Relatividade e Eletromagnetismo - evfita

Relatividade e Eletromagnetismo
Referências:
Relatividade Restrita
Mecânica relativística
Eletrodinámica relativística
D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice­Hall, 1999
C. Schiller, Motion Mountain – The Adventure of Physics,
http://www.motionmountain.net/
Usenet Physics FAQ, http://math.ucr.edu/home/baez/physics/

É o que vemos;
Luz
É com referência a luz que definimos o que é reto;
Foi usado antigamente para medir o tempo;
Atualmente usamos para medir o tempo com precisão (frequência de transição em Ce­
133);
Atualmente é usado para medir distâncias e comprimentos com precisão.
A luz tem um papel importante na maioria das observações que fazemos, das mais
mundanas às mais exatas.

A luz se move?
Será que a luz é um fenómeno de movimento? SIM!
Os gregos reconhecerem luz com uma entididade que se move através das sombras:
o andamento da luz da sua fonte é bloqueiado por um objeto opaco, formando uma
região de sombra.
O pensador grego Empedocles (c. 490 a c. 430 A.C.) concluiu que a luz deve levar
um certo tempo para se mover da sua fonte até uma superfície qualquer – isto é, que
a luz deve ter uma velocidade finita.
Porém, a velocidade é muita alta.

Terra (2a med.)
Primeiras medidas da velocidade de luz
1668 ­ 1676
Sol Terra (1a med.)
Idéia do astrónomo italiano Giovanni Cassini;
Jupitor e Io (2a med.)
Jupitor e Io (1a med.)
Tentativa feita pelo astrónomo dinemarquês Ole Rømer, ex­assistente de Cassini;
Rømer não conseguiu um resultado porque não teve um valor confiável para a distância
até Jupitor e porque suas medições do tempo foram imprecisas;
Estas deficiências foram sanadas por Christian Huygens e por Edmund Halley poucos
anos depois;
Desde aquela época é sabido que a luz leva um pouco mais do que 8 minutos para chegar
do Sol até a Terra.

Segunda medida da velocidade de luz
1726
v
Perspectivo da chuva
v
Perspectivo do andador
c
c
Bradley:
c = v / tan
v = 2R / T
= 30 km/s
c = 3.0 x 10 8 m/s
Terra
Sol
Terra
v
c
v
Perspectivo da luz
c
Sol
Perspectivo da gente
Método do 'andador na chuva' do astrónomo inglês James Bradley. O ângulo de desvio
é chamado a aberração da luz. Seu valor é aproximadamente 20.5'', ou 10 ­ 4 rad.

Espelho
Medição precisa da velocidade de luz
1849
Medição feito pelo físico francês Hippolyte Fizeau;
Espelho
semi­prateado
Fonte de luz
Ele mandou um pulso de luz para o espelho e mediu o tempo que levou para ir e voltar;
Ele conseguiu um valor para a velocidade de luz apenas 5% maior do que o valor moderno.

As equações de Maxwell
Lei solenoidal Lei de Faraday
Lei de Gauss Lei de Ampère­Maxwell
James Clerk Maxwell, um físico­matemático escocês, unificou a eletricidade, o magnetismo e a
óptica na sua forma atual;
Ele demonstrou que os campos elétricos e magnéticos propagam com a velocidade de luz e
apresentou a luz como um efeito eletromagnetico;
Em 1864, demonstrou que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza – uma força
elétrica em uma referencial pode tornar­se uma força magnética em outra, e vice­versa.

Soluções oscilatórias
Maxwell determinou que suas equações possuem soluções oscilatórios que
propagam com a velocidade de luz e naturalmente associou estas ondas
eletromagnéticas com a luz. Em 1881, Hertz criou e detectou ondas
eletromagnéticos de comprimento de onda muito maior – as ondas de rádio.
O grande problema com as ondas eletromagnéticas foi que não se conhecia a matéria
que oscilava para fazer estas ondas. Todo tipo de onde conhecido na época envolvia a
oscilação de algum substrato material:
ondas numa corda;
ondas sonoras no ar ou em sólidos
ondas em água.
Consequentemente, foi suposto a existência de uma substância cuja oscilação resultava
em ondas eletromagnéticas – o éter. E procurava­se sinais que esta substância se
comportava como os outros substratos de ondas. Em particular, procurava­se
anisotropias na velocidade de luz, que assinalaria diferenças no movimento com
respeito ao éter.

Éter
Terra
A experiência de Michelson­Morley
Sol
Terra
As experiências procuraram medir a
interferência entre duas partes de um feixe
de luz coerente que tinham propagadas ao
longo de caminhos de comprimentos
iguais mas em direções diferentes com
respeito ao éter. O resultado foi nulo.
O propósito das experiências de Michelson
(1881) e de Michelson e Morley (1887) foi de
medir a variação da velocidade de luz devido a
movimento relativo ao éter.
Fonte de
luz coerente
Espelho
Detetor
Espelho

Coincidência?
A lei de força de Lorentz refer a 'a' velocidade da carga. Assim, a lei faz aparecer que existe um
sistema de referência única na qual as leis de eletromagnetismo são válidas. Porém, considere a
seguinte coincidência:
fio
v
fio
Aqui, pela lei de Lorentz,
uma força eletromotriz é gerada no fio que
pode ser escrita em temos do fluxo
magnético como
ímã v ímã
Aqui,v=0. Mas pela Lei de Faraday,
uma força eletromotriz é gerada no fio que
pode ser escrita em temos do fluxo
magnético como
Einstein citou esta coincidência no primeiro parágrafo do seu trabalho de 1905 sobre a
relatividade restrita.

Relatividade restrita
Assim, existiam duas evidências que a velocidade de luz deve ser invariante – as
experiências de Michelson e Morley e as próprias leis de Maxwell. Porém, estas
evidências não estão consistentes com a mecânica não­relativística. Os maiores físicos da
época se esforçaram em tentativas de reconciliar as duas teorias até 1905, quando Albert
Einstein publicou seu trabalho famoso.
Einstein propus dois postulados no seu trabalho:
O princípio de relatividade – As leis de física são
aplicáveis em qualquer sistema de referência inercial;
A invariança da velocidade de luz – A velocidade de luz é
a mesma para qualquer observador inercial, independente do
movimento da fonte.
Uma das consequências fundamentais destes postulados é que conceito de simultaneidade
perdeu seu sentido.

v
A relatividade de simultaneidade
Consider um vagão de trem que se move a velocidade constante numa trilha reta. Quando
uma lâmpada pendurado no centro da vagão é ligada, a luz espalha em todas as direções a
velocidade c.
Um observador no trem conclui que a luz alcance a frente e o fundo do vagão
simultaneamente.
Um observador parado no chão conclui que a luz alcance o fundo da vagão antes que alcance
a frente, porque o trem se move enquanto a luz propaga, diminuindo a distância até o fundo
do vagão e aumentando a distância até a frente.
Dois eventos que são simultâneos em um sistema inercial não são necessariamente
simultâneos em um outro sistema.
v

v
Dilatação do tempo
h h
Considere agora um raio de luz que atinge o chão do vagão diretamente abaixo da lâmpada.
Quanto tempo este leva para alcançar o chão?
Para o observador no trem, a reposta é
facil:
Assim, temos
Relógios em deslocamento andam mais lentos.
e
v t
Para o observador no chão, o raio demora
mais, porque o trem está em movimento:
v

Verificação experimental da dilatação do tempo
detetor alto
muons Muons são partículas elementares que são formadas
detetor baixo
continuamente na atmosfera alta por raios côsmicos. Um
muon em repouso tem uma meia­vida de 2,2 s . Isto é
equivalente a uma distância de 660 m na velocidade de
luz. Depois deste tempo, metade dos muons iniciais tem
decaídos.
B. Rossi e D. B. Hall (Phys. Rev. 59, 223 (1941)) mediram o fluxo de muons com
velocidades entre 0,9950c e 0,9954c a um altura de 1,9 km e ao nível do mar. Usando a
meia­vida de muons em repouso, apenas 13% dos muons observados no detetor alta
alcançaria o detetor baixo. Porém, 82% dos muons chegaram em baixo, devido ao diferença
de tempo de aproximadamente 0,62 s , no sistema de referência dos muons, em acordo
com o efeito de dilatação do tempo.

Simetria da dilatação do tempo
Visto do chão: Visto do trem:
Relógio no trem Relógio no trem B Relógio no trem A
Relógio no chão A Relógio no chão B Relógio no chão
O observador no chão usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando
o relógio do trem passa ponto A e depois ponto B;
O observador no trem usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando
o relógio do chão passa ponto A e depois ponto B;
Ambos vão concluir que o relógio do outro anda mais lentamente. Também vão concluir que o
outro fez uma comparação errônea por não ter usado relógios sincronizados.

tempo
Fim
Gêmeo 1 Gêmeo 2
Início
espaço
O paradoxo dos gêmeos
Virada
Vamos supor que um de um par de gêmeos faz um viagem
espacial a velocidade próximo a velocidade próximo a
velocidade de luz e volta anos depois para encontrar seu
par. Devido a dilatação do tempo, o gêmeo que viajou
voltaria mais jovem do que o gêmeo que ficou.
E a simetria da dilatação do tempo? Do ponto de visto do
gẽmeo que viajou, o gêmeo que ficou aproveitou da
dilatação de tempo para permanecer mais jovem.
Neste caso não há simetria, porque o gêmeo que viajou necessariamente teve que acelerar para
se separar do outro. O gêmeo que viajou teve que ter, no caso mais simples, dois sistemas
inerciais diferentes para se afastar e depois voltar. Uma consequência disto é o grande
intervalo nos tempos que ele considera simultâneos, mostrados pelas linhas azuis. Para mais
detalhes veja, o Usenet Physics FAQ.

v
Contração de comprimento
Considere uma lâmpada no fundo do vagão que emite um raio que reflete de um espelho na
frente da vagão e volta. Quanto tempo leva para a luz ir e voltar?
Para um observador no
trem, a reposta e fácil:
v
t 1
v
t 2
Para um observador no chão, o raio demora mais para ir mas
menos para voltar, por causa do movimento do trem:
or
v

Contração de comprimento (cont.)
Para um observador no trem: Para um observador no chão:
Devido a dilatação do tempo, temos
Temos então
O comprimento do vagão é mais curto quando medido pelo observador no chão do que
quando medido pelo observador no vagão.
Objetos em movimentos são contraídos em
comprimento. Este efeito é chamado contração
de Lorentz.

A escada e o celeiro
Um fazendeiro tem uma escada que é comprida demais para
armazenar no celeiro. Aproveitando da contração de Lorentz, ele
pede sua filha veloz de correr com a escada para dentro do celeiro
para ele poder fechar a porta e guardar a escada. Ela, por outro lado,
diz que não vai dar certo, porque quando ela corre com a escada é o
celeiro e não a escada que encolhe. Quem está certo?
Ambos! É uma questão de prespectiva.
O comprimento da escada (ou do celeiro) é a distância entre suas
extremidades a um mesmo instante de tempo. Para decidir se a
escada cabe no celeiro ou não, temos que examinar:
o tempo em que a extremidade A da escada alcance a parede do
celeiro e
o tempo em que a extremidade B entra na porta do celeiro.
Simultaneidade destes tempos depende do sistema inercial.
Vistos de cima
v
v

Contração de Lorentz
A contração de Lorentz encurta um objeto em movimento apenas na direção do
movimento.
Dimensões perpendiculares ao movimento não são contraídas.
v
Considere uma linha vermelho pintado a uma altura de 1 m no muro ao lado da trilha por uma
pessoa no chão e uma linha azul pintado na mesma altura por alguem no trem. Se a dimensão
fosse contraído, o observador no chão veria a linha azul pintado pelo observador no trem
abaixo da linha vermelho, enquanto o observador do trem veria a linha vermelho abaixo da
linha azul. A única maneira dos dois estar certos é se a linhas se sobrepoem. Isto é, não há
contração de Lorentz nesta direção.
v

z
As transformações de Lorentz
Um processo físico consiste em um ou mais eventos, onde um evento é um acontecimento a
um posição específica (x,y,z) a um tempo específico (t).
Aqui construimos a transformação das coordenadas (x,y,z,t) de um evento em um sistema
inercial S para as coordenadas (x',y',z',t') do mesmo evento em outro sistema inertial S'.
y y'
O O'
z'
x
d
v
E
A'
x
x'
Orientamos os eixos tal que o sistema S' se desloca do sistema S ao
longo do eixo x com velocidade v e que os eixos O e O' coincidem
a t=0.
No instante t do evento E, O' está a uma distância vt de O. Assim,
onde d é a distância de O' a A' a tempo t. Agora, observamos que d
é a distância de O' a A' medida em S, enquanto x' é a distância de
O' a A' medida em S'. Assim, x' é contraído a d em S,
Substituindo, temos

v
z
y y'
O O'
z'
d'
x'
E
A
x
As transformações de Lorentz
x'
Para obter a transformação em tempo t, consideramos o
transformação contrária em x. Assim, no instante t' do evento E, O'
está a uma distância vt' de O e
onde d' é a distância de O a A a tempo t'. Aqui, d' é a distância de O
a A medida em S', enquanto x é a distância de O a A medida em S.
Assim, x é contraído a d' em S', . Substituindo,
temos .
Junto com a equação , podemos resolver para t ou para t' e completar as
equações da transformação de Lorentz.
De S para S': De S' para S:
As coordenadas perpendiculares ao movimento não mudam.

Sincronização e dilatação de tempo
x=0 x'=0 v
Considere um sequência de
relógios no eixo x do sistema S
sincronizados em t=0.
No sistema S', seu tempo t' varia de
acordo com a sua posição:
Os relógios em x>0 são atrasados e os em
x

Contração de Lorentz
S' S
x' e
x' d
Considere um objeto em movimento ao direito com velocidade v. Seu comprimento de
repouso, isto é, seu comprimento em S', é dado por
onde d e e significam direito e esquerda.
Um observador no sistema S mede as posições extremas do objeto a um instante do
seu tempo t,
Usando
recuperamos a expressão para a contração de Lorentz,
. , .
x e
x d
v

A transformação de velocidades
Suponha que a velocidade de uma partícula no sistema S é
No sistema S', a partícula se desloca
no tempo
Sua velocidade em S' é
Devido à transformação do tempo, componentes da velocidade perpendiculares a
direção da transformação também são transformadas
Quando u = c, u' = c.

Espaço de Minkowski
A transformação de Lorentz toma uma forma mais simples se escrevermos todos as
coordenadas nas mesmas unidades. Definimos
e renomeamos os coordenadas espaciais
As equações da transformação de Lorentz se tornam

Espaço de Minkowski
Podemos escrever as equações da transformação em forma matricial como
e resumí­las na forma compacta como
Escrita desta maneira, a transformação é muito aparecida com a forma geral de uma
rotação em 3­D
De fato, uma transformação de Lorentz pode ser considerada como uma rotação
generalizada – entre o espaço e o tempo.

A geometria do espaço­tempo
Da mesma maneira que podemos definir um 3­vetor como qualquer conjunto de 3
componentes que transforma sob rotações como (x, y, z), podemos definir um 4­vetor
como qualquer conjunto de 4 componentes que transforma como (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) sob
transformações de Lorentz,
ou no caso de uma
transformação de
Lorentz ao longo do
eixo x
Em analogia ao produto escalar de 3­vetores que é invariante sob rotações
podemos definir um produto escalar de 4­vetores que é invariante sob transformações de
Lorentz (incluindo rotações)

A geometria do espaço­tempo
Por causa do sinal de menos no produto escalar, é conveniente introduzir um vetor
covariante a que é relacionado com o vetor contravariant a por
O produto escalar pode ser escrito em termos dos dois como
Dado dois eventos A e B, com
ou, simplesmente,
podemos definir o 4­vetor de deslocamento entre os dois
e o intervalo invariante entre os dois
e

Diagrama de espaço­tempo
O intervalo invariante entre os eventos A e B
com
contém informação física sobre os eventos.
Nomeamos os tipos de intervalo de acordo com
seu sinal:
'spacelike'
'lightlike'
'timelike'
Futuro
Passado
Quando o intervalo é 'timelike', podemos distinguir entre o futuro
x 0 = ct
Presente Presente
e o passado
x
linha de mundo

Mecânica Relativística
Quando um partícula se movimenta no espaço tempo com velocidade u , seu relógio interno anda
mais lentamente do que um relógio em repouso. O tempo interno é chamado tempo próprio
Em termos do tempo próprio, podemos definir a velocidade própria
que em termos da velocidade ordinária
A velocidade própria pode ser estendida a um 4­vetor,
com componente 0:
A velocidade própria transforma com um 4­vetor
é tem norma invariante
é

Energia e momento
Em mecânica clâssica, o momento é definido como o produto da massa e da velocidade.
Para ter uma quantidade que transforma como um 4­vetor, fica claro que devemos usar a
velocidade própria em vez da velocidade ordinária
O componente temporal do 4­vetor de momento é
Associamos este com a energia relativística
A energia relativística é não­nula, mesmo quando a massa está em repouso,
O resto da energia, que atribuimos ao movimento, é a energia cinética,

Conservação de energia e momento
Em qualquer sistema fechado, o 4­vetor de energia e momento total é conservado .
Nota que distinguimos entre uma quantidade invariante, que é igual em qualquer sistema
inercial, e uma quantidade conservada, que é igual antes e depois de qualquer processo físico.
O 4­vetor de energia momento é conservado mas não é invariante. O produto escalar do
momento com si mesmo
ou,
fornece a massa m como uma quantidade invariante,.
Em um sistema fechado, tanto o 4­vetor de energia e momento total quanto a sua massa são
conservados.

Partículas sem massa
Para uma partícula com massa nula, temos para o produto do seu momento consigo mesmo,
Das definições da velocidade própria e do momento, verificamos que podemos recuperar o
valor da velocidade ordinária de um objeto como
Para uma partícula de massa nula, temos
Uma partícula de massa nula, como o fóton, podem ser acelerada ou deceleradas – sua
energia e momento podem mudar – mas sua velocidade sempre será a velocidade de luz.
Pode dizer que tais partículas são movimento puro.
ou

p, m
Duas partículas
Laboratório Centro de massa
p c , m
Devido à invariança da massa, as massas nos dois sistemas são iguais e
e
m
p c , m
Em colisões de partículas, apenas a energia no sistema do centro de massa está disponível para
contribuir à reação. O resto está presa no movimento conservado. É por isto que aceleradores
modernos usam colisões de dois feixes e não alvos fixos.
Um deuteron é um núcleo formado de um neutron e um proton de massas (quase) iguais. No
sistema do centro de mass, sua massa invariante quadrada é
onde B é a sua energia de ligação.

Centro de massa
p c , m
p c , m
Uma colisão elástica
Laboratório
p 2 , m
p 1 , m
A conservação de energia e momento depois da colisão fica clara no sistema do centro de
massa. A forma explicita da transformação de Lorentz é necessária para voltar para o
sistema do laboratório.
Com um pouco de esforço, é possível mostrar (no caso de duas massas iguais) que
onde é o fator de Lorentz da transformação. Para colisões não­relativísticas, temos
Mas em geral,

Dinâmica relativística
A segunda lei de Newton é válida em mecânica relativística (e consistente com a conservaçõ
de momento em um sistema fechado), quando o momento relativístico é usado,
O trabalho continua a ser definido em termos da integral de linha da força,
Assim podemos mostrar que a teorema de trabalho e energia (o trabalho feito numa
partícula é igual ao aumento na sua energia cinética) continua a valer. Temos
e

Assim, temos
Dinâmica relativística
Podemos tomar para as equações de movimento do 4­vetor de momento
A terceira lei de Newton – a de ação e reação – não continua válida em mecânica
relativística, em geral. Quando os dois objetos em questão são separados, a aplicação do
lei traz a questão do tempo da ação e reação. Como vimos, simultaneidade é um conceito
relativo para objetos separados. A terceira lei vale apenas quando as duas forças são
aplicadas no memso ponto ou no caso trivial de uma força constante.

Uma força constante
Consideramos uma massa m sujeito a uma força constante F e supomos que ela está em
repouso a x=0 em t=0. Temos
Desde que p=0 em t=0, temos
Integrando novamente, temos x
ou
Clássico
(parabólico)
Este movimento ocorre, por exemplo, quando uma partícula carregada está num campo
elétrico uniforme.
Relativístico
(hiperbólico)
ct

Transformação da equação de movimento
As equações de movimento na forma
são faceis de entender, mas não transformam bem sob transformações de Lorentz. Por
exemplo, sob uma transformação na direção x,
com o componente da força na direção x mais complicado ainda.
Uma maneira de evitar esta complicação é de usar a força 'própria', que é igual à
deriva do momento com o tempo próprio,
com componentes
A qual das duas forças corresponde uma força clássica ­ ordinária ou de Minkowski?

Eletrodinâmica relativística
Diferente da mecânica, eletrodinâmica já é consistente com a relatividade restrita.
As equações de Maxwell e a força de Lorentz podem ser aplicado em qualquer
sistema inercial. O que é visto com um processo elétrico em um referencial pode
se tornar um processo magnético em outro, mas o movimento de partículas será o
mesmo nos dois.
Com a mecânica corrreta, é possível desenvolver uma formulação completa e
consistente de eletrodinâmica. Porém, esta reformulação nào modifica as leis de
eletrodinâmica, apenas expressa as na linguagem de relatividade restrita.

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S: S':
v
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
v
+
s
+ + +
s
+ +
q
u
q
Considere um condutor com uma cadeia de cargas positivas se movendo à direita com
velocidade v e uma cadeia de cargas negativas se movendo à esquerda com a mesma
velocidade v. Supomos que as duas cadeias de cargas podem ser consideradas densidades
de carga de linha, e ­ , respectivamente. Introduzimos uma carga q a um distância s do
condutor que se move à direita com velocidade u

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S: S':
v
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
v
+
s
+ + +
s
+ +
q
u
q
Agora considere a mesma situação no sistema S', no qual a carga q está em repouso. As
velocidades das cargas em linha são
Desde que v ­ > v + , a contração de Lorentz é maior para as cargas negativas do que para as cargas
positivas. Existe então uma carga negativa residual no condutor. Para calculá­la, usamos
com
v ­
v +

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S: S':
v
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
v
+
s
+ + +
s
+ +
q
u
q
Com um pouco de álgebra, obtemos
e a densidade carga residual
A carga residual cria um campo elétrico e uma força na carga q no sistema S',
que, em S, tem a forma,
v ­
onde usamos
v +

Transformação dos campos eletromagnéticos
Nos supomos que carga é invariante. Como a massa, a carga de um objeto é um número
independente da sua velocidade.
Os campos elétrico e magnético, porém, se transformam, como vimos no exemplo anterior.
Supomos que a transformação não depende de como os campos form produzidos, Se isto não
fosse o caso, não faria sentido falar em campos. Assim podemos escolher as configurações mais
simples dos campos para analisar as transformações.

Transformação do campo elétrico
S 0 : S:
z 0
l 0
v0 x0 v0
w
w
Um capacitor em repouso em S 0 que carrega densidades de carga superficial ± 0
tem um campo elétrico entre as placas dado por
Pela lei de Gauss, o campo elétrico no sistema S, onde as
placas estão em movimento, é dado por
A carga total em cada placa é invariante e a largura w não muda. O comprimento, l 0 ,
porém, sofre uma contração de Lorentz, tal que
Assim,
y 0
z
y
l
x

S 0 :
z 0
Transformação do campo elétrico
y 0
v
0
x0 Quando as placas são perpendiculares ao velocidade, apenas a distância entre eles
sente a contração de Lorentz. Mas o campo elétrico não depende desta distância.
Assim,
Em resumo, podemos dizer que o campo elétrico de uma distribuição de cargas
inicialmente me repouso transforma como
e
S:
z
y
x

Transformação dos campos eletromagnéticos
S: S':
z
y 0
l
v 0
'
w
x
'
w
x'
z'
y'
l'
v' (v relativa S)
Para obter a regras gerais de transformação, precisamos começar com um sistema que tem
ambos os campos – o elétrico e o magnético. O sistema S serve. Tem um campo elétrico
e um campo magnético devido as correntes de superfície,
Pela lei de Ampère, o campo magnétic está na direção z com
No sistema S', a velocidade v com respeito a S, os campos são
onde
O que precisamos fazer agora é expressar os campos em S' em termos dos campos em S.

Transformação dos campos eletromagnéticos
O primiero passo em relacionar os campos é de escrevé­los como
Com um pouco de álgebra, obtemos
Então, temos
e
Usando a identidade
com

S:
z
z
Transformação dos campos eletromagnéticos
y
y
v 0
v 0
x
x
Para determinar a transformação em E z e B y , alinhamos as
placas do capacitor no plano xy. Então
e, da mesma maneira que antes, obtemos
Usando a terceira configuração, com as placas do capacitor
no plano yz, vimos que componente do campo elétrico
paralelo à velocidade da transformação não é modificado.
Esta configuração não produz um campo magnético.

z
Transformação dos campos eletromagnéticos
y
x
Para obter a regra de transformação do componente do campo
magnético paralelo à velocidade da transformação, considere um
solenoide longo alinhado no eixo x e em repouos no sistema S.
O campo magnétic dentro do solenoide pode ser escrito em termos da corrente I e o número
de espiras por unidade de comprimento n como
No sistema S', o comprimento contrai. Assim,
O tempo dilata também. Desde que é o relógio de S que está no sistem do solenoide em
repouso, é este que anda mais lentamente. Assim, a corrente (carga por unidade de tempo)
transforma como
Vemos que os dois fatores cancelam e concluímos que o campo magnético paralalo à
velocidade da transformação também nào é modificado. Temos

Transformação dos campos eletromagnéticos
Podemos resumir as regras de transformação como
ou como

Uma carga puntiforme
Considere uma carga puntiforme q em repouso no origem em S. Seus campos
eletromagnéticos são
Queremos obter os campos em um sistema de referência S' que se move na direção
x>0 com velocidade v. Usamos
para escrever os novos campos nas velhas coordenadas,
Escrevemos as velhas coordenadas em termos das novas
e obtemos

Potenciais eletromagnéticos
Os campos eletromagnéticos normalmente podem ser escritos em termos de potenciais como
Os potenciais podem ser escritos como um 4­vetor
Para reescrever as expressões para os campos em termos de 4­vetores, usamos
Temos então
Estas expressões deixam claro que os campos eletromagnéticos podem ser
unificados em um tensor antisimétrico

O tensor eletromagnético
Os componentes do tensor eletromagnético são
Tanto o 4­vetor dos potenciais eletromagnéticos quanto o 4­vetor de derivadas
transformam como tal sob transformações de Lorentz,
O tensor eletromagnético, então, se transforma como
Esta equação fornece as mesmas expressões que obtivemos antes para a transformação
dos componentes dos campos eletromagnéticos.

A força de Lorentz
Queremos reformular a força de Lorentz e as equações de Maxwell em terrmos do tensor
eletromagnético,
Começamos com a força de Lorentz. Comparando componentes, verificamos que
De outros argumentos, (acoplamento mínimo), identificamos a força de Minkowski como
e a força ordinário como

As fontes das equações de Maxwell
Antes de reformular as equações de Maxwell em termos do tensor eletromagnético, vamos
unificar as fontes dos campos em um 4­vetor. Considere um nuvem de carga e analise em
um volume infinitesimal V contendo uma carga Q e se movendo a velocidade u. Temos
para suas densidades de carga e corrente
Expressamos estas densidades em termos da densidade de carga própria, isto é, a
densidade de carga no sistema de repouso,
Devido a contração de Lorentz,
e, assim,
Reconhecendo os componentes da velocidade própria, podemos escrever

As fontes das equações de Maxwell
Conservação de carga implica que as densidades de carga e corrente satisfazem uma
equação de continuidade,
Temos
tal que, usando
temos, para a equação de continuidade,

As equações de Maxwell
Analisamos primeiro as equações homogêneas em termos do tensor eletromagnético,
Verificamos que a equação solenodial pode ser escrita como
enquanto os três componentes da equação de Faraday podem ser escritas como
Podemos unir estas em uma equação,
Nota que esta equação é automaticamente satisfeita quando

As equações de Maxwell
Uma outra maneira de escrever a equação homogênea de Maxwell e
onde o tensor completamente antisimétrico é
Uma alternativa é de definir outro tensor – o tensor dual
que satisfaz a equação

As equações de Maxwell
Analisando agora as equações de Maxwell com fontes, em termos do tensor eletromagnético,
verificamos que a lei de Gauss pode ser escrita como
enquanto os três componentes da equação de Ampère­Maxwell tomam a forma
Obviamente podemos unificar estas na equação

As equações de Maxwell
Assim, em notação relativística, as equações de Maxwell tem a forma simples
Quando escrevemos o tensor eletromagnético em termos dos potenciais,
a equação homogênea é satisfeita automaticamente e a equação não homogênea se torna
Para simplificar esta equação, lembramos que o tensor eletromagnético é invariante sob
uma transformação de calibre dos potenciais
Se nos escolhemos a condição de calibre de Lorentz,
a equação de Maxwell reduz a
e