Aula 05 Medidas de Dispersão, Assimetria e ... - Arquivos UNAMA

Aula 05
Medidas de Dispersão, Assimetria
e Curtose
Objetivos da aula:
• Apresentar as Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose;
• Apresentar exemplos para fixação de conceitos
Introdução
A aula 4 apresentou os conceitos de média, moda e mediana que
permitem sintetizar em valores representativos o conjunto de valores
de uma amostra. Mas, de maneira geral, é importante que se saiba o
quanto de variação há entre os valores máximo e média; e mínimo e
média. Essa “distância” é a dispersão.
Amplitude Total
É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados apresentados
At xmáx xmín A =
x −
t
máx
mín
- amplitude total
- valor máximo observado na amostra
- valor mínimo observado na amostra
No caso de dados agrupados com intervalos de classe, é a diferença
x
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entre o limite superior da última classe e o inferior da primeira classe.
Desvio Médio Absoluto (DMA)
É igual à média dos valores absolutos dos desvios, calculados em
relação à média do conjunto de valores. É uma medida de dispersão
pouco usada.
No caso de dados não tabulados:
X= (1,3,5,7,9), x - = 5 e n =5
x i d i = x i - x - |d i |
1 1 - 5 = -4 4
3 3 - 5= -2 2
5 5 - 5= 0 0
7 7 - 5= 2 2
9 9 - 5= 4 4
Então o DMA é:
d
i DMA =
x
1
Total 12
DMA
∴
DMA
=
=
n
∑
i=
1
2,
4
x
d
i
n
∑ =
=
12
5
i
=
2,
4
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Para dados tabulados não agregados em classes (dados
discretos):
DMA
n
∑(
i
= i=
1
n
∑
i=
1
x i f i d i = x i - x - |d i | |d i | * f i
1 10 1-5=-4 4 40
3 20 3-5 = -2 2 40
5 40 5-5 = 0 0 0
7 20 7-5 = 2 2 40
9 10 9-5 = 4 4 40
Total 100 Total 12 160
n
∑(
i
i=
1
DMA = n
∴
DMA =
1,
6
i=
1
Amplitude Semi-Interquartílica (desvio quartílico)
*
É a metade da diferença entre o terceiro quartil (Q 3 ) e o
primeiro quartil (Q 2 ).
D q
d
∑
f
i
Q
=
f
3
d
i
)
*
f
i
=
f
− Q
2
i
)
160
100
1
=
1,
6
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Variância e Desvio Padrão
No cálculo do DMA, podemos observar que trabalhamos
com o módulo dos desvios (|d i |), isto porque, sem este
módulo, as somatórias dos valores dos desvios seriam nulas.
Outra forma de eliminarmos o problema relativo ao sinal do
desvio (número negativo e positivo) é elevar cada desvio ao
quadrado, assim todos eles passam a ser positivos.
A Variância usa esta alternativa, e ela é então:
Você deve ter notado que a variância está ao quadrado
2
( σ
). Sob o ponto de vista prático, é um inconveniente;
dessa forma estabeleceu-se uma medida que tem utilidade
e interpretação práticas, denominada de Desvio Padrão que
é o valor positivo da raiz quadrada da variância, ou seja:
Nota:
σ
2
=
s
n
∑
i=
1
=
n
x
2
σ
⎛
⎜
− ⎜
⎜
⎜
⎝
2
∑
i=
1
1. O desvio padrão e a variância são medidas de dispersão ou
variabilidade, a opção do uso de um ou outro, depende da
finalidade da informação.
2. A variância tem pouca utilidade na estatística descritiva,
porém é muito importante na inferência estatística e em
combinações de amostras.
2
⎞
x ⎟
⎟
n ⎟
⎟
⎠
n
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3. O desvio padrão é muito usado na estatística descritiva.
4. É importante notar que, se os dados representarem uma
amostra e não toda a população, a expressão matemática
da variância deve ter (n-1) no denominador em substituição
ao fator n, esta mudança é chamada de fator de correção
de Bessel ou conforme os estatísticos, número de graus de
liberdade. Dessa forma temos a variância da amostra.
5. σ - lê-se sigma, é o símbolo usado para indicar a variância da
população e é a variância da amostra.
O desvio padrão possui propriedades importantes, dentre
elas destacam-se:
y = x ± c ⇒ s =
i
Somando-se ou subtraindo-se, uma constante (c) de todos
os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera:
y = c * x ⇒ s = c * s
i
i
Relação empírica entre Desvio Padrão e Amplitude
Na quase totalidade dos casos práticos, o desvio padrão
supera um sexto da amplitude e é inferior a um terço da
amplitude, isto é:
A
t
6
<
s <
Essa relação é útil até mesmo para a verificação de erros
grosseiros no cálculo do desvio padrão.
y
A
t
3
y
s
x
x
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Dispersão Relativa
Também conhecido como coeficiente de variação aponta a
homogeneidade dos dados, sua vantagem é caracterizar a
dispersão dos dados em termos relativos a seu valor médio.
Quanto menor o valor, mais homogêneo será o conjunto de
dados.
Medidas de assimetria
Numa distribuição estatística, a assimetria é o quanto sua curva
de freqüência se desvia ou afasta da posição simétrica. Podemos
caracterizar as distribuições de freqüência em:
· Assimétrica à direita ou positiva
· Assimétrica à esquerda ou negativa;
· Assimetria nula ou simétrica.
Pela expressão abaixo podemos apontar a simetria da curva de
freqüência.
Se:
− M o
− M o
− M o
= 0
< 0
> 0
CV p =
x − M
x - assimetria nula ou distribuição simétrica
x - assimetria negativa ou à esquerda
x - assimetria positiva ou à direita
o
s
x
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Distribuição Simétrica
Coeficiente de Assimetria
O grau de assimetria de uma curva de freqüências, dentre outros, é
dado pelo coeficiente de assimetria de Pearson:
A
s
= 3
Distribuição Positiva
( x − M )
Distribuição Negativa
Se 0,151 é forte.
s
d
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Medidas de Curtose
Defini-se Curtose como o grau de achatamento de uma distribuição
em relação a uma distribuição em relação padrão. São três os tipos
curvas de distribuição no que se refere a curtose: Leptocúrtica,
Mesocúrtica e Platicúrtica.
Coeficiente de curtose
É a medida do grau de achatamento da curva:
Se
Mesocúrtica Platicúrtica
Q3
− Q1
C =
2 P
( P − )
90
C = 0,
263 - curva mesocúrtica
C < 0,
263 - curva leptocúrtica
C > 0,
263 - curva platicúrtica
Mesocúrtica
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Referência Bibliográfica:
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed. São
Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992.
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora
Saraiva, 1998.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos
Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo:
5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002.
MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília:
Vestcon Editora Ltda., 2003.
SETEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração.
São Paulo: Ed. Harbra, 1981.
VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São
Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.
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