0. Exercícios de Revisão
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exercícios de revisão 16. Sejam m, n inteiros primos entre si e maiores que 1. Mostre que n−1 k=1 Sugestão: Calcule mk n + 17. Para que valores de n ∈ N, mk = n (m − 1)(n − 1) . 2 m(n−k) n , para k ∈ {1, . . . , n − 1}. n j divide j=1 n j. Os dois próximos exercícios são relativos à chamada série harmónica. O primeiro mostra que a sucessão (Sn)n∈N das somas parciais da série só é um número inteiro se n = 1. E o segundo refere-se às chamadas fracções egípcias, que são as somas de ele- mentos diferentes da série harmónica. O exercício 2 fornece um algoritmo para escrever um número racional como fracção egípcia. 1. Sejam n ∈ N e k a maior potência de 2 menor ou igual a n. j=1 a) Mostre que não existe a ∈ N tal que a < n, a = 2 k e 2 k |a. b) Conclua que 1 + 1 1 2 + · · · + n não é um inteiro. 2. a) Mostre que, se n ∈ N então 1 1 1 n = n+1 + n(n+1) . b) Mostre que todo o número racional positivo é soma de um número finito de termos (não necessariamente seguidos) da série harmónica. Nota: Usando o algoritmo referido acima 2 3 1 1 = + 3 3 1 1 1 = + + 3 4 12 . Mas existe uma decomposição “mais simples”: 2 1 1 = + 3 2 6 . 6
exercícios de revisão Os próximos exercícios podem ser resolvidos procurando uma fórmula de recorrência. 1. Considere n rectas no plano tais que: duas quaisquer delas são concorrentes; não existem três delas que se intersectem num mesmo ponto. Em quantas regiões “fica o plano dividido”? 2. Seja D a região aberta delimitada por duas rectas paralelas. Considere m pon- tos, A1, . . . , Am, numa das rectas e n pontos, B1, . . . , Bn na outra. Para i ∈ {1, 2, . . . , m} e j ∈ {1, 2, . . . , n} considere a recta ri,j, definida pelos pontos Ai e Bj. Suponha ainda que destas (nm) rectas, não existem três que se intersectem num mesmo ponto de D. Quantos são os pontos de intersecção das rectas acima definidas que pertencem a D? Vejamos exemplos que podem ter algum cariz computacional. O primeiro desses exemplos é relativa à chamada conjectura de Collatz. Há muita literatura sobre esta conjectura e generalizações. Dois exemplos: • na página http://www.numbertheory.org/php/collatz.html pode fazer algumas experiências. • na página http://math.scranton.edu/monks/software/Collatz/Collatz.html pode encontrar rotinas para o Maple para o estudo desta conjectura. 1. Considere a função T definida por T : Z −→ Z. n n ↦→ 2 3n+1 2 se n é par se n é ímpar Para cada k ∈ Z, podemos criar a sucessão (T n (k))n∈N0 em que T 0 (k) = k e T m (k) = T (T m−1 (k)) se m ∈ N. Por exemplo, para k = 7, definimos a sucessão: 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 2, ... 7
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- Page 9 and 10: exercícios de revisão A ideia é
exercícios <strong>de</strong> revisão<br />
Os próximos exercícios po<strong>de</strong>m ser resolvidos procurando uma fórmula <strong>de</strong> recorrência.<br />
1. Consi<strong>de</strong>re n rectas no plano tais que: duas quaisquer <strong>de</strong>las são concorrentes; não<br />
existem três <strong>de</strong>las que se intersectem num mesmo ponto.<br />
Em quantas regiões “fica o plano dividido”?<br />
2. Seja D a região aberta <strong>de</strong>limitada por duas rectas paralelas. Consi<strong>de</strong>re m pon-<br />
tos, A1, . . . , Am, numa das rectas e n pontos, B1, . . . , Bn na outra. Para i ∈<br />
{1, 2, . . . , m} e j ∈ {1, 2, . . . , n} consi<strong>de</strong>re a recta ri,j, <strong>de</strong>finida pelos pontos Ai e<br />
Bj. Suponha ainda que <strong>de</strong>stas (nm) rectas, não existem três que se intersectem<br />
num mesmo ponto <strong>de</strong> D.<br />
Quantos são os pontos <strong>de</strong> intersecção das rectas acima <strong>de</strong>finidas que pertencem a<br />
D?<br />
Vejamos exemplos que po<strong>de</strong>m ter algum cariz computacional. O primeiro <strong>de</strong>sses<br />
exemplos é relativa à chamada conjectura <strong>de</strong> Collatz.<br />
Há muita literatura sobre esta conjectura e generalizações. Dois exemplos:<br />
• na página http://www.numbertheory.org/php/collatz.html po<strong>de</strong> fazer algumas<br />
experiências.<br />
• na página http://math.scranton.edu/monks/software/Collatz/Collatz.html po<strong>de</strong><br />
encontrar rotinas para o Maple para o estudo <strong>de</strong>sta conjectura.<br />
1. Consi<strong>de</strong>re a função T <strong>de</strong>finida por T : Z −→ Z.<br />
<br />
n<br />
n ↦→ 2<br />
3n+1<br />
2<br />
se n é par<br />
se n é ímpar<br />
Para cada k ∈ Z, po<strong>de</strong>mos criar a sucessão (T n (k))n∈N0 em que T 0 (k) = k e<br />
T m (k) = T (T m−1 (k)) se m ∈ N.<br />
Por exemplo, para k = 7, <strong>de</strong>finimos a sucessão:<br />
7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 2, ...<br />
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