0. Exercícios de Revisão

exercícios de revisão
Os seguintes exercícios podem ser resolvidos aplicando estas igualdades.
1. Mostre que, se a, b ∈ Z, então a 4 − b 4 não é um número primo.
2. Encontre um divisor primo de: 2 30 + 1; 2 40 + 1; 2 36 + 1.
3. Factorize os números: 10 6 − 1; 2 24 − 1; 10 8 − 1; ; 2 15 − 1.
4. Sejam a, b, n, m ∈ N. Mostre que
a) se a > 1 e a n + 1 é primo então n é uma potência de 2;
b) se a n − 1 é primo então a = 2 e n é primo;
c) se a n + b m é primo então (n, m) é uma potência de 2.
5. Mostre que 22m − 1 tem pelo menos m factores primos distintos.
O exercício 4. leva-nos à apresentação dos números de Fermat e de Mersenne.
• Um número da forma 2 n + 1, com n ∈ N, diz-se um número de Fermat (sec.
XVII). Do exercício 4.a) podemos concluir que se um número de Fermat é primo
então é necessariamente da forma 22m +1 para algum m ∈ N. Fermat conjecturou
que os números desta forma são todos primos. Euler em 1732 mostrou que os
factores de Fm = 22m + 1, com m > 2 são necessariamente da forma k2m+2 + 1.
Depois disto bastou-lhe fazer duas tentativas para encontrar um divisor próprio
de F5, a saber, 641.
O teste mais conhecido para testar a primalidade de um número de Fermat é o
chamado teste de Pepin: Fm é primo se e só se 3 Fm−1
2 ≡ −1 (mod Fm).
Não se conhece nenhum número primo de Fermat para m > 4. O maior número de
Fermat que se sabe ser composto é o correspondente a m = 11 602 478 782. A pa-
gina http://www.prothsearch.net/fermat.html tem informação actualizada
sobre os números de Fermat.
• Um número primo diz-se um primo de Mersenne se for da forma 2 n − 1. Do
exercício 4. b) podemos concluir que n tem de ser primo. Os 4 maiores primos
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