Geometria ao modo do Xadrez
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<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong><br />
por Luís Gustavo Mendes e Eduar<strong>do</strong> Fischer - UFRGS<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 1/58
<strong>Xadrez</strong> e Ensino de <strong>Geometria</strong><br />
Eduar<strong>do</strong> Medeiros, Presidente da Confederação<br />
Gaúcha de <strong>Xadrez</strong>, nos propôs o tema:<br />
Como o ensino de <strong>Xadrez</strong> pode auxiliar o ensino de<br />
<strong>Geometria</strong> ?<br />
Antes de formular nossa Resposta, tratemos primeiro<br />
<strong>do</strong> que vem a ser o Ensino de <strong>Geometria</strong>.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 2/58
Ensino de <strong>Geometria</strong><br />
Afirmamos:<br />
o Ensino de <strong>Geometria</strong> não ensina nada se não ensinar<br />
a demonstrar os fatos e propriedades que propõe.<br />
Fórmulas e fatos bonitos não tem relevância nenhuma<br />
na formação intelectual de uma pessoa se não estão<br />
acompanha<strong>do</strong>s de uma justificação de como são<br />
obti<strong>do</strong>s, ou seja, de um argumento que nos convença<br />
da verdade <strong>do</strong> fato.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 3/58
Ao <strong>mo<strong>do</strong></strong> da <strong>Geometria</strong><br />
O que tem a ver a demonstração, a prova com a<br />
<strong>Geometria</strong> ?<br />
É que a <strong>Geometria</strong> funciona assim:<br />
• parte-se de axiomas, premissas simples,<br />
• aplica-se um raciocínio lógicamente correto,<br />
• chega-se em fatos e propriedades não tão simples.<br />
Esse trajeto é uma demonstração !<br />
Mudan<strong>do</strong>-se os axiomas iniciais muda-se a<br />
<strong>Geometria</strong>: Euclidiana, Hiperbólica, Projetiva .<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 4/58
Exemplos<br />
Até o século XVIII o standard de rigor científico era a<br />
apresentação de uma argumento <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> da<br />
<strong>Geometria</strong>.<br />
Tal era a hegemonia da <strong>Geometria</strong>, que podemos citar<br />
<strong>do</strong>is exemplos surpreendentes:<br />
Napier, o cria<strong>do</strong>r <strong>do</strong>s logaritmos no século XVI,<br />
escreveu um Trata<strong>do</strong> onde deu uma prova <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> da<br />
<strong>Geometria</strong> de que o Papa de sua época era o<br />
Anticristo.<br />
A Ética de Spinoza foi escrita <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> da <strong>Geometria</strong>.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 5/58
Hoje<br />
Mas, por incrível que pareça, hoje em dia, aqui no<br />
Brasil, a demonstração não está presente no Ensino de<br />
<strong>Geometria</strong>.<br />
Ou seja, o que antes era um paradigma de rigor<br />
intelectual hoje não é sequer apresenta<strong>do</strong> às pessoas<br />
em formação.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 6/58
O <strong>Xadrez</strong><br />
Em quê o <strong>Xadrez</strong> se parece à <strong>Geometria</strong> ?<br />
O <strong>Xadrez</strong> tem um méto<strong>do</strong> claro:<br />
• as peças tem movimentos simples e bem<br />
defini<strong>do</strong>s<br />
• os joga<strong>do</strong>res têm informação total e com base<br />
nela produzem estratégias<br />
• a composição desses movimentos, segun<strong>do</strong> a<br />
estratégia, produz configurações complexas.<br />
E no <strong>Xadrez</strong> se pode propôr problemas relevantes de<br />
pelo menos 3 tipos:<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 7/58
O <strong>Xadrez</strong><br />
• I- compon<strong>do</strong> movimentos simples obter um<br />
movimento complica<strong>do</strong><br />
(ex. chegar em tal casa com tal peça),<br />
• II- só com peças tais e tais obter uma<br />
configuração específica<br />
(ex., dar um mate só com tais e tais peças).<br />
• III- em no máximo tantas jogadas obter uma<br />
configuração específica<br />
(ex. dar um mate em tantas jogadas).<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 8/58
Objetivo desta Exposição<br />
Nosso objetivo é provar 4 fatos relevantes da<br />
<strong>Geometria</strong> Euclidiana plana <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> xadrez, ou<br />
seja apresenta<strong>do</strong>s no estilo <strong>do</strong>s problemas I, II e III.<br />
O último fato será generaliza<strong>do</strong> na <strong>Geometria</strong><br />
Euclidiana n-dimensional.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 9/58
Movimentos da <strong>Geometria</strong><br />
Lidaremos nessa palestra apenas com os seguintes<br />
movimentos <strong>do</strong> plano Euclidiano (e com a<br />
composição de um número qualquer deles)<br />
• Identidade<br />
(deixar cada ponto <strong>do</strong> plano onde está),<br />
• Reflexão em uma reta<br />
(os pontos de um semiplano passam para o outro),<br />
• Rotação de ângulo orienta<strong>do</strong> α em torno de um<br />
ponto,<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 10/58
Movimentos da <strong>Geometria</strong><br />
• Translação<br />
(tu<strong>do</strong> se desloca segun<strong>do</strong> um vetor V )<br />
• Anti-Translação<br />
(exatamente o movimento <strong>do</strong> Cavalo no <strong>Xadrez</strong> !)<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 11/58
Ilustro<br />
P<br />
T ( P )<br />
P T ( P )<br />
T ( P )<br />
P<br />
P<br />
T ( P )<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 12/58
Movimentos da <strong>Geometria</strong><br />
Esses movimentos são chama<strong>do</strong>s de movimentos<br />
rígi<strong>do</strong>s ou de isometrias <strong>do</strong> plano por preservarem<br />
tamanhos, distâncias e ângulos (não-orienta<strong>do</strong>s).<br />
Note que a composição de um número qualquer de<br />
movimentos rígi<strong>do</strong>s é um movimento rígi<strong>do</strong>.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 13/58
Princípio de Fermat<br />
Problema 1 :<br />
Da<strong>do</strong>s <strong>do</strong>is pontos P1, P2 num mesmo semiplano<br />
relativo a uma reta r, prove que existe um ponto<br />
R ∈ r tal que a soma de distâncias<br />
é a menor possível.<br />
P1 R + R P2<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 14/58
Princípio de Fermat<br />
P 1<br />
R<br />
P 2<br />
r<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 15/58
Solução<br />
Argumentaremos usan<strong>do</strong> apenas o efeito das<br />
Reflexões em retas.<br />
Considere os ângulos α e β forma<strong>do</strong>s em um R<br />
qualquer, como na Figura.<br />
P 1<br />
β<br />
R<br />
α<br />
P 2<br />
r<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 16/58
Solução<br />
Faça a Reflexão na reta r, denotada por T .<br />
P 1<br />
T( )<br />
P 1<br />
β<br />
T( β )<br />
R<br />
α<br />
T( α )<br />
T( )<br />
P 2<br />
P 2<br />
r<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 17/58
Solução<br />
Como T(R) = R então<br />
P1 R + R P2 = P1 R + R T(P2) =<br />
Note agora que soma<br />
é minimizada quan<strong>do</strong><br />
são colineares.<br />
= T(P1)R + R P2.<br />
P1 R + R T(P2)<br />
P1 , R, T(P2)<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 18/58
Solução<br />
Também<br />
T(P1)R + R P2.<br />
é minimizada exatamente quan<strong>do</strong> T(P1),R, P2 são<br />
colineares.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 19/58
Solução<br />
Ou seja, quan<strong>do</strong> os ângulos<br />
são opostos pelo vértice.<br />
T( )<br />
P 1<br />
β + T(β) e α + T(α)<br />
P 1<br />
β<br />
T( β )<br />
R<br />
α<br />
T( α )<br />
T( )<br />
P 2<br />
P 2<br />
r<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 20/58
Solução<br />
Logo<br />
Mas<br />
Logo<br />
β + T(β) ≡ α + T(α).<br />
α ≡ T(α) e β ≡ T(β).<br />
2β ≡ 2α e α ≡ β.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 21/58
Solução<br />
Solução: O ponto R é o ponto onde o ângulo de<br />
incidência é igual <strong>ao</strong> ângulo refleti<strong>do</strong>.<br />
P 1<br />
α α<br />
Isso é o que a luz faz <strong>ao</strong> refletir numa superfície !<br />
R<br />
P 2<br />
r<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 22/58
Ponto de Fermat<br />
Problema 2 Da<strong>do</strong> um triângulo ∆ABC determine o<br />
ponto P ∈ ∆ que minimiza:<br />
PA + PC + PB.<br />
Esse ponto é chama<strong>do</strong> ponto de Fermat.<br />
Como veremos a seguir, ese ponto não é em geral o<br />
conheci<strong>do</strong> baricentro.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 23/58
Solução<br />
A solução dependerá apenas <strong>do</strong> uso de Rotações.<br />
Faça a rotação em C de ângulo +60, denotada por T .<br />
Note que o triângulo ∆CPT(P) é equilátero.<br />
T(A)<br />
T(P)<br />
C<br />
T(B)<br />
P<br />
A<br />
B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 24/58
Solução<br />
Então<br />
AP + CP + BP =<br />
= T(A)T(P) + T(P)P + PB<br />
T(A)<br />
T(P)<br />
C<br />
P<br />
A<br />
B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 25/58
Solução<br />
Mas essa soma é minimizada quan<strong>do</strong> os pontos<br />
T(A), T(P), P, B são colineares !<br />
T(A)<br />
T(P)<br />
C<br />
P<br />
A<br />
B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 26/58
Solução<br />
Ora, T(A), T(P), P colineares e CT(P)P = 60<br />
implicam que T(A)T(P)C = 120.<br />
T(A)<br />
T(P)<br />
C<br />
P<br />
A<br />
B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 27/58
Solução<br />
E também T(P), P, B colineares e <br />
T(P)PC = 60<br />
implicam que CPB = 120.<br />
T(A)<br />
T(P)<br />
C<br />
P<br />
A<br />
B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 28/58
Solução<br />
Solução: O Ponto de Fermat é onde as retas<br />
PA, PB, PC forman<strong>do</strong> três angulos iguais, de 120<br />
graus.<br />
α<br />
α<br />
P<br />
α<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 29/58
Fermat e Baricentro<br />
O Baricentro é o ponto onde as três medianas de um<br />
triângulo se encontram.<br />
É fácil de ver que num triângulo Equilátero Baricentro<br />
e ponto de Fermat são o mesmo ponto.<br />
Mas a posição <strong>do</strong> Baricentro é exatamente a 1<br />
3 de cada<br />
mediana, portanto num triângulo isósceles mais alto o<br />
baricentro estará mais alto:<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 30/58
Fermat e Baricentro<br />
B<br />
B<br />
Não poderá coincidir com o Fermat, pois as<br />
semi-retas que formam angulos de 120 não passarão<br />
pelos vértices !<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 31/58
Teorema de Bonaparte<br />
Seja um ∆ABC qualquer. Levante em seus la<strong>do</strong>s<br />
triângulos equiláteros ∆1, ∆2, ∆3, cujos Baricentros<br />
são B1, B2, B3.<br />
A<br />
B 1<br />
B 3<br />
B<br />
B 2<br />
C<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 32/58
Teorema de Bonaparte<br />
Problema 3<br />
Teorema (de Napoleão Bonaparte):<br />
∆B1B2B3 é um triângulo Equilátero.<br />
Provaremos isso usan<strong>do</strong> apenas Rotações em pontos<br />
bem escolhi<strong>do</strong>s.<br />
Por isso precisamos ver o que resulta quan<strong>do</strong><br />
compomos as Rotações.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 33/58
Composição de Rotações<br />
Quan<strong>do</strong> compomos Rotações num mesmo ponto<br />
obtemos uma nova rotação no ponto:<br />
RP, β ◦ RP, α = RP, α+β,<br />
onde α, β são ângulos orienta<strong>do</strong>s.<br />
Mas o que acontece se os pontos onde fazemos duas<br />
Rotações são pontos diferentes ?<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 34/58
Rotações são duas reflexões<br />
Para entendermos o que acontece, primeiro devemos<br />
nos convencer de que uma Rα,P pode ser decomposta<br />
como:<br />
RP,α = Tr2 ◦ Tr1 , se r2 ∩ r1 = P, r1Pr2 = α<br />
2 .<br />
P 2<br />
α / 2<br />
r 2<br />
P 1<br />
P<br />
r 1<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 35/58
Rotações em pontos diferentes<br />
RQ, β ◦ RP, α = RX, α+β −360 = RX, α+β<br />
β /2<br />
Q P<br />
X<br />
(α+ β ) /2 − 180<br />
α /2<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 36/58
Pode dar uma translação<br />
Se houvesse paralelismo das retas, não existiria X.<br />
β /2<br />
Q P<br />
X<br />
(α+ β ) /2 − 180<br />
α /2<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 37/58
Solução<br />
Esse Paralelismo surge quan<strong>do</strong> α+β<br />
2<br />
β /2<br />
Q P<br />
V<br />
α /2<br />
= 180.<br />
Nesse caso RQ,β ◦ RP,α é uma Translação por V .<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 38/58
Prova <strong>do</strong> Teorema<br />
Considere o ponto X ∈ ∆3 que forma um triângulo<br />
equilátero com B1 e B2.<br />
Queremos provar que X = B3.<br />
A<br />
B 1<br />
B<br />
60 60<br />
X<br />
60<br />
B 2<br />
C<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 39/58
Solução<br />
Por absur<strong>do</strong>, suporemos que X = B3.<br />
Note que, pelo que já vimos,<br />
Mas se X = B3:<br />
pois<br />
R B2,+120 ◦ R B1,+120 = RX,+240.<br />
RB3,+120 ◦ RX,+240 = TV ,<br />
180 =<br />
120 + 240<br />
.<br />
2<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 40/58
Solução<br />
Chegaremos assim numa contradição, pois:<br />
logo<br />
TV = RB3,+120 ◦ R B2,+120 ◦ R B1,+120<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 41/58
Solução<br />
(RB3,+120 ◦ R B2,+120 ◦ R B1,+120) (A) =<br />
= (RB3,+120 ◦ R B2,+120) (B) =<br />
A<br />
= RB3,+120 (C) = A<br />
B 1<br />
B<br />
B 2<br />
C<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 42/58
Solução<br />
ou seja:<br />
TV (A) = A,<br />
e no entanto numa translação tu<strong>do</strong> se move !<br />
Contradição.<br />
Logo X = B3.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 43/58
Reflexões geram os Movimentos<br />
Considere a composição de um número arbitrário de<br />
movimento rígi<strong>do</strong>s, que leva um triângulo ∆ABC<br />
num triângulo ∆ Â ˆ B Ĉ.<br />
B C<br />
A<br />
B<br />
C<br />
A<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 44/58
Reflexões geram os Movimentos<br />
Problema 4:<br />
Leve ∆ABC em ∆ ˆ BĈ usan<strong>do</strong> apenas 0, 1, 2 ou 3<br />
Reflexões em retas.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 45/58
Mediatriz<br />
Lembro que o lugar geométrico <strong>do</strong>s pontos no plano<br />
Euclidiano que equidistam de <strong>do</strong>is pontos fixa<strong>do</strong>s<br />
P1, P2 é uma reta.<br />
Ela é chamada de mediatriz <strong>do</strong> segmento [P1P2] .<br />
A mediatriz é ortogonal <strong>ao</strong> segmento [P1P2] e passa<br />
pelo ponto médio <strong>do</strong> segmento [P1P2].<br />
m<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 46/58
Solução<br />
Temos direito a fazer até 3 jogadas, então:<br />
Jogada n. 1: Considere m1 a reta mediatriz de [A Â]<br />
(se A = Â economizo essa jogada).<br />
Faça a Reflexão em m1, denotada Tm1 .<br />
Note que Tm1 (A) = Â.<br />
Denote Tm1 (B) = B1.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 47/58
Solução<br />
B C<br />
A<br />
B<br />
m 1<br />
C<br />
B 1<br />
A<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 48/58
Solução<br />
Jogada n. 2: Considere m2 a mediatriz de [B1 ˆ B] (se<br />
B1 = ˆ B, economizo essa jogada).<br />
Aplique <strong>ao</strong> anterior a Reflexão Tm2 .<br />
m 2<br />
C 2<br />
B<br />
C<br />
B 1<br />
A<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 49/58
Solução<br />
É importante notar para o que seguirá que<br />
De fato,<br />
 ∈ m2,<br />
 ˆ B = AB = ÂB1,<br />
logo  equidista de ˆ B e de B1.<br />
Logo Tm2 (Â) = Â, assim como<br />
Tm2 (B1) = ˆ B<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 50/58
Solução<br />
Denote C2 = Tm2 (C)<br />
Jogada n.3: Considere m3 a mediatriz de [C2Ĉ] (se<br />
C2 = Ĉ economizo esta jogada). Aplico Tm3 <strong>ao</strong><br />
anterior.<br />
m 3<br />
C 2<br />
B<br />
C<br />
A<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 51/58
Solução<br />
Note que<br />
De fato:<br />
diz que  ∈ m3 e<br />
diz que ˆ B ∈ m3.<br />
 ∈ m3 e ˆ B ∈ m3.<br />
AC =<br />
ÂĈ = ÂC2<br />
BC = ˆ B Ĉ = ˆ BC2<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 52/58
Solução<br />
Logo terei Tm3 (Â) = Â e Tm3 ( ˆ B) = ˆ B, bem como:<br />
Solução:<br />
A composição Tm3<br />
∆ ˆ BĈ. Tm3 (C2) = Ĉ<br />
◦ Tm2 ◦ Tm1 levou ∆ABC em<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 53/58
Dimensão n ≥ 3.<br />
Nos Espaços Euclidianos n dimensionais E n os<br />
pontos tem n coordenadas:<br />
P = (p1, . . . , pn).<br />
Se define a distância entre <strong>do</strong>is pontos<br />
P = (p1, . . . , pn) e Q = (q1, . . . , qn) por:<br />
P Q := (p1 − q1) 2 + . . . + (pn − qn) 2 .<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 54/58
Dimensão n ≥ 3.<br />
Os movimentos Rígi<strong>do</strong>s ou Isometrias são as<br />
transformações de E n que preservam as distâncias e<br />
tamanhos.<br />
Temos intuição <strong>do</strong> que são esse movimentos em E 3 ,<br />
mas certamente não em E 4 !<br />
Por exemplo, sabemos que podemos mudar de destros<br />
a canhotos se nos refletimos num espelho plano<br />
dentro de E 3 .<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 55/58
E 4<br />
Já no E 4 existe uma Rotação que transforma um<br />
destro num canhoto !<br />
Como não posso desenhar em dimensão 4, faço um<br />
esquema para ilustrar isso:<br />
E 2<br />
E 3<br />
E 3<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 56/58
Problema 4 Generaliza<strong>do</strong><br />
Sejam n + 1 pontos A1, . . . , An+1 em posição geral de<br />
E n leva<strong>do</strong>s em n + 1 pontos Â1, . . . , Ân+1 atráves de<br />
uma composição de movimentos rígi<strong>do</strong>s de E n .<br />
Problema 4 geral: Conseguir o mesmo efeito usan<strong>do</strong><br />
no máximo n + 1 reflexões em hiper-planos.<br />
A Solução é na linha da que apresentamos, só que<br />
agora usan<strong>do</strong> reflexões em hiper-planos mediatrizes e<br />
indução em n ∈ N.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 57/58
Referência<br />
H. S. M. Coxeter, Introduction to geometry, John<br />
Wiley and Sons Inc., 1969.<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>ao</strong> <strong>mo<strong>do</strong></strong> <strong>do</strong> <strong>Xadrez</strong> – p. 58/58