados do altar.<br />
02. Um cone, cuja superfície lateral é construída com um semicírculo de raio r, é semelhante a<br />
outro cone cuja superfície lateral é formada por um quarto de círculo de mesmo raio r.<br />
04. Se uma esfera está inscrita num cubo de 4 cm de aresta, então a área da superfície esférica<br />
é igual a 16π cm 2 .<br />
08. Um paralelepípedo reto, de base retangular, tem uma de suas arestas da base medindo<br />
3 cm a mais do que a altura do sólido, e a outra aresta da base mede 5 cm a mais do que<br />
essa altura. Se o volume do sólido é de 144 cm 3 , então sua altura mede 2 cm.<br />
16. Se um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares, então esse<br />
poliedro tem 7 vértices.<br />
Gabarito: 20 (04+16)<br />
Número de acertos: 807 (11,78%)<br />
Grau de dificuldade previsto: médio<br />
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão compreende cinco proposições, que envolvem conhecimentos de geometria espacial<br />
e equações algébricas, tendo como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar<br />
os dois temas. O resultado obtido ficou muito aquém do esperado, pois apenas 11,78% dos<br />
candidatos responderam corretamente à questão. Além da resposta correta, outras respostas<br />
predominaram no quadro de freqüência, a saber: 02 – 5,05%; 04 – 18,53%; 05 (01+04) –<br />
5,33%; 06 (02+04) – 9,56%; 16 – 4,57% e 22 (02+04+16) – 4,96%. Esses resultados reforçam<br />
a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas<br />
aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, 04 e 16, que obtiveram,<br />
respectivamente, 67,51% e 38,83% da preferência dos candidatos. A proposição 04 era, talvez,<br />
uma das mais fáceis da prova toda, podendo ser resolvida, simplesmente, por verificação dos<br />
dados do enunciado na fórmula da área da esfera, como a seguir:<br />
2<br />
A esfera = 4 ⋅π<br />
⋅ ( 2)<br />
⇒ Aesfera<br />
= 16π<br />
. A grande responsável pela concentração nas respostas 02, 06<br />
(02+04) e 22 (02+04+16), foi a consideração da proposição 02 como correta, que obteve<br />
37,67% da preferência dos candidatos. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal<br />
proposição como correta tenha sido impulsionada por suas concepções espontâneas de<br />
semelhança geométrica, considerando que todos os cones são semelhantes, assim não<br />
percebendo que tanto a altura como a base dos dois cones considerados na proposição são<br />
diferentes.
Questão 29<br />
Os praguicidas, também denominados pesticidas, defensivos agrícolas ou agrotóxicos, são<br />
substâncias que, aplicadas à lavoura, permitem matar seres que podem prejudicá-la. No<br />
entanto, esses produtos apresentam desvantagens pois, devido a sua grande estabilidade no<br />
meio ambiente, sua velocidade de decomposição natural é muito lenta. Muitos insetos se<br />
tornaram resistentes a esses produtos e grandes quantidades foram utilizadas para combater<br />
um número cada vez maior de espécies.<br />
Suponha que em um laboratório foi pesquisada a eficiência do DDT (dicloro-difeniltricloroetano)<br />
no combate a uma determinada população de insetos.<br />
O gráfico abaixo representa a população de insetos em função do tempo t, em dias, durante o<br />
período da experiência.<br />
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. A função que descreve a relação entre a população de insetos e o tempo é<br />
2<br />
f(t)<br />
1500<br />
1400<br />
1300<br />
1200<br />
1100<br />
1000<br />
900<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
f(t) = −t<br />
+ 30t + 1000 .<br />
•<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50<br />
02. O número inicial da população de insetos é de 1200 insetos.<br />
04. A população de insetos cresce somente até o décimo dia.<br />
08. No vigésimo dia de experiência a população de insetos é igual à população inicial.<br />
16. A população de insetos foi exterminada em 50 dias.<br />
•<br />
•<br />
t
Gabarito: 17 (01+16)<br />
Número de acertos: 2603 (37,98%)<br />
Grau de dificuldade previsto: médio<br />
Grau de dificuldade obtido: médio<br />
A questão tinha como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de analisar e interpretar<br />
gráficos de funções polinomiais do segundo grau. Nesta questão, além da resposta correta,<br />
destaca-se apenas a resposta 16, com índice de 39,15%. O fato de o índice da resposta 16 ser<br />
superior ao da resposta correta vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos<br />
preferem não arriscar: na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição 16 foi a proposição<br />
correta da prova que teve o maior índice de preferência dos candidatos, 91,79%, pois tratavase<br />
de uma leitura direta no gráfico indicado. Esta foi a segunda questão mais fácil da prova<br />
toda, obtendo o segundo maior índice de acerto entre as respostas corretas: 37,98%. Por outro<br />
lado, cabe destacar o fato de que quase 54% dos candidatos tiveram dificuldades de verificar a<br />
veracidade ou não da proposição 01, isto é, de fazer a passagem da representação gráfica<br />
para a representação analítica, o que significa que não se apropriaram de forma efetiva do<br />
estudo da função polinomial do segundo grau.
Questão 30<br />
O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou toda a sua vida às artes<br />
gráficas, criou uma grande série de litografias impregnadas de geometrismo, figurativismo e<br />
ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo sugestivo problemas matemáticos e<br />
geométricos em seus edifícios inacabados ou em suas fabulações caracterizadas por uma<br />
relação impressionante entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e<br />
Águia), julho de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular<br />
ABCDEF com lado medindo 6 unidades de comprimento.<br />
3<br />
12<br />
11<br />
10<br />
Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).<br />
01. A equação da reta que contém o segmento AF é 3 x+<br />
y −3<br />
3 = 0 .<br />
02. A área do hexágono da figura, em unidades de área, é 9 3 .<br />
04. A equação da mediatriz do segmento AF é 2 3x<br />
− 2y = 0 .<br />
08. A equação da circunferência circunscrita ao hexágono da figura é x + y −12x<br />
−6<br />
3y<br />
+ 27 = 0 .<br />
3 3<br />
16. O apótema do hexágono da figura mede unidades de comprimento.<br />
2<br />
Gabarito: 09 (01+08)<br />
Número de acertos: 769 (11,28%)<br />
Grau de dificuldade previsto: difícil<br />
3<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
y<br />
3<br />
2<br />
F<br />
E<br />
•<br />
1<br />
A B<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
D<br />
C<br />
2<br />
2<br />
x
Grau de dificuldade obtido: difícil<br />
A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do<br />
estudo da geometria plana e da geometria analítica, como: determinar a equação da reta que<br />
passa por dois pontos; calcular a área de figuras planas; determinar as coordenadas do ponto<br />
médio de um segmento de reta; determinar a equação da reta quando são conhecidos um<br />
ponto e a declividade da reta; aplicar as condições de paralelismo e perpendicularismo;<br />
determinar a equação da circunferência conhecidos o centro e o raio e determinar o apótema<br />
de polígonos regulares. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi baixo,<br />
apenas 11,28% apontaram como corretas apenas as proposições 01 e 08, que obtiveram,<br />
respectivamente, 43,97% e 46,45% da preferência dos candidatos. Além da resposta correta<br />
09 (01+08), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem<br />
decrescente de preferência: 08 – 9,30%; 01 – 8,07%; 16 – 7,93%; 18 (02+16) – 6,72%; 02 –<br />
5,81%; 17 (01+16) – 3,61%; 24 (08+16) – 3,49% e 25 (01+08+16) – 3,12%. Como pode-se<br />
observar, mais uma vez, na dúvida, os candidatos optaram pelo acerto parcial. Esperava-se um<br />
índice superior aos 43,97% obtidos pela proposição 01, já que ela envolve um dos mais<br />
básicos e fundamentais temas da geometria analítica, que é determinar a equação da reta que<br />
passa por dois pontos. Para resolver a proposição, isto é, determinar corretamente a equação<br />
da reta que liga os pontos A e F, bastava ao candidato aplicar a condição de alinhamento de<br />
três pontos. Mas se ele quisesse apenas verificar a sua veracidade ou não, era só substituir as<br />
coordenadas do ponto A e do ponto F na equação da reta dada para ver que elas satisfazem à<br />
equação dada. Da mesma forma, espera-se um índice superior ao obtido pela proposição 08,<br />
por tratar-se também de um dos tópicos muito explorados no Ensino Médio, que é determinar a<br />
equação da circunferência, conhecidos o centro e o raio. Para resolver a proposição bastava o<br />
candidato identificar o centro ( C ( 6,<br />
3 3)<br />
) e o raio da circunferência ( r = 6 ) a partir da figura<br />
dada, e substituir na fórmula da equação da circunferência fornecida no formulário ficando com:<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
( − 6)<br />
+ ( y − 3 3)<br />
= ( 6)<br />
⇒ x + y −12x<br />
− 6 3y<br />
+ 27 = 0<br />
x . A grande responsável pelo erro e pelo<br />
espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 02 e 16 como corretas, com<br />
32,36% e 42,42% da preferência dos candidatos, respectivamente. Em ambos os casos, é<br />
surpreendente o fato de os candidatos tomarem estas proposições como corretas. No caso da<br />
proposição 02 era só o candidato utilizar a informação de que o lado do hexágono regular<br />
media 6 unidades de comprimento, calcular a área do triângulo eqüilátero ABO e multiplicar por<br />
2<br />
2<br />
⎛ l ⋅ 3 ⎞<br />
⎛ ( 6)<br />
. 3 ⎞<br />
6, obtendo: A 6 ⎜ ⎟<br />
6 ⎜ ⎟<br />
hexágono = ⋅<br />
⎜<br />
⇒ = ⋅ ⇒ = 54 3<br />
4 ⎟<br />
Ahexágono<br />
⎜ 4 ⎟<br />
Ahexágono<br />
. Finalmente, no caso<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
da proposição 16, bastava o candidato observar a figura dada e aplicar a definição de apótema<br />
para identificá-lo diretamente na figura ( a = 3 3 ) ou calculá-lo a partir da relação<br />
l ⋅ 3 6 ⋅ 3<br />
a = ⇒ a = ⇒ a = 3<br />
2 2<br />
3 .