0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
A ideia é muito simples. Começamos por escrever p(k) como combinação linear de
polinómios da forma k, k(k − 1), k(k − 1)(k − 2) etc..
Suponhamos que p(k) = A1 k + A2 k(k − 1) + · · · . Deste modo
n
p(k) x k =
k=1
=
n
[A1 k + A2 k(k − 1) + · · · ] x k
k=1
n
k=1
= A1 x
= A1 x
A1 k x k +
n
k=1
n
k=1
n
A2 k(k − 1) x k + · · ·
k=1
k x k−1 + A2 x 2
k x k−1 + A2 x 2
n
k(k − 1) x k−2 + · · ·
k=1
n
k(k − 1) x k−2 + · · ·
Resta-nos então saber calcular expressões “fechadas” para as somas
n
k x k ,
k=1
n
k(k − 1) x k−1 ,
k=2
k=2
n
k(k − 1)(k − 2) x k−2 , · · ·
ou seja, para as somas (com a notação usual para as derivadas)
n
x k
′
,
n
x k
′′
,
n
x k
′′′
, · · ·
k=0
Uma vez que, se x = 1,
n
k=2
n
k=1
n
k=0
k=0
k=3
k=0
x k = xn+1 − 1
, podemos concluir que, para x = 1,
x − 1
kx k−1 = nxn+1 − (n + 1)x n + 1
(x − 1) 2
k(k − 1)x k−2 = (n − n2 )x n+1 + 2(n 2 − 1)x n − (n 2 + n)x n−1 + 2
(x − 1) 3
.
Note-se ainda que se x = 1 podemos aplicar limites.
9