0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
5. Seja n > 2 e p um divisor primo de n! − 1. Mostre que p ≥ n. Conclua que existe
uma infinidade de números primos.
Nota: Este é essencialmente o raciocínio de Euclides (século IV e III antes de
Cristo).
6. Seja n ∈ N. Mostre (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1) são n inteiros
compostos consecutivos.
Nota: Daqui resulta que dois números primos consecutivos podem estar tão di-
stante um do outro quanto se queira.
7. Mostre que:
a) x ≥ − 1
2
b)
c)
∞
p∈P
p∈P
1
p
1
log(1 − x) se x ∈]0, 2 ];
1
1 − 1 =
p
∞
1
pi
=
p∈P
i=0
∞
n=1
1
n ;
1
é uma série divergente. (use a), para x = p , e b)).
Nota: Este resultado contrabalança o resultado anterior, dizendo que no global os
números primos não estão muito separados uns dos outros. Este resultado, como
muitos em teoria elementar dos números, foi demonstrado por Leonhard Euler
que viveu de 15 de Abril de 1707 a 18 de Setembro de 1783.
Os próximos exercícios usam apenas alguma manipulação algébrica. Em alguns pro-
curamos factorizar algumas expressões. No exercício 5 (por exemplo) podemos analisar
os diversos casos consoante o resto da divisão dos inteiros em questão por 6. Nos exer-
cícios 6, 7, 8 e 9 podemos usar um raciocínio semelhante.
1. Prove que n 4 + 4 não é primo se n > 1.
2. Para que inteiros n positivos é n 4 + 4 n primo?
4