Lei de Gauss da Eletricidade - Minerva.ufpel.tche.br

Lei de Gauss da Eletricidade<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Objetivos – iremos aprender:<br />
• O que significa fluxo elétrico e como é<br />
possível calcular o mesmo.<br />
• Como é possível determinar a carga elétrica<br />
delimitada por uma superfície fechada<br />
através do cálculo do campo elétrico sobre<br />
esta superfície.<br />
• Como usar a Lei de Gauss da Eletricidade<br />
para calcular o campo elétrico gerado por<br />
uma distribuição de cargas elétricas.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Uma carga elétrica dentro de uma caixa pode ser sondada com<br />
uma carga-teste q o para se medir o campo E fora da caixa.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Fluxo de um Fluido<br />
A taxa de escoamento de um<br />
fluido (dV/dt) através de<br />
uma superfície retangular<br />
de área A é:<br />
(a) vA, quando a superfície<br />
está perpendicular ao<br />
vetor velocidade v.<br />
(b) vA cos φ quando o<br />
retângulo está inclinado<br />
em um ângulo φ.<br />
Taxa de fluxo volumétrico<br />
através de um retângulo<br />
metálico.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Vamos agora substituir o<br />
vetor velocidade do<br />
fluido v pelo vetor campo<br />
elétrico E e introduzir o<br />
conceito de fluxo<br />
elétrico Φ E .<br />
Taxa de fluxo volumétrico<br />
através de um retângulo<br />
metálico.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

(a) Fluxo elétrico através da<br />
superfície: EA.<br />
(b) Quando o vetor de área A<br />
faz um ângulo φ com o vetor<br />
E, a área projetada sobre o<br />
plano perpendicular ao “fluxo<br />
elétrico” é Aperp. = Acosφ. O<br />
fluxo é zero quando φ = 90 o<br />
porque o plano estará<br />
paralelo ao fluxo: o campo E<br />
não “flui” através do<br />
retângulo.<br />
Uma superfície plana em um<br />
campo elétrico uniforme<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Superfície fechada:<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
r<br />
⋅ ∆A<br />
Fluxo elétrico através de uma esfera centrada<br />
sobre uma carga pontual q.<br />
Φ<br />
E<br />
≈<br />
<br />
r<br />
E<br />
No limite:<br />
r<br />
∆ A → 0 e <br />
→ ∞<br />
r r<br />
Φ = ∫ E E ⋅ dA,<br />
Sendo ∫:<br />
integral sobre toda a<br />
superfície<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )<br />
n<br />
n<br />
fechada.<br />
Superfície Gaussiana.

Para uma gaussiana esférica:<br />
r r<br />
E ⋅ dA<br />
EdAcosφ<br />
EdA=<br />
∫ ∫<br />
( 2<br />
E 4πR<br />
)<br />
1<br />
4πε<br />
⎞<br />
( 2<br />
⎟ 4πR<br />
),<br />
⎠<br />
Fluxo elétrico através de uma esfera centrada<br />
sobre uma carga pontual q.<br />
Φ<br />
E<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
Φ<br />
E =<br />
E<br />
q<br />
R<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )<br />
2<br />
q<br />
ε 0<br />
dA

Projeção de um elemento<br />
de área dA de uma<br />
esfera de raio R SOBRE<br />
uma esfera concêntrica<br />
de raio 2R.<br />
A projeção multiplica<br />
cada dimensão linear por<br />
2; assim, o elemento de<br />
área sobre a esfera<br />
maior é 4dA.<br />
O mesmo número de<br />
linhas de força passa por<br />
cada elemento de área.<br />
Fluxo Φ E de uma carga puntiforme q.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

A projeção do elemento de<br />
área dA sobre a superfície<br />
esférica é:<br />
dA cos φ.<br />
Fluxo através de uma superfície arbitrária.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Superfícies Gaussianas esféricas ao redor de<br />
uma carga: (a) positiva e (b) negativa.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Lei de Gauss da Eletricidade:<br />
Seja S uma superfície gaussiana fechada<br />
que envolve completamente uma carga<br />
elétrica Qint a qual gera um campo<br />
elétrico<br />
Então:<br />
E. r<br />
Φ = ∫ E<br />
r<br />
E ⋅<br />
r<br />
dA<br />
=<br />
Q<br />
ε<br />
int<br />
0<br />
.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Para resolver problemas envolvendo a Lei de Gauss,<br />
usa-se a seguinte “receita”:<br />
1. Cuidadosamente desenhar: localização de todas as cargas e a<br />
direção e sentido das linhas de força do campo elétrico E.<br />
2. Desenhe uma superfície Gaussiana imaginária S de tal forma<br />
que o campo elétrico seja constante sobre a superfície e que a<br />
superfície contenha o ponto onde deseja-se calcular o campo<br />
elétrico.<br />
3. Escreva a Lei de Gauss e realize o produto escalar E o dA.<br />
4. Uma vez que a magnitude de E é constante sobre S, pode-se<br />
retirar |E| de dentro do símbolo de integração.<br />
5. Determine o valor de Q int da figura e o insira na equação da Lei<br />
de Gauss.<br />
6. Resolva a equação para obter a magnitude de E.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Em condições<br />
estáticas, o campo<br />
elétrico dentro de uma<br />
esfera sólida<br />
condutora é nulo.<br />
Fora da esfera, o campo<br />
elétrico decai como<br />
1/r 2 ,<br />
como se toda a carga da<br />
esfera estivesse<br />
concentrada no seu<br />
centro.<br />
Campo elétrico (eletrostático) = zero<br />
no interior de uma esfera sólida condutora.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Uma superfície Gaussiana coaxial cilíndrica é usada para<br />
encontrar o campo elétrico a uma distância r de um fio<br />
infinito eletricamente carregado.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Uma superfície Gaussiana cilíndrica é usada para<br />
encontrar o campo elétrico de uma superfície plana<br />
uniformemente carregada.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Densidade<br />
Volumétrica de<br />
Carga:<br />
ρ = carga/Volume é<br />
usada para<br />
caracterizar a<br />
distribuição de<br />
carga.<br />
O campo elétrico de uma esfera ISOLANTE<br />
uniformemente carregada.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Superfície<br />
Gaussiana<br />
Em condições eletrostáticas, qualquer excesso de<br />
carga em um sólido condutor deve residir<br />
inteiramente sobre sua superfície externa.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

A solução está no fato de que o campo elétrico<br />
dentro de um condutor deve ser nulo (ausência<br />
de correntes). Se a superfície Gaussiana<br />
estiver dentro do condutor (onde E é nulo), a<br />
carga envolvida deve ser também nula<br />
(+ q – q) = 0.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

Capacitores<br />
Ignorando efeitos<br />
de borda.<br />
Campo elétrico entre duas placas (grandes)<br />
paralelas eletricamente carregadas.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )

E<br />
Uma superfície<br />
Gaussiana desenhada<br />
dentro de um material<br />
condutor deve ter um<br />
campo elétrico nulo<br />
sobre a mesma.<br />
Se a superfície<br />
Gaussiana tem campo<br />
nulo sobre a mesma, a<br />
carga envolvida deve<br />
ser nula pela Lei de<br />
Gauss.<br />
O campo E = 0 dentro de uma caixa condutora (uma<br />
“Gaiola de Faraday”) em um campo elétrico.<br />
Prof. Rudi Gaelzer – IFM/UFPel (Física Básica III )