RAZÃO ÁUREA - Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESSORES DO ENSINO
FUNDAMENTAL E MÉDIO
MONOGRAFIA
RAZÃO ÁUREA
BELO HORIZONTE - 2008

ALUNO:
Jurandir Jacques de Carvalho
PROFESSOR ORIENTADOR
Renato José de Moura

Sumário
Introdução...................................................................................................................................
3
Desenvolvimento........................................................................................................................
9
Razão áurea.............................................................................................................................9
Calculando o número áureo....................................................................................................9
Construindo o segmento áureo por meio de régua e compasso............................................10
Construção do retângulo áureo a partir do menor lado.........................................................13
Triângulo áureo.....................................................................................................................14
Aplicações do Teorema.........................................................................................................15
O pentagrama de Pitágoras (V séc. aC. )..............................................................................16
Retângulo áureo....................................................................................................................16
Um problema curioso sobre congruência de triângulos........................................................19
A seqüência de Fibonacci e o número áureo.........................................................................23
Limite de uma seqüência.......................................................................................................24
Seqüências de Cauchy...........................................................................................................25
Curiosidades..............................................................................................................................
27
Bibliografia
.............................................................................................................................. 30

Introdução
A contagem, certamente, sempre fascinou a espécie humana. Os “números”, por exemplo, para
os pitagóricos (nome dado aos componentes da sociedade secreta fundada por Pitágoras) regia o
universo. Inclusive o lema dos pitagóricos era “tudo é número”.
Pitágoras nasceu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso, mas se estabeleceu em Crotona,
local chamado de Magna Grécia, hoje Itália.
A escola pitagórica era extremamente conservadora, tendo no bojo um código de conduta rígido
e inflexível. Existem relatos dos quais se atribuem que seus membros eram vegetarianos.
Não há documentos explícitos daquela época, por isso Pitágoras continua sendo uma figura
enigmática e obscura, muito embora fossem muitas as obras escritas sobre Pitágoras, inclusive umas de
Aristóteles, mas se perderam.
Ao transcrever a obra geométrica de Tales, Proclo diz que:
Pitágoras, que veio depois dele, transformou essa ciência numa forma liberal de instrução, examinando seus
princípios desde o início e investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. Descobriu a teoria das proporcionais
e a construção de figuras cósmicas.[Boyer, 1996,p. 33]
Aceitando ou não essa afirmação, é notável que os pitagóricos desempenhassem um papel
importante, talvez imprescindível, na história da matemática. No Egito e Mesopotâmia a aritmética e a
geometria, pouco intelectualizadas, eram praticadas com um caráter um tanto prático e experimental
para resolver problemas específicos e potencializados, referenciados às pirâmides ou herança de terras
(sentido genérico). Pouco parecido com aquilo que se pretendiam os pitagóricos.
Veja por exemplo o que faziam os pitagóricos ao construir o pentagrama ou pentágono
estrelado. Começamos com um pentágono regular: (Fig. 1) traçando em seguida as cinco
diagonais, essas se interceptam em pontos , que formam outro pentágono regular.
Observem que os triângulos e são isósceles e semelhantes, observe também que há vários
pares de triângulos congruentes. Mas, o mais notável e belo é que os pontos , dividem
as diagonais de forma surpreendente. Cada ponto divide a diagonal em dois segmentos diferentes, tais
que a razão da diagonal para o maior dos segmentos é igual à deste para o segmento menor. Essa
partição das diagonais é a chamada e bem conhecida como “secção áurea” de um segmento, embora
esse nome viesse a ser usado quase dois mil anos depois. Mais ou menos na época Kepler escrevia em
lírica:
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A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em
média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia
preciosa. [Boyer, 1996, p.35].
Uma das propriedades mais interessante da secção é que, ela se auto propaga.
Veja o que isso significa.
Dado um segmento (Fig. 2) e sobre este um ponto , sendo que divide em média e
extrema razão, isto é, está para assim como está para . Se sobre o segmento maior, aqui
refiro a , marcamos um ponto tal que , então o segmento por sua vez ficará
subdividido em média e extrema razão pelo ponto (isso será demonstrado no desenvolvimento da
monografia). Esse processo pode ser repetido indefinidamente, o que caracteriza a autopropagação.
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Não se sabe, até onde os pitagóricos foram com este processo, ou se pelo menos fora observado
por eles, ou se tiraram conclusões concernentes ao mesmo. Não se tem conhecimento se os pitagóricos
de cerca de 500 a.C. sabiam dividir um segmento em média e extrema razão, não se deve responder
com segurança, embora, fosse muito provável que sim.
A construção e a divisão de um segmento em média e extrema razão, equivale à resolução de
uma equação do segundo grau. Observe que podemos chamar o segmento , e
. Então pela definição da secção áurea e multiplicando médios e extremos
temos a equação .
Essa equação já havia sido resolvida pelos babilônios e Pitágoras poderia ter aprendido com
eles como resolver algebricamente esta equação. No entanto, se é um número racional, não existe um
número racional que satisfaça a equação. Pitágoras teria percebido isso? Certamente que não.
Possivelmente os pitagóricos tenham usado, no lugar do método algébrico utilizado pelos babilônios,
algo parecido com aquilo que Euclides usou em: Os elementos II,11 e VI,30; um processo geométrico
para dividir um segmento de reta AB em média e extrema razão. Euclides construía um quadrado
(Fig. 3) sobre o segmento . Em seguida “bissectava” pelo ponto , traçava e
prolongava a reta até tal que . Em seguida completava o quadrado e o ponto
era então encontrado. Veja que o problema estava resolvido, (que será mostrado no
desenvolvimento da monografia).
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Se fosse possível conhecer a solução que os pitagóricos adotavam para o problema da secção
áurea, certamente muitas respostas teríamos e com bastante êxito no avanço e esclarecimento no que
diz respeito ao nível e características da matemática pré-socrática.
Segundo Boyer (1996, p. 50), “a essência de tudo, na geometria como nas questões práticas e
teóricas da vida do homem, pode ser explicada em termos de arithmos, ou das propriedades intrínsecas
dos inteiros e suas razões, era um artigo de fé fundamental do pitagorismo”. Certamente os pilares do
fundamentalismo e rigor da escola pitagórica, começaram a ruir quando eles perceberam que os
inteiros eram insuficientes para descrever até mesmo algumas das propriedades mais simples e
rudimentares, como por exemplo, comparar a diagonal de um quadrado ou de um cubo ou de um
pentágono com seu respectivo lado. Tais segmentos são incomensuráveis, não importa quão pequeno
ou quão grande seja a unidade de medida. Como ou quando foram feitas essas descobertas não se tem
notícias, ou não se sabem, mas muito se escreveu em decorrência e apoio de uma ou outra hipótese.
Não há fundamentação teórica para a primeira descoberta da incomensurabilidade pelos hindus, nem
mesmo que Pitágoras conhecesse tamanho problema, provavelmente essa descoberta fora feita por
pitagóricos em meados de 410 a. C. Alguns dizem que foi Hipasus de Metaponto no fim do quinto
século a. C, outros dizem que foi meio século depois.
Se construirmos um pentágono regular e traçarmos as cinco diagonais, elas formam um
pentágono regular menor (Fig. 4) e as diagonais do segundo formam um terceiro pentágono regular,
que é menor ainda. Podemos continuar a traçar diagonais e teremos sempre um pentágono cada vez
menor, isso ocorre indefinidamente, assim podemos concluir que a razão da diagonal para o lado num
pentágono regular não é racional. A irracionalidade dessa razão fora mostrada na (Fig. 2), que
argumenta sobre a autopropagação da secção áurea. Talvez esta tenha sido a descoberta da propriedade
que levou a revelação por Hipasus, da incomensurabilidade? Não há documentos que provam isso, mas
a sugestão é aceitável. Então não seria mas que primeiro revelou a existência de medidas
incomensuráveis, pois a solução da equação nos leva a como sendo a razão entre o
lado de um pentágono regular e a diagonal.
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Neste trabalho, propomo-nos a estudar a questão sobre secção áurea, organizamos o trabalho da
seguinte forma:
Conceituamos a razão áurea, calculando o número áureo e construindo o segmento áureo por
meio de régua e compasso.
Construção do retângulo áureo a partir do menor lado, através do teorema de Pitágoras.
Demonstramos o teorema que mostra que o triângulo isósceles com ângulos de é
áureo. A partir deste, construímos o decágono regular e o pentágono regular.
Vemos ainda o pentagrama de Pitágoras. O retângulo áureo com outros retângulos embutidos e
a relação entre seus lados e a seqüência de Fibonacci. Algumas curiosidades (aplicações).
Finalmente a seqüência de Fibonacci e o número áureo. Calculando inclusive o limite que nos
leva a este número.
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Razão áurea
Desenvolvimento
Dizemos que um ponto divide um segmento em média e extrema razão significa que este fora
seccionado de forma notável. Dando origem a dois segmentos desiguais. Partindo desses segmentos
temos a razão áurea, ou seja, a relação que a define como:
da figura ao lado,
Calculando o número áureo
Basta chamar e ou ainda . Fazendo as substituições
teremos:
logo , com , segue que .
Definindo obtemos a seguinte equação de segundo grau, cujas
soluções são , mas e (Fig. 5) são positivos, logo rejeitamos e
consideramos a outra solução que é chamado de número áureo (segundo
Boyer).
Vamos deixar claro aqui a escolha deste número , como sendo
Muito embora, há escolas que consideram como .
Não importa qual deles seja escolhido, o que nos interessa é a razão áurea. Mas, segundo Boyer
(pág.50), optamos por considerar o número áureo por .
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Ao longo desta monografia teremos a oportunidade de verificar diversas aplicações nas quais
este número aparecerá “naturalmente”.
Construindo o segmento áureo por meio de régua e compasso
Dado um seguimento qualquer, obtemos o ponto médio de da seguinte maneira, com
centro do compasso em e em traçamos circunferências que se interceptam como mostra a figura
abaixo, ligando os pontos onde os arcos interceptaram (visto em vermelho).
Usando régua e compasso, traçamos uma reta perpendicular a , pelo ponto com metade do
comprimento de ;
Veja o traçado:
Com o compasso faça centro em , traçando uma circunferência que intercepte a perpendicular
no ponto de raio .
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O novo segmento é perpendicular a medindo a metade de . Unindo os pontos e
obtemos um triângulo ;
do triângulo;
Com o centro do compasso em abrindo até , marcamos um novo ponto em (hipotenusa)
Finalmente com o centro do compasso no vértice , abrindo até marcamos em o ponto
. Este é o ponto que divide o segmento em média e extrema razão, ou ainda, a maior parte de é
... vezes a menor parte de .
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De fato, sendo , mostraremos que .
Como o é retângulo pelo teorema de Pitágoras obtemos
, o que nos dá que é o número desejado.
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, cujas soluções são

Construção do retângulo áureo a partir do menor lado
é perpendicular a e
é o ponto médio do segmento . Com o centro em traçamos o arco , sendo que
pertence a reta e é interno ao segmento .
Como , podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo e obtemos
congruentes.
Definição: Um triângulo é chamado isósceles se pelo menos dois de seus lados forem
Teorema: Em um triângulo isósceles com ângulos de , a bissetriz interna de um
dos ângulos de divide o lado oposto em média e extrema razão.
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Demonstração:
Considere o triângulo ABC com tais propriedades, tal que
. Então temos que .
Seja a interseção da bissetriz de com o lado .
Afirmamos que o ponto divide o segmento em
média e extrema razão.
De fato, sejam .
Se é bissetriz do ângulo , então obteremos dois novos triângulos isósceles,
e (veja a figura acima), este por sua vez é semelhante ao .
De fato, observe que seus ângulos internos e correspondentes são respectivamente congruentes.
Do (isósceles) temos .
Como o ponto está em , então: .
Do temos , logo , mas, da
semelhança dos triângulos .
fazendo ,
obtemos . Concluímos então que o ponto divide o segmento em média e
extrema razão.
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Triângulo áureo
Veja que no triângulo isósceles acima, podemos construir vários triângulos embutidos
semelhantes ao primeiro, estes triângulos são chamados de triângulos áureos, abaixo temos uma
ilustração sobres estes triângulos.
Aplicações do Teorema
Através do teorema acima podemos construir diversas figuras geométricas relacionadas ao
triângulo acima, como o decágono regular e o pentágono regular.
Com o centro do compasso em traçamos a circunferência de raio
, mas, o ângulo é igual a , logo ao longo
da circunferência marcamos os pontos (com auxilio do compasso) na qual
. Ligando os pontos temos o decágono regular.
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Podemos construir também o pentágono através do Teorema anterior da seguinte forma:
A partir do ponto B, ligando os pontos de maneira intercalada, teremos o pentágono regular.
O pentagrama de Pitágoras (V séc. aC. )
O pentágono regular, certamente, era para os pitagóricos a figura mais importante, pois suas
diagonais dão origem ao pentagrama, também chamado de pentágono regular estrelado que era o
símbolo da escola dos pitagóricos.
Dado um pentágono regular e suas diagonais teremos triângulos congruentes onde cada um
deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, dividindo qualquer uma delas em média e
extrema razão.
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Retângulo áureo
Definição: Um retângulo é chamado áureo se possui a seguinte propriedade: se
extrairmos um quadrado , o retângulo , será semelhante ao primeiro retângulo dado
Ou seja, se e são os lados do retângulo , então com base na definição acima é
válida a relação
Afirmamos agora que o retângulo também é um retângulo áureo. Veja a demonstração.
De fato, como .
Assim .
Concluímos que o retângulo de lados e é áureo.
Usando o mesmo raciocínio podemos afirmar que os retângulos de lados e de
lados são áureos.
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Dizemos ainda, dados dois números positivos e , que satisfaça a relação , podemos
formar a seqüência:
Generalizando, temos:
que é a seqüência:
em que
Mais adiante voltaremos a estudar esta seqüência de números.
Este raciocínio nos garante, que quaisquer dois elementos consecutivos desta seqüência nos dão
um retângulo áureo e que o processo de retirarmos quadrados de retângulos áureos nos levam a uma
seqüência infinita de retângulos áureos, com tamanhos cada vez menores tendendo a zero.
Veja:
Euclides em Os elementos II. 11 e novamente em VI.30, como base em um diagrama, que é
visto em muitos livros hoje em dia, para “ilustrar”(Boyer) a propriedade interativa da secção áurea. Ao
Gnômon marcamos o ponto , para completar o retângulo , e dentro do retângulo
menor , (Boyer, p. 76) semelhante ao retângulo maior , com , construímos outro
Gnômon . Os retângulos , , , e são semelhantes e são
retângulos áureos. Quanto aos gnomos são todos semelhantes entre si. Continuando a construir gnomos
indefinidamente, teremos uma seqüência infinita de retângulos encaixantes semelhantes, que tende a
um ponto limite . Veja que é o ponto de intercecção das retas (diagonais) e é também o pólo
de uma espiral logarítmica segundo Boyer (Pág.76) tangente aos lados dos retângulos nos postos
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A espiral não tangencia, veja o site:
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20rectangle/goldenrec%26logspiral
Os pontos e são aqueles que dividem os lados dos retângulos em média e
extrema razão (secção áurea). As diagonais e são perpendiculares.
Um problema curioso sobre congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se puderem ser sobrepostos por meio de translações, rotações
ou simetrias axiais. Se os seus três lados e seus três ângulos respectivamente correspondentes forem
iguais, eles são congruentes. São os casos de congruência conhecidos: ,
sendo que é o lado do triângulo, é um ângulo interno e é um ângulo oposto pelo vértice.
Existe um problema bastante interessante sobre congruência de triângulos que é o seguinte: é
possível encontrarmos pares de triângulos que possuem cinco elementos congruentes, mas estes
triângulos não são congruentes?
A resposta a esta questão é sim, como podemos ver sua solução a seguir.
Note que os triângulos não podem ter três lados respectivamente congruentes, pois, sendo
assim, eles seriam congruentes. Baseado nessa premissa, concluímos que os elementos que compõem
os dois triângulos estão dispostos da seguinte maneira: três ângulos congruentes e dois lados também
congruentes.
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Isso indica que os triângulos são semelhantes e, portanto seus lados são proporcionais.
Sejam dois triângulos e seus lados respectivamente. (as letras aqui indicam
lados e medidas de seus lados)
Como fora dito, eles são semelhantes, logo, seus lados correspondentes são proporcionais, no
entanto, nem todas as correspondências são possíveis. Como se segue:
Lados iguais não podem ser correspondentes, se assim o fosse, teríamos:
e os triângulos seriam congruentes.
A correspondência não seria plausível pois implicaria , ou seja,
que nos leva a concluir que eles seriam congruentes.
Então, o lado correspondente a tem que ser ou . Suponhamos que seja o lado . Isso nos
leva a seguinte proporção:
, implicando que: , com .
Em outras palavras, se dois triângulos não congruentes com cinco elementos respectivamente
congruentes, os lados de um dos triângulos serão formados pela Progressão Geométrica e
os lados do outro, a Progressão Geométrica .
Há uma propriedade na formação de um triângulo que diz que o lado maior será menor que a
soma dos outros dois lados.
Para satisfazer essa propriedade tomamos um dos triângulos com os números , no qual:
Da primeira condição:
Calculando as raízes:
.
ou
dividindo os termos da inequação por , resultar em e
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Logo:
Para a segunda condição, veja a equivalência, calculando as
raízes:
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Logo:
Juntando os dois resultados, para que sejam lados de um triângulo é preciso que
ou seja, deve estar entre os números de ouro.
Observe a figura abaixo: começando com o triângulo de lado , cada par de triângulos com
um lado em comum satisfaz as condições do problema.
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A seqüência de Fibonacci e o número áureo
A seqüência de Fibonacci é concebida por Em outras palavras o termo
posterior é a soma dos dois números antecessores, que é sempre igual ao sucessor aos dois aqui
referidos, estes números são chamados também de números de Fibonacci. Verifica-se que tomando
como definição dessa seqüência temos para todo natural, que: ,
.
Essa seqüência não é limitada superiormente, contudo existe um fato interessante: tomando as
razões de cada termo pelo seu antecessor, obtemos outra seqüência numérica cujo termo geral é dado
por:
que é uma seqüência limitada conforme veremos abaixo. Considerado a seqüência de Fibonacci como
um conjunto da forma e a razão de cada número pelo seu antecessor, obtemos
outra seqüência:
Percebe-se facilmente o que ocorre quando colocamos essas razões sucessivas (altura) em um
gráfico, onde, o eixo horizontal é a seqüência de Fibonacci:
As razões vão se aproximando de um valor já conhecido por nós, como o número de ouro
(número áureo), que é representado pela letra grega . Aliás, quando n tende para o infinito, o limite é
exatamente o número áureo .
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Algumas considerações sobre seqüências
Definição: Uma seqüência de números reais é uma função , definida no conjunto
Representação:
dos números naturais e tomando valores no conjunto dos números reais.
é chamado de termo de ordem .
Diz-se que a seqüência é limitada, quando existem números reais tais que
para todo . Que significa que todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo . (Elon,
vol.1, pág. 101)
Limite de uma seqüência
Definição: Diz-se que o número real é limite da seqüência de números reais, e escreve-se
, quando para cada número real , dado arbitrariamente, for possível obter um
inteiro tal que , sempre que . (Elon, vol.1 pág.107)
Simbolicamente temos:
Quando , dizemos que a seqüência converge para ou tende para e indicamos
. Se uma seqüência possui limite, ela é chamada convergente.
Teorema 1: Toda seqüência convergente é limitada (ver demonstração em Elon, vol.1, pág. 110)
Observação: A recíproca é falsa: a seqüência é limitada mas não é convergente porque
possui limites diferentes.
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Seqüências de Cauchy
Veremos agora que o critério usado por Cauchy nos dará uma condição, suficiente e também
necessária, para a convergência de uma seqüência de números reais.
Seja uma seqüência de números reais. é uma seqüência de Cauchy se:
Dado um número real , pode-se obter tal que e implica .
Isto significa dizer que seus termos , , para valores suficientemente grandes dos índices
se aproximam arbitrariamente uns dos outros.
Teorema 2: Toda seqüência convergente é de Cauchy. (Demonstração, ver Elon vol.1, pág.126)
Lema: Toda seqüência de Cauchy é limitada. ( Demonstração, ver Elon vol.1, pág.126,127)
Teorema 3: Toda seqüência de Cauchy de números reais é convergente.(Demonstração, ver Elon vol.1,
pág. 127)
Mostremos agora que a seqüência , sendo que dada pela seqüência de
Fibonacci, converge, e converge para o número , isto é , que é o número áureo. Para
isso, mostraremos que é uma seqüência de Cauchy e, portanto, pelo Teorema 3, a seqüência
converge.
Seja dado. Devemos mostrar que existe tal que se , então
.
Como é estritamente crescente, é possível encontrarmos tal que
Usaremos alguns fatos:
segundo fato é a definição da Seqüência de Fibonacci
Assim, se , temos,
. (*)
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Suponhamos que
n > m.
Por II, temos que
Portanto, substituindo na igualdade acima, e prosseguindo indutivamente, conforme a expressão II
acima,
Pelo fato e aplicando a desigualdade triangular na última expressão temos:
sendo que na última passagem usamos (*) acima.
Portanto a seqüência é de Cauchy.
Logo existe um tal que
Agora, como
concluímos que
Resolvendo a equação , chegamos ao número
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Curiosidades
As aplicações da secção áurea são datadas de anos antes de Cristo. No
Egito antigo, por exemplo, em muitos hieróglifos tem proporções áurea.
Na figura acima, a letra (h) é na verdade uma espira dourada. Os egípcios quando usavam os
pés e as mãos como hieróglifos, demonstravam um cuidado especial, sobre o corpo, como razão áurea
em suas proporções. Veja que o (p) e o (sh) são retângulos áureos .
O escaravelho é um símbolo egípcio muito importante. Ele pode ser redesenhado em um
retângulo áureo. Se for desenhado a partir do centro do inseto, o retângulo pode ser dividido.
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O olho de Rá, outro símbolo importante do Egito antigo. Ele simboliza o rei Sol Rá, o mais
importante deus egípcios. Este símbolo é notado nos sarcófagos dos mortos. Pode ser desenhado como
retângulo áureo.
Muitas foram as aplicações da secção áurea, nos seus templos religiosos, em suas pirâmides.
Também a razão áurea foi muito aplicada na Grécia antiga.
Um dos mais antigos momentos já visto é o Partenon Grego (entre 447 e 433 aC), templo
representativo do século de Péricles, contém a razão de ouro no retângulo que contem a fachada
( largura/altura ), isso nos revela a preocupação de realizar uma obra de alta beleza e harmonia. O
arquiteto e construtor dessa obra foi Fídias. Como já sabemos, a inicial do nome do arquiteto é a letra (
) que é designada para denotar o número áureo.
Tem destaque também, à época do Renascimento, em especial com Da Vinci. Em suas obras de
arte, usou muito, da razão áurea, chamada por ele, de, a divina proporção. Leonardo, homem de uma
criatividade exuberante, era um gênio de pensamento original e usou exaustivamente os conhecimentos
matemáticos que possuía, em suas obras. Um, exemplo é a tradicional representação do homem em
forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos estrelados regulares
inscritos na circunferência.
Na Monaliza, observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, no seu rosto,
pode-se construir vários retângulos áureos.
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Na natureza, está repleta de seres vivos contendo essas dimensões, “secção áurea”, por isso, nos
fascinam tanto. Em algumas plantas, por exemplo, a avelã, cassis e faia.
No corpo humano, essas dimensões tem sido estudadas com veemência. As secções áureas no
corpo humano estão representadas a seguir:
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Bibliografia
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise.Vol.1, 11.ed. Rio de Janeiro:Associação Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada, 2006.
BOYER, Carl B. História da matemática/Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F.
Gomide – 2.ed. São Paulo: Edgard Blücler,1996.
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