Capítulo 9 Má Máquinas i de d Turing T i

Capítulo 9 

Má Máquinas i de d Turing T i 

9.1. A máquina de Turing (TM) padrão 

9.2. Combinações de máquinas de Turing 

9.3. A Tese de Turing 

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375

Linguagens regulares Autómatos finitos 

Linguagens livres de contexto Autómatos 

fi finitos i com uma pilha ilh 

Linguagens não livres de contexto ??? 

Qual o autómato mais poderoso ? 

Quais os limites da computação ? 

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1940 – Alan Turing, procura formalizar a 

noção de algoritmo, identificando as 

operações õ ffundamentais d i e primitivas. i i i 

Depois define uma máquina abstracta 

capaz dde executar t essas operações õ segundo d 

regras g bem definidas. 


Máquina de Turing 

Um modelo abstracto de computação 

Problemas resolúveis e irresolúveis 


MT 

UNIDADE 

DE 

CONTROLO 

R/W 

 

FITA 


Definição 9.1. MT 

M = ( Q , , , , q 0 , , F) 

Q é o conjunto de estados internos 

é o alfabeto de entrada 

é o conjunto j finito alfabeto da fita 

é a função de transição 

é o carácter branco branco, símbolo especial 

F Q é o conjunto de estados finais 


Função de transição 

estado d actual lUC 

carácter da fita a 

ser lido no 

momento 

R/W 

: Q Q {L, R} 

 

1º - Q Q,pó , próximo o 

estado da UC 

2º - escrever na fita 

um novo símbolo em 

substituição do 

presente 

3º - fazer uma 

movida para a direita 

ou para a esquerda 


Exemplo 1 

= { a, b,c } 

={a, b, } 

: ( Q ) ( Q { L, R } ) 

( q , a ) = ( q , b, , R ) 

0 1 

abc a b c b b c 

q 0 

q 1 


Uma M Turing pode ser encarada como 

um computador muito simples: 

tem uma unidade de processamento p 

com 

memória finita (número finito de estados) 

tem uma segunda unidade de 

armazenamento de capacidade infinita infinita. 

a ffunção dde transição i é o “programa” do d 

computador ; é uma função parcial. 


Exemplo 2. Seja a MT 

Q = {q 0 , q 1 } 

= {a {a, b} 

= {a, b, } 

= { a, b } 

= { ab a, b, } 

(q 0 , a) = (q 0 , b, R) 

(q 0 , b) = (q 0 , a, R) 

F = { {q } 1 (q , )= (q , , R) 

0 0 


a a b b b a b a b b b a 

q 0 

(q0 , a)= (q 0 , b, R) 

b b b b b a b b a b b a 

q 0 

(q 0 , b)= (q 0 , a, R) 

q 0 

q 0 


a a b a b b a a a a 

q 0 

b b a a a b 

q 0 

(q0 (q0 , b) ) = (q 0 , a, , R) ) 

q 0 

b b a a a b 

(q 0 , )= (q 0 , , R) 

q 0 


Se a ffunção dde transição i for f 

(q 0 , a) = (q 0 , a, R) 

0 0 

(q 0 , b) = (q 1 , b, R) 

(q , ) =(q = (q , , R) 

0 0 

(q 1 , a) = (q 0 , b, L) 

(q 1 , b) = (q 0 , b, L) 

(q , ) = (q , , L) 

1 0 


(q 0 , a)= (q 0 , a, R) (q 0 , b)= (q 1 , b, R) 

a a b b b a 

a a b b b a 

q q q0 q 

0 0 q 0 

qq0 q q1 (q 1 , b)= (q 0 , b, L) (q 0 , b)= (q 1 , b, R) 

a a b b b a a a b b b a 

q 0 

q 1 

q 0 q 1 


Características da MT padrão 

UUma fit fita ilimitada ili it d em ambas b as direcções di õ permitindo iti d um 

número arbitrário de movidas à esquerda e à direita. 

É determinística na medida em que define no máximo 

uma movida id para cada d configuração. fi ã 

No instante inicial a fita tem algum conteúdo especificado. 

Parte deste pode ser considerado a entrada. Sempre que a 

máquina pare (halt), (halt) algum do conteúdo da fita pode ser 

considerado como saída. 


descrição instantânea 

da MT o estado actual da unidade de 

a 1 a 2 

x 1 

controlo 

conteúdo da fita 

a posição da cabeça de leitura/escrita 

x 1 q x 2 

x 2 

a k . a n 

q 


movidas de uma MT 

configuração (k) | configuração (k+1) 

a b c d a b e d 

(q 1 , c) = (q 2 , e, R) 

q 1 q2 

abqq cd | | abeqq d 

1 2 


movida id 

a 1 a 2 .....a k-1 q 1 a k a k+1 ...a n | a 1 a 2 .....a k-1 bq 2 a k+1 …a n 

(q 1 , a k ) = (q 2 , b, R) 


movida 

a 1 a 2 .....a k-1 q 1 a k a k+1 ...a n | a 1 a 2 .....q 2 a k-1 ba k+1 …a n 

(q 1 , a k ) = (q 2 , b, L) 


... um número arbitrário de movidas 

 

 

... de uma certa máquina q M 

 

M 


Computação 

M parou p partindo p de alguma g configuração g ç inicial x q x 1 i 2 qi 2 

se 

para algum q j e algum a 

 

 

x q x y q ay 1 i 2 

1 j 2 

para os quais (q ,a) , a) j 

seja não definida. 

Chama-se computação à sequência das configurações que levam 

a MT do estado inicial ao estado de paragem (halt) 


Ciclo infinito 

A situação s u ç o em e que a MT entra e num u ciclo c c o infinito, o, nunca u c 

parando, nem de lá podendo sair, denota-se por 

x 1 q x 2 

 

 

 

Esta situação é muito importante na teoria das MT 


FFunção ã dde ttransição i ã segundo d : 

Li Linz e JFLAP 

: ( Q ) ( Q { LR}) L, R } ) (q (q0 , b) = (q (q1 , b , R) 

Taylor e DEM 

:( Q ) ( {L, R }) Q (q 0 , b) = ( b, q 1) 

(q 1 , b) = ( R, q 1) 

São necessárias mais instruções para a mesma funcionalidade. 


9.1.4. Diagramas de estados ou de transição de MT’s 

Os diagramas de estados são uma forma alternativa à escrita 

da função de transição 

Consideremos a MT, , com uma fita completamente p em 

branco, que faz o seguinte: 

inicializada lendo uma casa em branco, 

escreve os caracteres ab e 

pára p lendo o carácter a. 


a 

; a, R 

q q 0 0 q1 a b 

q f 

q1 q1 ; b, L 

qf q 0 

; a, R 

q 1 

; b, L 

JFLAP 

© ADC/TC/Cap.9/2009-10/LEI/DEIFCTUC 399 

q f

q 0 

a 

q 1 

a 

q 2 

a b 

q 3 

a b 

q f 

q 0 

q 2 

q f 

a : R 

b : L 

DEM 

: a 

: b 


q 1 

q 3

QQue f faz ??? 

; a, R 

q 0 

JFLAP 

Fita inicial 


QQue f faz ??? 

; , R 

JFLAP 

q 0 

Fita inicial 


E esta ??? 

JFLAP 

q 0 

; aR a, R 

; b, R 

q 1 

Fita inicial 


Diagrama de estados da MT n na(w) (w)= n nb(w) (w) (aceitador) 

aceita as cadeias em {a, b} + ce s c de s e {a, b} com co uum número ú e o de a’s a s 

igual ao nº de b’s em qualquer ordem 

inicializada no carácter mais à esquerda de w, pára lendo 

um simples p 1 estando toda a restante fita em branco 

a b b a 1 

q 0 


q f

Al Algoritmo i possível: í l 

Eliminar pares aa-bb até que: 

ou não reste nenhum a nem nenhum b, caso em que a 

cadeia é aceite. 

ou restarem alguns caracteres não- emparelháveis, caso 

em que a cadeia não é aceite. aceite 


n = n a b 

: , L 

* : *, R 

: ,L 

q 0 

q q4 b :*, R 

: ,L 

q 5 q f 

* : *, R 

a : *,R q 1 

: , R 

* :*, R 

q 2 

a : a, R 

b : b, R 

b : *, L 

* : *, L 

q 3 

b :b, L 

a :a, L 


n = n a b 

* : R 

q 0 

a : * 

q 1 

* : R a: R 

* : R 

: R 

q 3 

b : * 

* : L 

b : * 

a : * 

: L q2 * : R q4 b : L 

q 6 

: L : 1 

* : 

q7 qf 

* : R 

b : R 

q 5 

a : L 

DEM Samenumb.tm, fitas 4a4b.tt, 5a4b.tt 


Exemplo: a MT copiadora (transdutor). 

Inicia-se no primeiro p 1 de uma cadeia de n 1’s. 

Pára no primeiro p 1 de uma cadeia ininterrupta p de n 

1’s, seguida por um branco, seguido por uma cadeia 

ininterrupta p de n 1’s. 

1 1 1 1 1 1 

q 0 

Copying Machine.tm in DEM, fita 8.tt 


q f

9.1.2. MT como aceitadores de linguagens. g g 

dada uma cadeia w do alfabeto de entrada, escrita na fita, não 

contendo t d nem bbrancos nem 

, 

antes de w estão brancos e depois p de w brancos estão , 

a MT inicializa-se em q0 com a cabeça de W/R posicionada no 

carácter mais à esquerda de ww, 

dá-se uma sequência de movidas , 

w é aceite se a MT entrar num estado final e parar (halt), 

w não é aceite se a MT parar (halt) num estado não final, ou se 

entrar num ciclo infinito. 


Definição 9.3 9 3 

Seja M = ( Q, , , , q0 , , F ) uma MT. 

A li linguagem aceite i por M é 

L(M) = { w + 

: q 0 w x1 q f x2 para algum q f F e x 1 , x 2 * } 

Se a cadeia tivesse brancos, a MT não saberia quando ela 

terminaria i i e teria i que continuar i a percorrer a fita fiaté ao infinito. ifii 


Exemplo ={0 = {0, 1} 

LL= L(00*) L(00*), ttodas d as cadeias d i com um ou mais i zeros (sem ( 1’s). 1’ ) 

ller o primeiro i i carácter. á É zero ? Se sim i continuar; i se não, 

parar num estado não final. 

ler o segundo carácter. É zero ? Se sim continuar; se não, 

parar num estado não final. 

... ... 

encontrou um branco sem parar num estado não final ? Se 

sim, parar num estado final. 


0 : 0 : R 

JFLAP 

(q 0 , 0) = (q 0 , 0, R) 

(q 0 , ) = (q f , , R) 

q 0 

: : R 

q f 


Seguindo Taylor e DEM teremos que criar mais estados: 

(q (q0 , 0) = (q (q1 , 0) 

(q 1 , 0) = (q 1 ,R) 

(q 1 , ) = (q f , ) 

q 0 q1 

0 : R 

0 : 0 : 

DEM 

q f 


Note-se que é uma função parcial 

Não é definida por exemplo (q 0 , 1) 

Se aparece um 1, no estado q0 , a MT pára (halt) 

para sempre, sempre indicando que w não é aceite 

(a menos que q0 fosse um estado final) 


As MT podem reconhecer algumas 

linguagens que não são livres de 

contexto. 

São máquinas mais poderosas do que 

os autómatos estudados dd anteriormente. i 


9.1.3. TM como transdutores 

um transdutor: transforma uma entrada numa saída 

Transdutor 

EEntrada t d 

Saída 

Computação 

Fita antes Fita depois 


MT M implementa uma função f 

se 

w = f (w), 

q w 0 

 

M qf sendo q f algum estado final. 

f (w) 


Dfiiã Definição 9.4. 94FFunção ã computável tá l 

f com o ddomínio í i D di diz-se TTuring i – computável tá l ou 

simplesmente computável se existir alguma MT tal que para 

toda a w w D : 

 

q w 0 M qf f (w), qf F 

Todas as funções matemáticas usuais, por mais complicadas que 

sejam, são Turing-computáveis. 


Exemplo Exemplo. Adição de números inteiros (representação unária), unária) 

ex. 9.9 Linz. 

x = 5 

x = 4 

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 

x + y = 9 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 


Outros exemplos de Máquinas de Turing 

Função Ficheiro do DEM 

Conversor de binário em unário Convert.tm 

Factorial Factorial, n ! Factoria Factoria.tm tm 

Multiplicação, f(n,m) = nm Multiply.tm 

Potência n n N^n.tm 

RRaiz i quadrada d d (de (d quadrados d d perfeitos) f i ) SSqrt.tm 

Divisão por 2 div2single div2single.tm tm 

Reversão de uma cadeia em {a,b*} Reverse Word.tm 


99.2. 2 Combinações de máq máquinas inas de TTuring ring 

para tarefas complicadas 

Muitas funções complicadas podem-se decompor em 

sequências de funções simples computáveis 

Tal conceito também se pode p aplicar p ao nível da 

Turing - computabilidade. 

Pode-se projectar uma máquina de Turing composta 

por combinações de máquinas de Turing elementares a 

fim de realizar operações mais complexas. complexas 


Exemplo 

x, y 

f (x, ( ,y) y) = 

Comparador p 

x + y , se x y 

0, se x< y 

x y 

x < y 

SSomadora d x + y 

Apagadora 

0 

f ( (x, y) ) 


Combinações de máquinas de Turing no DEM 

Um nó pode ser uma TM. Por exemplo Convert.tm e N^n.tm, que 

tem três sub-máquinas sub máquinas de Turing. Turing Para as ver, ver no menu View View, 

seleccionar Submachines. 

Através de combinações, é possível computar com MT MT’s s 

operações matemáticas complexas. 


99.3. 3 A Tese de Turing (1930 (1930’s) s) 

(conjectura) 

Qualquer computação que possa ser 

implementada por processos mecânicos 

(i (i.e., por uma máquina) á i ) pode d também bé ser 

implementada p ppor uma máquina q de Turing g 


Alguns argumentos a favor da tese de Turing: 

Qualquer computação que possa ser feita por qualquer 

computador d di digital i lexistente i também bé pode d ser feita f i por 

uma TM. 

Ninguém conseguiu ainda encontrar um problema, 

resolúvel lú l por um qualquer l algoritmo, l i para o qual l não ã 

possa ser escrito um programa para uma TM. 

Foram propostos modelos alternativos para a 

computação ã TM, TM mas nenhum h deles d l é mais i poderoso d do d 

que a TM. 


A Tese de Turing é (ainda ) uma lei 

básica das Ciências da Computação ! 


Definição 9.5. 9 5 Algoritmo 

Um algoritmo para uma função f : D R é uma Máquina de 

Turing M tal que, 

dado como entrada um qualquer d D na sua fita 

pára (halts) com uma resposta correcta para f (d) R 

na sua fita 

para todo d o d D , 

q 0 d 

 

M q f f (d), q f 

F 


Bibliografia 

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and Bartelett Computer Science, 2001. 

Models of Computation and Formal Languages, R. Gregory Taylor, Oxford 

University Press, 1998. 

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HHopcroft, ft RRajeev j Motwani, M t i Jeffrey J ff Ull Ullman, Addi Addison Wesley, W l 2001. 2001 

Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos 

Papadimitriou Papadimitriou, 2nd Ed., Ed Prentice Hall, Hall 1998. 1998 

Introduction th the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS Publishing 

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http://www.turing.org.uk/turing/Turing.html (Alan Turing Home Page) 

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Turing.html 

http://www groups.dcs.st and.ac.uk/ history/Mathematicians/Turing.html

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