0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
A conjectura de Collatz afirma que, se k ∈ Z então a sucessão (T n (k))n∈N, obtida
por aplicação sucessiva de T a k atinge o número 1, se k > 0, um dos números
−1, −5 ou −17, se k < 0, entrando depois em ciclo.
a) Encontre a sucessão obtida a partir de n = 29.
b) Mostre que a sucessão obtida para n = (2 k − 1)/3, onde k é um inteiro
positivo par, atinge o inteiro 1.
2. Uma expansão de Cantor de um inteiro positivo n é
n = amm! + am−1(m − 1)! + · · · + a22! + a11!
onde aj é um inteiro com 0 ≤ aj ≤ j.
a) Determine uma expansão de Cantor de 14, 56 e 384.
b) Mostre que, dado n ∈ N existe uma e uma só expansão de Cantor para n.
3. Seja S ⊆ {1, 2, . . . , 2n} tal que
∀a, b ∈ S [ a|b ⇒ a = b ].
a) Faça n = 6 e encontre os subconjuntos de {1, 2, . . . , 12} que satisfazem a
condição acima.
b) Para n ∈ N, qual o maior número possível de elementos que S pode ter?
4. Seja n ∈ N e considere n inteiros (não necessariamente distintos). Mostre que
existe uma escolha de alguns deles cuja soma é múltipla de n.
De seguida vamos aplicar alguns (poucos) conhecimentos de análise diferencial para
o cálculo de algumas somas finitas. Estamos a pensar em somas do tipo
em que p(k) é um polinómio.
n
p(k) x k
k=1
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