SUCESSÕES E SÉRIES

SUCESSÕES E SÉRIES
Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v.
r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é,
u : IN → IR
n
→
u(
n)
=
Definição:
i) ( u n ) n∈IN
é crescente ⇔ ∀ n ∈ IN, un+1
≥ un
ii) ( u n ) n∈IN
é estritamente crescente ⇔ ∀ n ∈ IN, un+1
> un
iii) ( u n ) n∈IN
é decrescente ⇔ ∀ n ∈ IN, un+1
≤ un
u é estritamente decrescente ⇔ ∀ n ∈ IN, un+1
< un
iv) ( n ) n∈IN
Definição: Chama-se série numérica ou série de números reais a
uma expressão que se pode escrever na forma
∑ = + +
∞ +
un u1
u2
u3
n=
1
Capítulo I – Séries 1
un
+
+ u
em que u 1,
u2
, u3
são designados por termos da série e u n
termo geral.
n
+

Definição: Designa-se por sucessão das somas parciais ou sucessão
associada à série ∑ ∞ +
u , a sucessão de termo geral
S
n
n=1
= u
1
n
+ u
2
+ u
3
+
+ u
n
∑
k=
1
Definição: Uma série numérica ∑ ∞ +
u , diz-se convergente se e
somente se ( n ) n∈IN
S é convergente.
n=1
Definição: Uma série numérica do tipo
∑
n 0
∞ +
a r
=
n
= a + ar + ar
designa-se por Série Geométrica.
Capítulo I – Séries 2
2
n
+ ar
3
n
+
=
u
k
,
a,
r
∈ IR \
Teorema: Uma série geométrica converge se r < 1 e diverge se
r ≥1.
Definição: Uma série numérica do tipo
+ ∞ 1 1 1 1
∑ = 1+
+ + + , α ∈ 0,
+∞
α α α α
n=
1 n 2 3 4
designa-se por Série de Dirichelet (ou de Riemann).
] [
{} 0

Teorema: Uma série de Dirichelet converge se α > 1 e diverge se
0 < α ≤1.
Teorema:
i) Se ∑ ∞ +
u e ∑ ∞ +
v são duas séries convergentes e a ∈ IR ,
então:
n=1
n
n
n=1
a) a série ∑ ∞ +
+ ∞ + ∞
a é convergente e tem-se ∑ a u = a ∑u
n=1
un
∑ ∞ +
n=
1
n vn
+ ∞ + ∞
b) a série ( ± )
+ ∞
∑
n=
1
( u ± v ) = ∑u
± ∑
n
n
n=
1
n=
1
u é convergente e tem-se
n=
1
n
n
n=
1
ii) Se ∑ ∞ +
u é convergente e ∑ ∞ +
v é divergente então a série
n
n=1
∑ ∞ +
n=
1
n + vn
( )
u é divergente.
Capítulo I – Séries 3
v
n
n=1
Teorema: Se ∑ ∞ +
u é convergente então lim u = 0.
n=1
n
n→+∞
Teorema: Se lim un
não existe ou lim u n ≠ 0,
então ∑ ∞ +
u n é
divergente.
n→+∞
n→+∞
n
n
n=1
n

SÉRIES NUMÉRICAS DE TERMOS NÃO
NEGATIVOS
Teorema: (1º Critério de Comparação)
Seja u n ≥ 0,
v n ≥ 0 e un ≤ vn,
∀ n ∈ IN,
então:
i) Se a série ∑ ∞ +
v é convergente então a série ∑ ∞ +
u é convergente.
n
n=1
n
n=1
ii) Se a série ∑ ∞ +
u é divergente então a série ∑ ∞ +
v é divergente.
n
n=1
n
n=1
Teorema: (2º Critério de Comparação)
u
Seja u n ≥ 0,
v n > 0 e lim n = L,
IN
n→+∞
vn
∈ ∀ n , então:
i) Se L ≠ 0,
+ ∞ então as séries ∑ ∞ +
u e ∑ ∞ +
v são da mesma
natureza.
ii) Se L = 0 então
iii) Se L = +∞ então
⎧
⎪Se
⎪
⎨
⎪Se
⎪⎩
+ ∞
∑
⎧
⎪Se
⎪
⎨
⎪Se
⎪⎩
n
n=
1
+ ∞
∑
v
u
n
n=
1
+ ∞
∑
∑
n
n=1
converge então
v
n
n=
1
+ ∞
u
n
n=
1
diverge então
diverge então
n
n=1
Capítulo I – Séries 4
+ ∞
∑
converge então
n
n=
1
+ ∞
∑ vn
n=
1
+ ∞
∑
u converge
.
diverge
u
n
n=
1
+ ∞
∑vn
n=
1
diverge
.
converge

Teorema: (Critério de Cauchy ou da Raiz)
Seja u ≥ 0 e lim u = L , IN ∈ ∀ n , então:
n
n
n
n→+∞
i) Se L < 1 então a série ∑ ∞ +
u é convergente.
n
n=1
ii) Se L > 1 então a série ∑ ∞ +
u é divergente.
n
n=1
n n
iii) Se L = 1 então nada se pode concluir, excepto se u →1
por
valores superiores, e, neste caso, a série ∑ ∞ +
u é divergente.
n
n=1
Teorema: (Critério de D´Alembert ou da Razão)
u
Seja u n > 0 e lim n+
1 = L , ∀ n ∈ IN,
então:
n→+∞
un
i) Se L < 1 então a série ∑ ∞ +
u é convergente.
n
n=1
ii) Se L > 1 então a série ∑ ∞ +
u é divergente.
n
n=1
u
iii) Se L = 1 então nada se pode concluir, excepto se n+
1 →1
un
valores superiores, e, neste caso, a série ∑ ∞ +
u é divergente.
n
n=1
Capítulo I – Séries 5
por

Teorema: (Critério de Raabe)
⎡ u
Seja u n > 0 e n n ⎤
lim ⎢ −1
= L
n u
⎥ , ∀ n ∈ IN,
então:
→+∞
⎣ n+
1 ⎦
i) Se L < 1 então a série ∑ ∞ +
u é divergente;
n
n=1
ii) Se L > 1 então a série ∑ ∞ +
u é convergente;
n
n=1
⎡ u ⎤
iii) Se L = 1 então nada se pode concluir, excepto se n n
⎢ −1⎥
→1
⎣un+
1 ⎦
por valores inferiores, e, neste caso, a série ∑ ∞ +
u é divergente.
n
n=1
Exemplo: Determine a natureza das seguintes séries numéricas:
a) ∑ ∞ +
n=
1
d) ∑ ∞ +
g)
n=
1
∑ ∞ +
n=
1
j) ∑ ∞ +
n=1
2
sen ( nπ)
2
n
b) ∑ ∞ +
n=
5
⎛ π ⎞
sen⎜ ⎟
e) ∑
⎝ n ⎠
∞ +
⎛ 4n
−1⎞
⎜ ⎟
⎝ 2n
+ 1⎠
e n
n
n
h)
n=
2
∑
n 2
∞ +
=
k) ∑ ∞ +
n=
1
n
2
3
n
n
5
1
+ 3n
+ 5n
+ 2
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ln( n)
+ 1⎠
c) ∑ ∞ +
n=
2
f) ∑ ∞ +
n=
3
1
n −1
+ n
− n
Capítulo I – Séries 6
2n
1.
3.
5.
( 2n
−1)
2.
4.
6.
2n
i) ∑ ∞ +
n =3
n
1
n !
3 2
n
2
1 2

SÉRIES ABSOLUTAMENTE E SIMPLESMENTE
CONVERGENTES
Definição: Diz-se que a série ∑ ∞ +
u é absolutamente convergente se e só se
n
n=1
a série dos valores absolutos (módulos) dos seus termos ∑ ∞ +
u é
convergente.
n=1
Teorema: Se a série ∑ ∞ +
u é absolutamente convergente então é
convergente. Além disso
n
n=1
+ ∞
∑
n
n=
1
Capítulo I – Séries 7
+ ∞
∑
u ≤ u .
Definição: A série ∑ ∞ +
u é simplesmente convergente se e só se a série
∑ ∞ +
n
n=1
n
n=1
+
n=
1
u é convergente e ∑ ∞
u é divergente.
n=1
n
Definição: Uma série diz-se alternada se e só se é da forma ∑ ∞ +
n+ 1
( −1)
u n
ou ∑ ∞ +
n
( −1)
u n com u n ≥ 0.
n=
1
n
n=
1
n

Teorema: Uma série alternada é absolutamente convergente se e só se a
série ∑ ∞ +
u é convergente.
n
n=1
Teorema: (Critério de Leibniz)
Seja ∑ ∞ +
n
( −1)
u n uma série de termos alternados, com u n ≥ 0,
se:
n=
1
( u ) ∈ é decrescente
i) n n IN
ii) lim u = 0,
n→+∞
n
então a série ∑ ∞ +
n
( −1)
u n é convergente e diz-se simplesmente convergente.
n=
1
Caso contrário é divergente.
Exemplo: Determine a natureza das seguintes séries numéricas:
a) ∑ ∞ + cos( n )
b)
n
∑
3
∞ +
( −1)
n=1
n=
3
Capítulo I – Séries 8
n
5
1
n
c) ∑ ∞ +
n=
2
( −1)
n
1
n

SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES
Definição: Chama-se série de funções a uma expressão que se pode escrever
na forma ∑ ∞ +
fn (x)
, com (x)
, funções reais de variável real, todas
n=1
f n
definidas no mesmo intervalo [ b]
a, .
Teorema: (Critério de Weierstrass)
Consideremos a série de funções ∑ ∞ +
n=1
fn (x)
, definida no intervalo [ a, b]
. Se:
i) existem constantes M n tais que fn ( x)
≤ M n
ii) a série numérica ∑ ∞ +
então a série ∑ ∞ +
n=1
n=1
M é convergente,
n
fn (x)
é absolutamente convergente em [ a, b]
.
Definição: Uma série de potências é uma série da forma
∑ ∞ +
n=
0
n
a ( x − b)
com b , a ∈ IR , ∀n ∈ IN .
n
Capítulo I – Séries 9
n

Definição: Uma série de potências de x é uma série da forma
∑ ∞ +
n=0
n
n x
Teorema: (Teorema de Abel)
i) Se a série de potências ∑ ∞ +
a com IR ∈ a , ∀n ∈ IN .
n=0
Capítulo I – Séries 10
n
n
n x
é absolutamente convergente ∀ x : x < x0
;
ii) Se a série de potências ∑ ∞ +
divergente x : x > x0
∀ .
a é convergente em x 0,
então
n=0
n
n x
0 ≠
a é divergente em x 0 , então é
Consideremos o seguinte conjunto de números reais
⎧
= ⎨ ∑ =
⎩
∞ +
n
A x0
: an
x é convergente
para x x
n=
0
Definição: Chama-se raio de convergência da série ∑ ∞ +
por r à quantidade
⎧supA,
r
= ⎨
⎩ + ∞
n=0
se sup A não existe
n
n x
0
⎫
⎬
⎭
a e representa-se

Teorema: A série ∑ ∞ +
n=0
Teorema: A série ∑ ∞ +
n=0
n
n x
a é absolutamente convergente se e só se
n
n x
n+
1
a
lim n+
1 x
<
n→+∞ n
anx
Capítulo I – Séries 11
1.
a é absolutamente convergente se e só se
lim n a x < 1.
n→+∞
n
Exemplo: Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de
funções:
a) ∑ ∞ +
n =0
d) ∑ ∞ +
n =0
x n
n!
( 2n)!
n
x
n!
b) ∑ ∞ +
n=1
e) ∑ ∞ +
n=
1
n
n n
n x
c) ∑ ∞ +
n=
2
( x −1)
b
n
n
,
b > 0
ln( n)
n
( x − 2)
n
2

DESENVOLVIMENTO DE FUNÇÕES EM
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Consideremos a série de potências
∑ ∞ +
n=
0
a
n
( x − b)
e seja I (r)
o seu intervalo de convergência.
Definição: Dada a função
f : I(
r)
→ IR
x →
f ( x)
=
Capítulo I – Séries 12
n
∑ ∞ +
n=
0
a
n
( x − b)
Para cada x ∈ I( r)
, f (x)
é a soma da série ∑ ∞ +
n
a ( x − b)
que se diz
n
n=
0
desenvolvimento de f(x) segundo as potências de (x − b) .
n

Fórmula de Taylor e Mac-Laurin
Definição: Seja f : D ⊂ IR → IR , n+1 vezes diferenciável no ponto
b ∈ int ( D)
e t ∈]
b, x[
(ou ] x , b[
), então a fórmula de Taylor pode ser escrita
como
f ( x)
=
f ′
( b)
f ( b)
+ f ′ ( b)(
x − b)
+ ( x − b)
2!
( n+
1)
( b)
( x − b)
n!
Capítulo I – Séries 13
+
f
( n)
2
+
n
+ R
f ( t)
n+
1
em que R n+
1 ( x)
= ( x − b)
, se designa por Resto de Lagrange
( n + 1)!
de Ordem n+1.
Definição: Seja f : D ⊂ IR → IR , n+1 vezes diferenciável no ponto b = 0 e
∈ x x , b ), então a fórmula de Mac-Laurin pode escrever-se como
t ] b, [ (ou ] [
( n)
n+
1
( x)
f ′′ ( 0)
2 f ( 0)
n
( x)
=
f ( 0)
+ f ′ ( 0)
x + x + + x + R + 1(
x)
2!
n!
f n

Séries de Taylor e Mac-Laurin
Definição: Seja f : D ⊂ IR → IR , infinitamente diferenciável numa
vizinhança do ponto b ∈ int ( D)
, tal que lim 1 ( x)
= 0 com Rn+ ( ) o
Rn+ n→+∞
resto obtido a partir da fórmula de Taylor. Designa-se por Série de Taylor
de f(x) no ponto b, à série
e tem –se
∑ ∞ +
n=
0
f
( n)
∑ ∞ +
n=
0
( b)
( x − b)
n!
( n)
f ( b)
n
f ( x)
= ( x − b)
.
n!
Nota: Para b=0 tem-se a Série de Mac-Laurin.
Teorema: Seja
então
f
: I( r)
→ IR
x →
i) f (x)
é contínua em I(r ) ;
f ( x)
=
∑ ∞ +
an
n=
0
Capítulo I – Séries 14
n
( x − b)
ii) f (x)
é finitamente diferenciável no interior de
∀ x ∈ b − r,
b + r
I( r ) e
] [
∑ ∞ +
n=
0
⎡ d
′
n ⎤
f ( x)
=
⎢
( an
( x − b)
)
⎣dx
⎥
;
⎦
n
1 x

iii) f (x)
é primitivável no interior de ( )
∫
+ ∞
∑ ∫
n=
0
I r e ∀ x ∈ ] b − r,
b + r[
n [ a ( x − b)
dx]
f ( x)
dx =
.
Exemplo: Obtenha o desenvolvimento em série de potências de x, e
respectivo intervalo de convergência, das seguintes funções:
a)
x
f ( x)
= e
b) f ( x)
= sen( x)
c) f ( x)
=
cos( x)
Capítulo I – Séries 15
n