0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
3. Mostre que, se m é uma soma de dois quadrados, então 2m é também uma soma
de dois quadrados.
4. Se n ∈ N, 10 2n+1 − 10 2n − 10 n+1 + 4 · 10 n + 1 é um quadrado perfeito?
5. Mostre que, se 6 divide a soma de três inteiros então também divide a soma dos
cubos desses inteiros.
6. Mostre que, a, b, c ∈ N e 9 divide a 3 + b 3 + c 3 então a, b ou c é múltiplo de 3.
7. Sejam a, b, c ∈ N tais que c é ímpar e a 2 + 2b 2 = 2c. Mostre que a é par e b é
ímpar.
8. Mostre que se um número é soma de 2 quadrados inteiros então o resto da sua
divisão por 4 não é 3.
9. Mostre que se um número é soma de 3 quadrados inteiros então o resto da sua
divisão por 8 não é 7.
Nota: Qualquer número inteiro é a soma de 4 quadrados.
10. Para que valores de a, b, c ∈ R se tem a igualdade 1 1 1 1
a + b + c = a+b+c ?
11. Determine todos os pares (a, b) ∈ R 2 tais que
estejam em progressão aritmética.
a, b, ab, a 2 + b
12. Calcule todos os ternos (a, b, c) ∈ R 3 tais que a, b, c estão em sucessão aritmética
e a − 1, b − 1, c + 1 em progressão geométrica.
13. Quais os valores de a, x, y ∈ N, para os quais x 2 + y 2 = axy?
14. Mostre que, se a, b ∈ N, então a!b! divide (a + b)!.
15. Mostre que, se p é um número primo e 1 ≤ k < p então
5
p
é múltiplo de p.
k