Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar
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Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres Armando Machado Índice Introdução 2 1. Primeiras no ções básicas e primeiros axiomas 5 2. Axioma de separação do plano 14 3. Ângulos 20 4. Triângulos 36 5. Isometrias e Aplicações 64 6. Quadriláteros e Paralelogramos 77 7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas 85 8. Teorema de Thales e semelhança 96 9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores 105 10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno 133 11. Geometria da Circunferência 150 Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas 161 Novembro de 2005 –1–
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- Page 50 and 51: O facto de se ter lEFl lEGl com F
<strong>Da</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Euclidiana</strong> <strong>aos</strong> <strong>Vectores</strong> <strong>Livres</strong><br />
Armando Machado<br />
Índice<br />
Introdução 2<br />
1. Primeiras no ções básicas e primeiros axiomas<br />
5<br />
2. Axioma de separação do plano 14<br />
3. Ângulos 20<br />
4. Triângulos 36<br />
5. Isometrias e Aplicações 64<br />
6. Quadriláteros e Paralelogramos 77<br />
7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas 85<br />
8. Teorema de Thales e semelhança 96<br />
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores 105<br />
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno 133<br />
11. <strong>Geometria</strong> da Circunferência 150<br />
Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas 161<br />
Novembro de 2005<br />
–1–
Introdução<br />
Este texto é um ensaio de desenvolvimento da <strong>Geometria</strong> <strong>Euclidiana</strong>,<br />
do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dos<br />
vectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomática<br />
seguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from an<br />
Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pela<br />
introdução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma da<br />
régua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dos<br />
números reais.<br />
Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos mais<br />
dois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso de<br />
<strong>Geometria</strong>, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira,<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>Euclidiana</strong>, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nosso<br />
texto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menos<br />
ambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e a<br />
algumas aplicações dos vectores livres à <strong>Geometria</strong>. Em segundo lugar é<br />
bastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultados<br />
anteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente,<br />
aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, mas<br />
poderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor do<br />
computador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” que<br />
enviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.<br />
Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferente<br />
da tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.<br />
Relativamente <strong>aos</strong> axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural<br />
(apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noção<br />
primitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço um<br />
número real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde à<br />
ideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossa<br />
experiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assim<br />
tomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funções<br />
distância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentes<br />
unidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultou<br />
uma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho alguma<br />
coisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com o<br />
estabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandeza<br />
em Física. Em particular um comprimento não é um número real mas uma<br />
família de números reais indexada no conjunto das funções distância, família que<br />
deve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente que<br />
nunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a<br />
–2–
igualdade de um comprimento com um produto de dois comprimentos. A partir<br />
de certa altura torna-se naturalmente conveniente, para não cair em exageros de<br />
formalismo, pressupor a fixação de uma função distância, por exemplo quando<br />
se discute o produto interno de dois vectores, mas pensamos que nessa altura já<br />
será claro para o leitor como se poderia proceder se se fizesse questão de não<br />
fixar uma tal unidade de medida.<br />
Escolhemos enunciar o axioma de separação do plano através da<br />
exigência de que uma certa relação no complementar duma recta num plano é de<br />
equivalência e tem duas classes de equivalência, que vão ser os semiplanos<br />
abertos. Esse enunciado pareceu-nos preferível àquele que afirma que o<br />
complementar referido é união de dois convexos verificando uma certa condição<br />
e que são então os semiplanos abertos, por este último escamotear a necessidade<br />
de justificar que uma tal decomposição é única. Também constatámos que o<br />
resultado correspondente para a separação do espaço por um plano é um teorema<br />
e não necessita assim de ser tomado como um novo axioma.<br />
Preferimos definir ângulo como um conjunto de duas semirrectas com<br />
a mesma origem, contidas em rectas distintas, em vez da união dessas<br />
semirrectas. Evitámos assim a necessidade de mostrar que os lados dum ângulo<br />
são semirrectas bem definidas. Dentro do mesmo espírito, preferimos definir<br />
triângulo como um triplo ordenado de três pontos não colineares, o que nos<br />
permite simplificar o enunciado dos resultados envolvendo a congruência de<br />
triângulos.<br />
Relativamente <strong>aos</strong> axiomas de medida dos ângulos, preferimos utilizar<br />
como unidade de medida o ângulo recto, em vez do grau. Se é verdade que o<br />
mais cómodo a prazo seria utilizar desdo o início o radiano, partindo do número<br />
1 definido de forma analítica, isso pareceu-nos pouco natural, tal como nos<br />
pareceu a utilização do grau. Constatámos também que um dos axiomas sobre a<br />
medição dos ângulos, aquele que afirma que a soma das medidas de dois ângulos<br />
adjacentes é igual a dois rectos, é de facto um teorema.<br />
Apresentamos um estudo elementar das isometrias, definidas numa<br />
recta, num plano ou no espaço, e de algumas das suas propriedades, sem<br />
preocupações de fazer a classificação destas. Como exemplos fundamentais,<br />
começamos por apresentar as inversões, relativamente a um ponto, a uma recta<br />
ou a um plano, e utilizamo-las no estudo da perpendicularidade entre uma recta e<br />
um plano.<br />
As translações são definidas como as isometrias que se podem obter<br />
como compostas de duas inversões pontuais e as suas propriedades fundamentais<br />
são estabelecidas, em particular a de uma translação ficar bem definida quando<br />
se dá arbitrariamente a imagem de um ponto do espaço e o facto de o conjunto<br />
das translações ser um grupo comutativo relativamente à operação de<br />
composição. Os vectores livres são identificados com as translações e não<br />
definidos como classes de equivalência de segmentos orientados, embora a<br />
posteriori a relação entre os dois modos de aproximação a esta noção fique clara<br />
–3–
e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando se<br />
define o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector EF é<br />
Ä<br />
definido como a única translação que aplica E em F,<br />
nomeadamente a composta<br />
da inversão relativamente a E seguida da inversão relativamente ao ponto médio<br />
do par ÐEß FÑ.<br />
São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectores<br />
livres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de Ö!× são identificados<br />
como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido,<br />
primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizando<br />
nesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorial<br />
definida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades de<br />
bilinearidade.<br />
O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de um<br />
ângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificação<br />
na discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e são<br />
estabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partir<br />
desta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, em<br />
particular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com as<br />
definidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funções<br />
trigonométricas é apresentada num apêndice.<br />
Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão mais<br />
cuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particular<br />
temos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, sem<br />
que venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicas<br />
são estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.<br />
–4–
1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas.<br />
1.1 (Primeiras noções primitivas) Supomos dados, como noções<br />
primitivas, um<br />
conjunto X, cujos elementos T são chamados pontos,<br />
um conjunto e de<br />
partes de X, cujos elementos < são chamados rectas,<br />
um conjunto c de partes<br />
de X , cujos elementos ! são chamados planos,<br />
e um conjunto Y de aplicações<br />
.À X ‚ X Ä Ò!ß_Ò, cujos elementos são chamados funções distância,<br />
supondo-se verificados os axiomas que iremos descrevendo a seguir:<br />
1.2 (Definições) Um conjunto (ou família) de pontos diz-se colinear<br />
(respectivamente complanar ) se existir uma recta
1.6 (Resultados de existência)<br />
a) Para cada T− X, existe uma recta §!. Mais uma vez pelo axioma b) em 1.3,<br />
podemos considerar a única<br />
recta
que contém T e U, segue-se que TßUßV são não colineares e portanto, pelo<br />
axioma d) em 1.3 , vinha ! œ " .<br />
1.8 (Outras formas de “definir” um plano)<br />
a) Se
1.12 (Mudança de sistema de coordenadas I) Sejam 0À< Ä ‘ um . -sistema<br />
de coordenadas. Tem-se então:<br />
a) Se - − ‘ Ï Ö!× , então a bijecção 1À < Ä ‘ definida por 1ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ é<br />
um Ðl-l .Ñ-sistema<br />
de coordenadas com a mesma origem. Em particular, para<br />
cada s.− Y,<br />
a recta < admite um s.<br />
-sistema de coordenadas.<br />
b) Se + − ‘ , então a bijecção 2À < Ä ‘ definida por 2ÐTÑ œ 0ÐTÑ + é um<br />
"<br />
. -sistema de coordenadas com origem 0 Ð+Ñ.<br />
Dem: a) De ser 0ÐSÑ œ ! , sai ainda 1ÐSÑ œ ! e vemos que<br />
l1ÐUÑ 1ÐT Ñl œ l-Ð0ÐUÑ 0ÐT Ñl l-ll0ÐUÑ 0ÐT Ñl œ l-l .ÐT ß UÑ.<br />
A última afirmação resulta de que qualquer s.−Y é da forma -. , para algum<br />
-!.<br />
" "<br />
b) Tem-se 2Ð0 Ð+ÑÑ œ 0Ð0 Ð+ÑÑ + œ ! e<br />
l2ÐUÑ2ÐTÑlœl0ÐUÑ+0ÐTÑ+lœl0ÐUÑ0ÐTÑlœ.ÐTßUÑ. <br />
1.13 (Lema) Seja :‘ À Ä ‘ uma aplicação tal que : Ð!Ñ œ ! e que, quaisquer<br />
que sejam Bß C − ‘ , l: ÐBÑ : ÐCÑl œ lB Cl. Tem-se então que ou : œ M. ‘<br />
ou : œM.‘ .<br />
Dem: Para cada B−‘ , vem<br />
l: ÐBÑlœl: ÐBÑ: Ð!ÑlœlB!lœlBl,<br />
e portanto, ou : ÐBÑœB ou : ÐBÑœB. É claro que, para Bœ! tem-se<br />
simultaneamente : ÐBÑ œ B e : ÐBÑ œ B, pelo que, se não fosse : œ M.‘<br />
nem : œM. ‘ , existiam BÁ! e CÁ! tais que : ÐBÑœB e : ÐCÑœC.<br />
Podíamos então escrever<br />
lBClœl: ÐBÑ: ÐCÑlœlBCl,<br />
portanto, ou BCœBCou BCœCB; no primeiro caso vinha Cœ!<br />
e no segundo vinha Bœ! , pelo que, em ambos os casos, chegámos a um<br />
absurdo. <br />
1.14 (Mudança de sistema de coordenadas II) Sejam
Tem-se :Ð!Ñ œ ! e<br />
l ÐBÑ ÐCÑl œ l0Ð0 s " B<br />
Ð ÑÑ + s " C<br />
: :<br />
0Ð0 Ð ÑÑ +l œ<br />
-w -w<br />
œ l0Ð0 s " B<br />
Ð ÑÑ s " C B C<br />
0Ð0 Ð ÑÑl œ s " "<br />
.Ð0 Ð Ñß 0 Ð ÑÑ œ<br />
-w -w -w -w<br />
w " B " C w B C<br />
œ - .Ð0 Ð Ñß0 Ð ÑÑ œ - l <br />
-w -w -w -w<br />
lœlBCl.<br />
Podemos assim concluir, pelo lema precedente, que, ou : œM.‘ , ou<br />
w<br />
: œM. ‘. No primeiro caso, pondo -œ-, vem, para cada T −< ,<br />
w<br />
considerando Bœ-0ÐTÑ,<br />
-0ÐTÑœBœ: ÐBÑœ0ÐTÑ+ s ,<br />
isto é, s<br />
w<br />
0ÐTÑœ -0ÐTÑ+ . No segundo caso, pondo - œ - , vem, para cada<br />
w<br />
T−< , considerando Bœ-0ÐTÑ,<br />
-0ÐT Ñ œ B œ : ÐBÑ œ s0ÐT<br />
Ñ + ,<br />
isto é, s0ÐTÑœ -0ÐTÑ+ . Tem-se assim, em ambos os casos, s0ÐTÑœ<br />
w<br />
-0ÐTÑ + , com l-l œ - , e portanto s.<br />
œ l-l . . Quanto à unicidade, se for<br />
s0ÐTÑœ-0ÐTÑ + T + œ s "<br />
, para todo o , tem-se necessariamente 0Ð0 Ð!ÑÑ<br />
e, escolhendo T tal que 0ÐTÑ Á ! , tem-se necessariamente - œ .<br />
0ÐTÑ+ s<br />
<br />
1.15 Sejam
de coordenadas 0À< Ä ‘ , vem, para cada TßU − < , T Ÿ U Í<br />
0ÐTÑŸ 0ÐUÑ.<br />
Existem então em < duas, e só duas, ordens lineares Ÿ e Ÿ , uma oposta da<br />
w<br />
w<br />
outra, isto é, com T Ÿ UÍUŸT.<br />
Dem: Fixado um sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ , podemos definir uma<br />
ordem total Ÿ em < por transporte da ordem total usual de ‘ , isto é, pondo<br />
TŸUÍ0ÐTÑŸ0ÐUÑ. Considerando o novo sistema de coordenadas<br />
w<br />
0À < Ä ‘ (cf. 1.12),<br />
obtemos, a partir dele uma nova ordem linear Ÿ ,<br />
para a qual se tem<br />
w<br />
T Ÿ U Í 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í 0ÐUÑ Ÿ 0ÐT Ñ Í U Ÿ T ,<br />
sendo assim a ordem inversa da primeira. Sendo agora s 0À< Ä ‘ um sistema<br />
de coordenadas arbitrário, sabemos, por 1.14, que existe - − ‘ Ï Ö!× e + − ‘<br />
tais que s0ÐTÑœ<br />
-0ÐTÑ+ . Tem-se então, se - ! ,<br />
s0ÐTÑŸs0ÐUÑÍ0ÐTÑŸ 0ÐUÑÍT Ÿ U<br />
e, se -! ,<br />
s0ÐTÑŸs 0ÐUÑÍ0ÐUÑŸ0ÐTÑÍ U Ÿ T,<br />
pelo que, em qualquer caso, a ordem linear associada a s0<br />
é a ordem Ÿ ou a<br />
sua oposta. <br />
1.17 (Propriedades das ordens lineares) Por definição,<br />
uma ordem linear de<br />
uma recta < é isomorfa à ordem usual de ‘ e, consequentemente, goza das<br />
propriedades que aquela tem. Por exemplo, fixada uma ordem linear de < :<br />
a) Para cada T−< , existe UßV−< com UTe TV;<br />
b) <strong>Da</strong>dos TßU−< , com T ÁU, existe V−< tal que T VU.<br />
1.18 (Definições) a) <strong>Da</strong>dos TßU − com T Á U, notamos TU, ou TUa única<br />
Ç<br />
X<br />
recta < tal que TßU − < .<br />
b) <strong>Da</strong>dos TßU − X com T Á U,<br />
podemos considerar a única ordem linear na<br />
recta
V−< tais que TŸV e o conjunto < dos V−< tais que VŸT(a<br />
primeira<br />
é a associada a essa ordem linear e a segunda a associada à ordem linear<br />
oposta) 2. <strong>Da</strong>do U−< com T ÁU, a semi-recta TU<br />
Û é a única semirrecta de<br />
< que contém U.<br />
b) <strong>Da</strong>da uma recta < e um ponto T − < , a intersecção das duas semirrectas de<br />
< de origem T é o conjunto ÖT× e a sua união é < .<br />
c) Um mesmo conjunto não pode ser semirrecta de mais que uma recta e a<br />
origem de uma semirrecta é um elemento bem definido.<br />
d) Se < é uma semirrecta de origem S e se . − Y é uma função<br />
distância,<br />
então, para cada + ! em ‘ , existe um, e um só, T −< tal que<br />
.ÐSßTÑ œ + . Além disso, dados TßU −< ,<br />
tem-se T −ÒSßUÓse,<br />
e só se<br />
.ÐSßTÑ Ÿ .ÐSßUÑ. Dem: As conclusões de a) e de b) resultam imediatamente das definições. O<br />
facto de um mesmo conjunto não poder ser semirrecta de mais que uma recta<br />
resulta de que uma semirrecta tem pelo menos dois pontos. O facto de a<br />
origem de uma semirrecta ser um elemento bem definido vem de que, fixada<br />
uma ordem linear na recta correspondente, ou a origem é um elemento<br />
mínimo da semirrecta e esta não tem máximo, ou a origem é um elemento<br />
máximo da semirrecta e esta não tem mínimo. Quanto a d), tendo em conta a<br />
alínea a) de 1.12 , podemos fixar um . -sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ da<br />
recta < que contém < e então, substituindo eventualmente 0 por 0 , < é<br />
formado pelos pontos U−< tais que 0ÐUÑ 0ÐSÑ . Considerando em < a<br />
ordem linear determinada por 0 (cf. 1.16),<br />
o único ponto T nas condições<br />
"<br />
pedidas é 0 Ð0ÐSÑ +Ñ e tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se, 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ se,<br />
e só se, .ÐSß T Ñ œ 0ÐT Ñ 0ÐSÑ Ÿ 0ÐUÑ 0ÐSÑ œ .ÐSß UÑ. <br />
1.20 (Propriedades dos segmentos de recta) a) <strong>Da</strong>da uma recta < e TßU − <<br />
com TÁU,<br />
tem-se<br />
Û Û<br />
ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó œ T U UT .<br />
b) Tem-se TßU −ÒTßUÓ,<br />
em particular um segmento de recta está contido<br />
numa única recta.<br />
c) Fixada uma ordem linear da recta TU, tem-se que, ou T é o mínimo do<br />
segmento ÒT ß UÓ e U é o seu máximo, ou T é o máximo do segmento ÒT ß UÓ<br />
e U é o seu mínimo. Em particular, as extremidades dum segmento de recta<br />
são pontos bem definidos, embora não esteja bem definido qual a<br />
“extremidade esquerda” e qual a “extremidade direita”.<br />
d) <strong>Da</strong>da uma recta
f) <strong>Da</strong>dos Vß W − ÒTß UÓ, tem-se ÒVß WÓ § ÒTß UÓ.<br />
Û Û Û<br />
g) Se V−TU, com VÁT, então TU= TV.<br />
Û Û<br />
h) <strong>Da</strong>dos T Á Ue V −ÒTßUÓ, com V Á U, tem-se VU § TU.<br />
i) <strong>Da</strong>do V − ÒT ß UÓ, tem-se ÒT ß UÓ œ ÒT ß VÓ ÒVß UÓ, com ÒT ß VÓ ÒVß UÓ<br />
œÖV×Þ<br />
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições. <br />
1.21 <strong>Da</strong>dos T ß Uß Vß W − X,<br />
tem-se lT Ul œ lVWl se, e só se, existe uma<br />
fun ção-distância s.− Y tal que s.ÐTßUÑœ.ÐVßWÑ s . Mais geralmente, tem-se<br />
lTUl Ÿ lVWl (no sentido de ser .ÐTß UÑ Ÿ .ÐVß WÑ , para cada . ) se, e só se,<br />
existe uma fun ção-distância s.− Y tal que s.ÐTßUÑŸ.ÐVßWÑ s e, dado<br />
+ ! , tem-se lTUlœ+lVWl (no sentido de ser .ÐTßUÑœ+.ÐVßWÑ,<br />
para<br />
cada . ) se, e só se, existe uma fun ção-distância s. − Y tal que s.ÐTßUÑ<br />
œ +<br />
s .ÐVß WÑ.<br />
Dem: Trata-se de consequências imediatas de, dadas duas funções-distância<br />
.ß s. − Y, existir uma constante - ! tal que s.<br />
œ -. . <br />
1.22 (Congruência de pares de pontos) <strong>Da</strong>dos TßUßVßW− X,<br />
diz-se que os<br />
pares ordenados ÐTß UÑ e ÐVß WÑ são congruentes se se tem lTUl œ lVWl.<br />
1.23 Tendo em conta a definição de congruência e a propriedade 1.11,<br />
é<br />
imediato que a relação de congruência entre pares ordenados de pontos de X<br />
é uma relação de equivalência e que ÐT ß UÑ e ÐUß T Ñ são sempre<br />
congruentes. Tendo em conta o mesmo axioma, vemos também que se tem<br />
lTTlœ ! (no sentido de se tratar da família constante com todos os termos<br />
! ) 3 e que ÐTßUÑ é congruente a ÐVßVÑ se, e só se, T œ U.<br />
1.24 Diz-se que dois segmentos de recta ÒT ß UÓ e ÒUß VÓ são congruentes se os<br />
pares de pontos ÐT ß UÑ e ÐUß VÑ forem congruentes.<br />
Repare-se que esta definição faz sentido uma vez que, como vimos, um<br />
segmento de recta determina o conjunto das suas extremidades e que ÐT ß UÑ<br />
e ÐUß T Ñ são congruentes.<br />
1.25 (As funções-distância restritas a uma recta) Sejam .− Y e
a) em 1.9, tal como o facto de se ter lT Ul lT Vl lVUl se for<br />
.ÐTß UÑ .ÐTß VÑ .ÐVß UÑ , para algum . − Y. Consideremos então,<br />
para fixar ideias, um . -sistema de coordenadas de < , 0À< Ä ‘ tal que<br />
0ÐTÑœ! e 0ÐUÑœ" (cf. 1.15).<br />
Se V−ÒTßUÓ , tem-se !Ÿ0ÐVÑŸ" , e<br />
então<br />
.ÐT ß UÑ œ " œ 0ÐVÑ Ð" 0ÐVÑÑ œ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ.<br />
Por outro lado, se V Â ÒT ß UÓ, ou 0ÐVÑ " , ou 0ÐVÑ ! . No primeiro caso<br />
tem-se<br />
.ÐTßUÑœ"0ÐVÑœ.ÐTßVÑŸ.ÐTßVÑ.ÐVßUÑ,<br />
e, no segundo caso, tem-se<br />
.ÐTßUÑœ""0ÐVÑœ.ÐVßUÑŸ.ÐTßVÑ.ÐVßUÑ. <br />
1.26 (O ponto médio de um segmento) Sejam
tem-se Q−ÒTßUÓ.<br />
Em particular, pelo resultado precedente, tem-se<br />
lT Ul œ lT Ql lQUl œ #lQT l,<br />
"<br />
#<br />
portanto lQTlœ lTUl.<br />
2. Axioma de separação do plano.<br />
2.1 (A relação segmental) Seja V um subconjunto de X.<br />
Definimos então uma<br />
relação µ em V (a que damos o nome de relação segmental em V)<br />
4,<br />
pondo<br />
TµUÍÒTßUÓ§V (cf. a alínea c) de 1.18).<br />
Esta relação é trivialmente reflexiva e simétrica (lembrar que ÒT ß T Ó œ ÖT × e<br />
que ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó)<br />
mas só em casos particulares será uma relação de<br />
equivalência.<br />
2.2 Dizemos que um conjunto V § X é convexo se a relação segmental em V for<br />
a relação universal, isto é, se, quaisquer que sejam TßU − V,<br />
tem-se<br />
ÒT ß UÓ § V.<br />
Repare-se que, para verificar que um conjunto V é convexo basta trivialmente<br />
verificar que, para TÁUem V, tem-se ÒTßUÓ§ V.<br />
2.3 (Propriedades dos conjuntos convexos)<br />
a) O espaço todo X, o vazio g e um conjunto unitário ÖT× são conjuntos<br />
convexos.<br />
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo.<br />
c) Um plano ! − c é um conjunto convexo.<br />
d) Uma recta
tem-se ÒT ß UÓ § < . As alíneas e) e f) resultam das alíneas homónimas da<br />
propriedade 1.20. <br />
2.4 Dizemos que um conjunto V § X é cónico relativamente a um ponto T − X<br />
Û<br />
se se tem T −V e, para todo o U−V com UÁT, TU§ V.<br />
2.5 (Propriedades dos conjuntos cónicos)<br />
a) <strong>Da</strong>do T−X, o espaço todo X e o conjunto unitário ÖT× são cónicos<br />
relativamente a T .<br />
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos cónicos relativamente a T é um<br />
conjunto cónico relativamente a T .<br />
c) Um plano ! é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T−!<br />
.<br />
d) Uma recta < é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T − < .<br />
Û<br />
e) Uma semirrecta TUé um conjunto cónico relativamente a T.<br />
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições se recordarmos,<br />
para a alínea c), que dado UÁTem ! , a recta TUestá<br />
contida em ! .<br />
2.6 (Quando a relação segmental é de equivalência) Seja V § X um conjunto<br />
cuja relação segmental associada seja de equivalência. Tem-se então que as<br />
correspondentes classes de equivalência são conjuntos convexos.<br />
Dem: Basta atender a que, se TßU − V estão numa mesma classe de<br />
equivalência, tem-se T µ U, portanto ÒTßUÓ§ V e então ÒTßUÓtambém<br />
está<br />
contido na classe de equivalência, visto que, para cada V−ÒTßUÓ,<br />
tem-se<br />
ÒT ß VÓ § ÒT ß UÓ § V (cf. a alínea f) de 1.20), e portanto T µ V.<br />
<br />
2.7 (Teorema de separação da recta) Sejam
Chamamos semiplanos de ! com bordo < <strong>aos</strong> subconjuntos de !<br />
! œÐ! Ï
ÒGß EÓ contenha um ponto T − ! , então existe um plano " § X,<br />
contendo os<br />
três pontos e tal que " ! seja uma recta < . Para justificar esta afirmação,<br />
separamos os casos em que Eß Fß G não são colineares e em que o são. No<br />
primeiro caso tomamos para " o único plano que contém os pontos Eß Fß G,<br />
reparando que " Á ! e que " ! contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7).<br />
No segundo caso consideramos a única recta = que contém os três pontos<br />
(uma tal recta contém necessariamente T, que é distinto de EßFßG),<br />
tomamos uma recta arbirária < de ! tal que T − < e tomamos para " o único<br />
plano que contém as rectas < e = (cf. a alínea b) de 1.8).<br />
3) Mostremos agora que a relação segmental µ é uma relação de equivalência<br />
em X Ï! . Sejam então EßFßG −X Ï! tais que EµF e F µG e<br />
tentemos provar que EµG.<br />
Suponhamos, por absurdo, que isso não<br />
acontecia, e portanto que existia T−ÒEßGÓ! . Como vimos em 2), existe<br />
um plano " contendo os três pontos e tal que " ! seja uma recta < e, tendo<br />
em conta o que vimos em " ) vem, para a relação segmental em " Ï< , E µ F,<br />
FµGe EµÎG,<br />
o que é absurdo, tendo em conta 2.8.<br />
4) Mostremos agora que µ admite pelo menos duas classes de equivalência.<br />
Consideremos então E−X Ï! arbitrário e T − ! arbitrário. Sendo = a recta<br />
que contém E e T , fixemos a ordem linear de = para a qual E T e<br />
reparemos que =! œÖT× . Seja enfim F−= tal que T F.<br />
Tem-se assim<br />
F−X Ï! e T−! ÒEßFÓ, o que mostra que não se tem EµF.<br />
5) Mostremos enfim que µ não pode ter mais que duas classes de<br />
equivalência, isto é, que, se Eß Fß G − X Ï ! são tais que E µ / F e F µ / G,<br />
então EµG.<br />
Para isso, tendo em conta o que vimos em 2), consideramos<br />
um plano " contendo os três pontos e tal que " ! seja uma recta < e, tendo<br />
em conta o que vimos em " ) vemos que, para a relação segmental em " Ï< ,<br />
tem-se ainda EµF / e FµG / donde, por 2.8,<br />
EµG e portanto também<br />
EµG para a relação segmental em X Ï!<br />
, tendo em conta o que vimos em<br />
1). <br />
2.12 (Semiplanos e semirrectas) Sejam ! um plano e
TW, tem-se ÒVßWÓ§ ! Î ! Ï< , uma vez que T−ÒVßWÓ ! , portanto V ! µÎW,<br />
o que implica que W−Ð! Ï
ser o outro semiplano de ! de bordo < resulta de que, também pela alínea a)<br />
de 2.12, os pontos de = distintos de T estão em ! Ï< œ Ð! Ï
Ð! Ï
origem ou vértice do ângulo e que as semirrectas < e = são as suas<br />
extremidades.<br />
3.2 <strong>Da</strong>do um ângulo Ö< ß = × , existe um único plano ! que contém < e = (a<br />
que damos o nome de plano do ângulo)<br />
e esse plano contém mesmo as rectas<br />
< e = correspondentes às semirrectas.<br />
Dem: Uma vez que uma semirrecta contém sempre mais que um ponto,<br />
resulta de 1.4 que qualquer plano que contenha < e = contém também < e<br />
= . Mas < e = são rectas concorrentes e portanto, pela alínea b) de 1.8,<br />
existe<br />
um único plano ! contendo < e = , esse plano contendo, em particular,
acontece com cada um dos semiplanos considerados. O facto de o sector<br />
angular ter intersecção vazia com, por exemplo, o conjunto < ÏÖS× vem de<br />
que, por 2.12,<br />
este conjunto está contido no semiplano aberto distinto do que<br />
contém U , e portanto não intersecta =U. Û<br />
<br />
3.5 (Intersecção de um sector angular com uma recta) Nas condições<br />
anteriores, notando ! o plano que contém o sector angular nÖ< ß = ×<br />
:<br />
a) Sejam T −= , com T ÁS, e U−< , com UÁS . Sendo >œTU§ ! ,<br />
tem-se que >nÖ< ß= לÒTßUÓ , >< œÖU× e >= œÖT× . Em<br />
particular, >nÖ< ß= × tem pontos que não estão em < nem em = Þ<br />
b) Seja >§ ! uma recta com S−> . Tem-se então que ou >nÖ< ß= ל<br />
ÖS× , ou > nÖ< ß = ×<br />
é uma semirrecta de > com origem S.<br />
c) Seja V−nÖ< ß= × tal que VÂ< e VÂ= .<br />
Quaisquer que sejam a<br />
recta >§ ! com V−> e a ordem linear de > , existem EßF−>nÖ< ß= ×<br />
tais que EVF.<br />
Û Û Û Û<br />
Dem: a) Tendo em conta a alínea a) de 2.12 , >=UœTU, tal como >=œÖT× , pelo que podemos concluir que<br />
Û Û Û Û<br />
>nÖ< ß= ל>ÐnÖ< ß= ×ÁÖS×<br />
e escolhamos VÁS em<br />
>nÖ< ß= × . Se V−< ou V−= ,<br />
tem-se >œ< ou >œ= , respectivamente,<br />
pelo que resulta de 3.4 que >nÖ< ß= × é < ou = ,<br />
respectivamente,<br />
portanto uma semirrecta de > de origem S.<br />
Vejamos enfim o que<br />
sucede VÂ< e VÂ= . Mais uma vez por 3.4,<br />
VÂ< e VÂ= , pelo que<br />
resulta da alínea a) de 2.12 que, com T e U escolhidos nas condições da a),<br />
Û Û Û<br />
>=Usão ambos iguais à semirrecta SV de > , e portanto também<br />
Û Û Û<br />
>nÖ< ß= ל>Ð=U. Sejam Eo maior dos pontos E e E e F o menor dos pontos F e<br />
ww F . Tem-se assim que EßF − > são tais que E V F e o facto de se ter<br />
w ww w ww<br />
Û Û<br />
E − ÒE ß VÓ ÒE ß VÓ e F − ÒVß F Ó ÒVß F Ó e de os semiplanos
Em primeiro lugar o vértice S,<br />
origem comum das semirrectas, fica<br />
determinado pelo conjunto nÖ< ß = ×<br />
. De facto S é o único ponto<br />
V−nÖ< ß= × que tem a propriedade de qualquer recta >§ ! contendo V<br />
intersectar nÖ< ß = ×<br />
em ÖV× ou numa semirecta de > de origem V.<br />
Com<br />
efeito, pela alínea b), o ponto S tem essa propriedade, pela alínea a) qualquer<br />
ponto V de < ou de = distinto de S não a verifica, por existir uma recta<br />
>§ ! contendo Vque intersectada com nÖ< ß= ×<br />
é igual a um segmento de<br />
recta, tendo V como uma das extremidades, e, pela alínea c), qualquer ponto<br />
V de nÖ< ß= × que não pertença a < nem a = também não a verifica, visto<br />
que, para qualquer recta >§ ! , com V−> , VnÖ< ß= ×<br />
não é uma semirrecta<br />
de origem V, por conter pontos menores e pontos maiores que V.<br />
O raciocínio feito atrás mostra também que os pontos de V de < = <br />
distintos de S ficam determinados pelo conjunto nÖ< ß= ×<br />
: São,<br />
nomeadamente, os pontos V−nÖ< ß= ×<br />
com a propriedade de, para<br />
alguma recta >§ ! com V−> , o conjunto >nÖ< ß= ×<br />
ser um segmento<br />
de recta com V como uma das extermidades.<br />
Por fim, as próprias semirrectas < e = que constituem o ângulo, ficam<br />
determinadas pelo conjunto nÖ< ß = ×<br />
, por se tratar das duas semirrectas de<br />
origem S que contêm algum ponto de < = distinto de S.<br />
<br />
3.7 (Ângulos adjacentes e verticalmente opostos) Sejam ! um plano e<br />
Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido em ! . Sendo < e = as rectas que<br />
contêm as semirrectas < e = , respectivamente, e sendo < e = as<br />
semirrectas opostas, chamamos ângulos adjacentes do ângulo Ö< ß = ×<br />
<strong>aos</strong><br />
ângulos Ö< ß = × e Ö< ß = ×<br />
, que têm uma semirrecta comum e a outra<br />
semirrecta oposta, e ângulo verticalmente oposto do ângulo Ö< ß = ×<br />
ao<br />
ângulo Ö< ß = × , definido pelas duas semirrectas opostas.<br />
<br />
3.8 (O plano em quatro partes) Nas condições<br />
anteriores:<br />
a) O plano ! é a união dos quatro sectores angulares nÖ< ß = × , nÖ< ß = ×<br />
,<br />
nÖ< ß = × e nÖ< ß = ×<br />
.<br />
b) A intersecção nÖ< ß = × nÖ< ß = ×<br />
dos sectores angulares correspon-<br />
dentes a ângulos adjacentes é a semirrecta comum
× nÖ> ß = ×<br />
nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ ><br />
.<br />
d) tem-se < § nÖ> ß = × e = § nÖ< ß > ×<br />
.<br />
Dem: a) Tendo em conta 3.4, tem-se mesmo VÂ< e VÂ= e daqui resulta<br />
que a recta > é distinta de < e de = . O facto de ser > œ >nÖ< ß= ×<br />
resulta<br />
da alínea b) de 3.5. Fixemos pontos T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× . Consi-<br />
deremos em < , = e > as ordens lineares para as quais S U, S T e<br />
w w w<br />
SV, respectivamente e fixemos pontos U −< , T −= e V −> tais que<br />
w w w<br />
U S, T S e V S.<br />
R'<br />
P'<br />
Q'<br />
O<br />
– 24–<br />
Q<br />
P<br />
r+<br />
R<br />
s<br />
+<br />
t +
Ûw<br />
Tendo em conta a alínea a) de 2.12 , , pelo que podemos concluir que T e U pertencem a semiplanos<br />
abertos distintos de ! de bordo > . Mais uma vez pelo mesmo resultado que<br />
Û<br />
temos vindo a aplicar, a semirrecta < œ SU está contida num dos<br />
Û<br />
semiplanos de ! de bordo > e a semirrecta = œ ST no outro semiplano de !<br />
com o mesmo bordo.<br />
ww ww<br />
b) Uma vez que T e U são elementos de = e de < ,<br />
respectivamente, que<br />
ww ww<br />
não pertencem a > , o que vimos em a) implica que T e U pertencem a<br />
ww ww<br />
semiplanos abertos de ! de bordo > distintos, pelo que ÒT ßU Ó intersecta ><br />
num ponto V . O facto os sectores angulares serem convexos implica que<br />
ww<br />
ww ww<br />
V − >nÖ< ß= × que, pela alínea b) de 3.5,<br />
uma vez que contém V Á S,<br />
Û<br />
é uma semirrecta de > de origem S, e portanto é a semirrecta SV œ > .<br />
O<br />
ww ww ww<br />
facto de se ter > ÒT ßU Ó œ ÖV × vem de que se tem mesmo<br />
ww ww ww ww ww<br />
>T U œ ÖV × por as rectas >/T U serem distintas (por exemplo,<br />
ww T Â > porque > Á = ).<br />
c) Fixemos pontos T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× . Tendo em conta b),<br />
podemos considerar W−> ÒTßUÓ. Vem WÁS (senão TßSßUeram<br />
colineares e seria uma das rectas < e = , ao<br />
contrário do que vimos em a)).<br />
O<br />
– 25–<br />
Q<br />
S<br />
P<br />
R<br />
r+<br />
s+<br />
t+
Suponhamos agora que \−nÖ< ß> ×<br />
, com \ÁS.<br />
Tem-se então que a<br />
Û w<br />
semirrecta S\ intersecta ÒUß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a<br />
intersecção das rectas S\ e UT;<br />
com efeito, isso é evidente nos casos em<br />
w w<br />
que \−< (então \ œU ) e em que \−> (então \ œW)<br />
e, caso<br />
contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem<br />
w \ −ÒUßTÓœUT nÖ< ß= × (cf. a alínea a) de 3.5)<br />
e daqui resulta que<br />
Û w<br />
\−nÖ< ß= × , uma vez que \−S\ e nÖ< ß= ×<br />
é cónico relativamente<br />
a S.<br />
Û<br />
Por simetria dos papéis de < e = , se \−nÖ= ß> ×<br />
, com \ÁS, então S\<br />
intersecta ÒT ß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a intersecção das<br />
w<br />
rectas S\ e UT , e tem-se também \ − nÖ< ß = ×<br />
.<br />
O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se \ÁS e<br />
w<br />
\−nÖ< ß> ×nÖ= ß> ×<br />
, então a intersecção \ das rectas S\ e UTé<br />
Û<br />
simultaneamente a intersecção de S\ com ÒUß WÓ e com ÒTß WÓ,<br />
sendo assim<br />
w<br />
Û<br />
\ œ W , portanto \ − SW œ > .<br />
Uma vez que S pertence a todos os sectores angulares envolvidos e à<br />
semirrecta > , o que vimos até agora mostra que nÖ< ß> × § nÖ< ß= ×<br />
,<br />
que nÖ= ß > × § nÖ< ß = × , donde<br />
<br />
nÖ< ß > × nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×<br />
<br />
e que nÖ< ß > × nÖ> ß = × § > ,<br />
e podemos dizer que se tem mesmo<br />
nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > , uma vez que > está contido nos dois sectores<br />
angulares nÖ< ß > × e nÖ> ß = ×<br />
.<br />
Resta-nos mostrar que nÖ< ß = × § nÖ< ß > × nÖ> ß = ×<br />
, para o que<br />
consideramos \−nÖ< ß= ×<br />
, que podemos já supor distinto de S.<br />
Tem-se<br />
Û w<br />
então que a semirrecta S\ intersecta ÒUß T Ó num ponto \ , que não é mais<br />
do que a intersecção das rectas S\ e UT;<br />
com efeito, isso é evidente nos<br />
w w<br />
casos em que \−< (então \ œU ) e em que \−= (então \ œT)<br />
e,<br />
caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œ<br />
w w<br />
ÒUß WÓ ÒWß T Ó , tem-se \ − ÒUß WÓ œ UW nÖ< ß > ×<br />
ou \ − ÒWß T Ó œ<br />
w w<br />
WT nÖ> ß = × , em particular \ − nÖ< ß > × ou \ − nÖ> ß = ×<br />
(cf. a<br />
alínea a) de 3.5 ) e daqui resulta que \−nÖ< ß> × ou \−nÖ> ß= ×<br />
, uma<br />
Û w<br />
vez que \−S\ e os sectores angulares são cónicos relativamente a S.<br />
d) Uma vez que a semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! tendo<br />
> como bordo e a semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o<br />
mesmo bordo e uma vez que, por 2.12 , a semirrecta = está contida no<br />
semiplano de ! de bordo > distinto do que contém a semirrecta =,<br />
segue-se<br />
que < § >=<br />
Û<br />
. Por outro lado o facto de se ter > § nÖ< ß= × § =< Û<br />
<br />
implica que =< Û œ=><br />
Û<br />
, e portanto < §=><br />
Û<br />
.<br />
Tem-se assim<br />
< § >=<br />
Û<br />
=><br />
Û<br />
œ nÖ> ß= ×<br />
e a outra inclusão resulta da simetria dos papéis de < e = .<br />
<br />
– 26–
3.10 (Corolário) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no plano ! . Seja<br />
V−nÖ< ß= × com VÂ< e VÂ= e consideremos a recta >œSV§ ! e<br />
Û<br />
a semirrecta > œ SV de > . Tem-se então que a recta > é distinta de < e = e:<br />
a) as semirrectas < e = estão contidas no mesmo semiplano de ! de bordo<br />
>.<br />
b) Se U − < Ï ÖS× , então U − nÖ= ß > × e U Â = > , e portanto<br />
<br />
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×<br />
nÖ= ß < × nÖ< ß < × œ <<br />
.<br />
P'<br />
Q'<br />
R<br />
t +<br />
O<br />
Dem: a) Aplicando a alínea a) de 3.9 às semirrectas < e = ,<br />
concluímos que<br />
a recta > é distinta das rectas < e = , que a semirrecta como bordo e a semirrecta =está<br />
contida no outro<br />
semiplano de ! com o mesmo bordo. Basta agora reparamos que, pala alínea<br />
a) de 2.12, a semirecta = está contida no semiplano de ! de bordo > distinto<br />
daquele que contém = , e portanto no mesmo que contém a semirrecta < .<br />
b) Pela conclusão de a), tem-se ><<br />
Û<br />
œ >=<br />
Û<br />
, e portanto, por ser U − ><<br />
Û<br />
,<br />
vem<br />
também U−>=<br />
Û<br />
. Por outro lado, por hipótese, V−nÖ< ß= ק=< Û<br />
,<br />
pelo<br />
que =< Û œ=><br />
Û<br />
, donde, por ser U−=< Û<br />
, vem também U−=><br />
Û<br />
.<br />
Tem-se<br />
assim U−>=<br />
Û<br />
=><br />
Û<br />
œnÖ= ß> × e o facto de ser UÂ= > vem de que<br />
UÂ= e UÂ> , por a recta < ser distinta das rectas = e > . O resto da conclusão<br />
de b) resulta agora da alínea c) de 3.9. <br />
3.11 (Relação de ordem total nas semirrectas) Seja = uma semirrecta de<br />
origem S e contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de !<br />
cujo bordo é a recta = que contém =.<br />
Fica então definida uma ordem total no<br />
conjunto das semirrectas < de origem S contidas em ! e com recta<br />
continente
£ < Í nÖ= ß> × § nÖ= ß< × Í > § nÖ= ß< × Í > § קnÖ= ß< × , então > §nÖ= ß< ×<br />
e, recipro-<br />
camente, se > § nÖ= ß< × , ou > œ < ,<br />
caso em que se tem trivialmente<br />
nÖ= ß> קnÖ= ß< × , ou > Á< e então, aplicando 3.9 depois de<br />
escolher V em > ÏÖS× , concluímos que<br />
<br />
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,<br />
em particular nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×<br />
. Ficou assim provada a segunda<br />
equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é uma<br />
consequência de que nÖ= ß < × œ § ! œ =< Û<br />
.<br />
A definição da relação £ implica trivialmente que ela é transitiva e que<br />
verifica < £ < , para cada < . Por outro lado, se > £ < e < £ > ,<br />
podemos concluir que nÖ= ß> קnÖ= ß< × e portanto, por 3.6,<br />
< œ> .<br />
Consideremos enfim < e > tais que não se tenha > £ < .<br />
Tem-se assim<br />
> § Î § § Á< (porque > § Á= (porque >Á= ). Podemos então<br />
aplicar 3.10, depois de escolher V em > ÏÖS× , para deduzir que<br />
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × ,<br />
em particular nÖ= ß< קnÖ= ß> × , ou seja, < £> . <br />
3.12 (Corolário) Nas condições<br />
anteriores, se notarmos £ a relação de ordem<br />
w<br />
total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem S quando se<br />
utiliza a semirrecta = no lugar de = , tem-se<br />
<br />
<br />
w<br />
> £ < Í < £ > <br />
(as ordens totais são opostas uma da outra).<br />
Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas = e = ,<br />
basta mostrarmos que,<br />
w se > £ < , então < £ > . Ora, isso é evidente se > œ < e caso contrário,<br />
vem > § § Î § œ < )<br />
e<br />
portanto não é > £ < , sendo assim < £ > . <br />
3.13 (Os intervalos para a relação £ ) Seja = uma semirrecta de origem S e<br />
contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de ! cujo bordo é<br />
a recta = que contém =e<br />
consideremos a correspondente ordem total<br />
definida em 3.11 no conjunto das semirrectas de origem S contidas em ! e<br />
de recta continente distinta de = . Sejam, no referido conjunto, > £ < ,<br />
com<br />
> Á < . Seja ? uma semirrecta de origem S contida em ! e de recta<br />
continente distinta de = . Tem-se então que ? § nÖ> ß< ×<br />
se, e só se,<br />
> £ ? £ < .<br />
– 28–
O<br />
Dem: Tem-se > § nÖ= ß< × , com > distinto de = e de < pelo que,<br />
tendo em conta a alínea c) de 3.9,<br />
nÖ= ß < × œ nÖ= ß > × nÖ> ß < ×<br />
nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ ><br />
.<br />
Resulta daqui que, se ? £ > e ? Á > , tem-se ? § nÖ= ß> ×<br />
e portanto<br />
? § Î nÖ> ß< × e que, se > £ ? £ < , tem-se ? § nÖ= ß< ×<br />
e, por<br />
outro lado, ? œ> ou ? §nÖ= Î ß> × , donde ? §nÖ> ß< ×<br />
. Por fim, se<br />
w<br />
< £ ? e < Á ? ,<br />
tem-se, para a ordem oposta £ que, por 312 Þ é a assow<br />
w<br />
ciada à semirrecta = , ? £ < £ > donde, como vimos atrás,<br />
? § Î nÖ< ß> × . <br />
3.14 (Os sectores angulares são “angularmente convexos”) Consideremos um<br />
ângulo Ö< ß = × de vértice S contido no plano ! e sejam > Á ? duas<br />
semirrectas de origem S contidas no sector angular nÖ< ß= × . Tem-se então<br />
– 29–<br />
u+<br />
s<br />
+<br />
nÖ> ß ? × § nÖ< ß = × .<br />
r<br />
+<br />
t+<br />
<br />
Dem: Examinemos os diferentes casos possíveis:<br />
1) Suponhamos que cada uma das semirrectas > e ? é igual a alguma das<br />
semirrectas < e = .<br />
Uma vez que, em cada caso, temos pares de semirrectas<br />
distintas, tem-se então mesmo nÖ> ß ? × œ nÖ< ß = × .<br />
O<br />
<br />
2) Suponhamos que uma das semirrectas e é igual a alguma das<br />
> ?<br />
<br />
u+<br />
s<br />
+<br />
t+<br />
r<br />
+
semirrectas < e = e a outra não é. Por simetria dos papéis de > e ? e por<br />
simetria dos papéis de < e = , podemos já supor que > œ < e que ? é<br />
distinto de < e de = . Resulta então de 3.9 que<br />
nÖ< ß = × œ nÖ< ß ? × nÖ? ß = × ,<br />
em particular, nÖ> ß ? × œ nÖ< ß ? × § nÖ< ß = ×Þ<br />
3) Suponhamos que ambas as semirrectas > e ? são distintas das<br />
semirrectas < e = . Consideremos no plano ! que contém Ö< ß= ×<br />
o<br />
semiplano ! Û<br />
œ=< e a correspondente ordem total £ associada à<br />
semirrecta = (cf. 3.11).<br />
Por simetria dos papéis das semirrectas > e ? ,<br />
podemos já supor que se tem > £ ? . Tem-se então > § nÖ= ß? ×<br />
pelo<br />
que, aplicando duas vezes 3.9,<br />
obtemos<br />
nÖ= ß < × œ nÖ= ß ? × nÖ? ß < ×<br />
œ<br />
œ nÖ= ß > × nÖ> ß ? × nÖ? ß < ×<br />
,<br />
em particular nÖ> ß ? × § nÖ< ß = × .<br />
<br />
3.15 (O plano em três partes) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no<br />
plano ! . Seja V−nÖ< ß= × com VÂ< e VÂ= e consideremos a recta<br />
Û<br />
>œSV§ ! e a semirrecta > œSV de > . Tem-se então que a recta > é<br />
distinta de < e = e:<br />
a) Escolhendo T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× , tem-se T−nÖ> ß< ×<br />
,<br />
U−nÖ= ß> × , com T e U não pertencentes a nenhuma das semirrectas < ,<br />
= e > .<br />
t+<br />
R O<br />
– 30–<br />
Q<br />
P<br />
r+<br />
s+<br />
b) A semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a<br />
semirrecta = está contida no outro semi-plano de ! com o mesmo bordo.<br />
c) Tem-se<br />
! œ nÖ< ß = × nÖ= ß > × nÖ> ß < ×<br />
,<br />
nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ = ,<br />
nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ > ,<br />
nÖ> ß < × nÖ< ß = × œ < .<br />
<br />
Dem: a) e b) O facto de a recta > ser distinta de < e = resulta de aplicar 3.9<br />
às
semirrectas < e = . Tendo em conta 3.9,<br />
para as semirrectas < e = ,<br />
a<br />
semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a<br />
semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o mesmo bordo.<br />
<strong>Da</strong>qui resulta, tendo em conta a alínea a) de 2.12 , que a semirrecta < está<br />
contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a semirrecta =e<br />
a<br />
semirrecta = está contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a<br />
semirrecta < . Em particular U−>=<br />
Û<br />
e T −><<br />
Û<br />
.<br />
Por outro lado, como<br />
V−nÖ< ß= ק § ,<br />
uma vez que, por as rectas serem distintas, T Â < e<br />
TÂ>. Analogamente (ou por simetria dos papéis) se verifica que<br />
U−nÖ= ß> × e U não pertence a nenhuma das semirrectas < , = e > .<br />
c) Aplicando 3.10 , primeiro a < e a = , e depois a < e a = ,<br />
deduzimos que<br />
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×<br />
,<br />
nÖ< ß > × œ nÖ< ß = × nÖ= ß > × ,<br />
<br />
com nÖ= ß < × nÖ< ß > × œ < e nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ = .<br />
Aplican-<br />
do 3.9 a < e a = , vem<br />
<br />
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,<br />
com nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > . Tendo agora em conta 3.8,<br />
vem<br />
! œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = ×<br />
œ<br />
œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ> ß = ×<br />
œ<br />
œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ> ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß > ל<br />
œ nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ= ß > × .<br />
Podemos agora escrever<br />
(*) nÖ= ß > × nÖ> ß < ×<br />
œ<br />
œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß > ×Ñ ÐnÖ< ß = × nÖ= ß > ×Ñ<br />
œ<br />
œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß = ×Ñ ÐnÖ= ß < × nÖ= ß > ×Ñ<br />
<br />
ÐnÖ< ß> ×nÖ< ß= ×ÑÐnÖ< ß> ×nÖ= ß> ×Ñ.<br />
<br />
Tendo em conta 3.8, tem-se nÖ= ß < × nÖ< ß = ×<br />
œ ÖS× e, aplicando 3.9<br />
a < e a = , vem nÖ< ß> ×nÖ= ß> × œ > . Tendo em conta 3.9,<br />
aplicado<br />
a < e a = , e 3.8,<br />
vem<br />
nÖ= ß < × nÖ= ß > × § nÖ= ß < × nÖ< ß = × œ < ,<br />
onde nÖ= ß > × < § nÖ= ß > × nÖ< ß > × œ > ,<br />
o que, por ser<br />
< > œ ÖS× , implica que nÖ= ß < × nÖ= ß > ×<br />
œ ÖS× . Analogamente (ou<br />
por simetria dos papéis de < e = ), nÖ< ß > × nÖ< ß = ×<br />
œ ÖS× . <strong>Da</strong><br />
igualdade (*) acima deduzimos assim que nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ > .<br />
As<br />
outras igualdades na alínea c) do enunciado, envolvendo intersecções,<br />
– 31–
esultam da simetria dos papéis de < , = e > ,<br />
tendo em conta o que vimos<br />
em a). <br />
3.16 (Nova noção primitiva) Supomos dada uma aplicação<br />
do conjunto dos<br />
ângulos no conjunto Ó!ß#Ò§ ‘ , que a cada ângulo Ö< ß= ×<br />
associa um<br />
número real do intervalo Ó!ß #Ò, chamado amplitude do ângulo e notado<br />
8<br />
.( Ö< ß = × ). Dizemos que dois ângulos são congruentes quando têm a<br />
mesma amplitude.<br />
3.17 (Axiomas angulares)<br />
a) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de origem S e ! um dos<br />
semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém < .<br />
Para cada ) − Ó!ß #Ò,<br />
existe uma, e uma só, semirrecta = de ! , de origem S e com recta = distinta<br />
de < , tal que = § ! e que . ÐÖ< ß = ×Ñ œ ) .<br />
<br />
s +<br />
s' +<br />
O<br />
b) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S dum plano ! e seja > uma<br />
semirrecta de origem S contida no sector angular nÖ< ß= × e distinta de < <br />
e de =.<br />
Tem-se então que<br />
O<br />
θ<br />
θ' θ+θ'<br />
8 A escolha do intervalo tem algo de arbitário e corresponde, intuitivamente, a dizer<br />
Ó!ß #Ò<br />
que estamos a tomar o ângulo recto como unidade de medida.<br />
– 32–<br />
3/2<br />
3/2<br />
r<br />
+<br />
α<br />
α<br />
+<br />
-<br />
s+<br />
t<br />
+<br />
r<br />
+
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñ,<br />
em particular . ÐÖ< ß > ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ e . ÐÖ> ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ.<br />
<br />
3.18 (Ordem e amplitude) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de<br />
origem S e ! um dos semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém<br />
< . Sejam = e > duas semirrectas de ! de origem S,<br />
ambas contidas em ! <br />
e cujas rectas associadas = e > são ambas diferentes de < . Tem-se então que<br />
> § nÖ< ß= × (ou seja, > £ = ,<br />
para a relação de ordem definida em 3.11,<br />
a partir da semirrecta < ) se, e só se, . ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ . ÐÖ< ß = ×Ñ.<br />
Dem: O axioma b) em 3.17 garante que, se > § nÖ< ß= × e > Á = ,<br />
então<br />
. ÐÖ< ß> ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ (tem-se > Á < uma vez que, por hipótese,<br />
>Á< ). Por outro lado, se > œ= , tem-se, evidentemente, . ÐÖ< ß> ×Ñœ<br />
.ÐÖ< ß = ×Ñ . Resta-nos mostrar que, supondo > § Î nÖ< ß = ×<br />
, tem-se<br />
. ÐÖ< ß> ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ.<br />
Ora isso resulta do que vimos no início, uma vez<br />
que, não sendo > £ = , tem-se, por 3.11, = £ > e = Á > .<br />
<br />
3.19 (Teorema dos ângulos adjacentes) <strong>Da</strong>dos dois ângulos adjacentes<br />
Ö< ß = × e Ö< ß = ×<br />
, de origem S e contidos no plano ! , tem-se<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ # .<br />
Dem: Seja ! o semiplano de ! de bordo < que contém = e notemos £ a<br />
relação de ordem total definida em 3.11 , a partir da semirecta e ? de origem S,<br />
contidas em ! e de<br />
rectas associadas distintas de < , tais que . ÐÖ< ß > ×Ñ œ & e . ÐÖ< ß ? ×Ñ<br />
œ<br />
#&.<br />
u+<br />
r-<br />
– 33–<br />
s+<br />
t+<br />
O r<br />
+<br />
Tendo em conta 318 Þ , tem-se > £ = £ ? , com > distinto de = e = <br />
distinto de ? , em particular > §nÖ< ß= × e = §nÖ< ß? ×<br />
e, tendo em<br />
conta 3.13, = § nÖ> ß? ×<br />
. Vem, para a ordem total oposta, que, por 3.12,<br />
w w<br />
é a definida pela semirrecta < , ? £ = £ > , portanto ? § nÖ< ß= × e
? § nÖ< ß> × , em que ? além de ser distinto de = e de > ,<br />
é também<br />
distinto de < (por ter recta associada distinta de < ). Podemos assim aplicar o<br />
axioma b) em 3.17 para garantir que<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñœ& . ÐÖ> ß = ×Ñ,<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß ? ×Ñ. ÐÖ? ß = ×Ñ,<br />
. ÐÖ< ß > ×Ñœ. ÐÖ< ß ? ×Ñ. ÐÖ? ß > ×Ñ,<br />
# & œ . ÐÖ< ß ? ×Ñ<br />
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß ? ×Ñ,<br />
. ÐÖ> ß? ×Ñ œ . ÐÖ> ß= ×Ñ. ÐÖ= ß? ×Ñ.<br />
<br />
Resulta daqui que<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ? ß= ×Ñ<br />
œ #&<br />
e, por outro lado,<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñœ<br />
œ& . ÐÖ> ß= ×Ñ. ÐÖ< ß? ×Ñ. ÐÖ? ß= ×Ñœ<br />
œ & . ÐÖ> ß ? ×Ñ. ÐÖ< ß ? ×Ñœ<br />
œ & . ÐÖ< ß> ×Ñ Ÿ #&<br />
.<br />
<strong>Da</strong>s desigualdades<br />
# & Ÿ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ<br />
Ÿ # &<br />
e da arbitrariedade de & deduzimos finalmente que<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ # . <br />
3.20 (Corolário) Dois ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.<br />
Dem: Sendo Ö< ß = × e Ö< ß = ×<br />
os ângulos verticalmente opostos, eles vão<br />
ser ambos adjacentes do ângulo Ö< ß = × pelo que, pelo axioma b) em 3.17,<br />
tem-se<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ<br />
œ #<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ #<br />
,<br />
o que implica que . ÐÖ< ß= ×Ñ œ . ÐÖ< ß= ×Ñ. <br />
3.21 (O ângulo recto) <strong>Da</strong>do um ângulo Ö< ß = × de vértice S num plano !,<br />
diz-se que ele é recto se .ÐÖ< ß = ×Ñœ<br />
" , que ele é agudo se<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñ " e que ele é obtuso se . ÐÖ< ß = ×Ñ<br />
"Þ<br />
3.22 <strong>Da</strong>dos dois ângulos adjacentes Ö< ß = × e Ö< ß = ×<br />
, tem-se que eles são<br />
congruentes se, e só se, Ö< ß = × (e portanto Ö< ß = ×<br />
) é recto. Caso<br />
contrário, um é agudo e o outro é obtuso.<br />
Dem: Trata-de de uma consequência imediata da igualdade<br />
Ö< ß = × Ö< ß = × œ # . <br />
– 34–
3.23 Sejam < e = duas rectas concorrentes. Sendo œSV§ ! e a semirrecta > œSV de > . Tem-se então que a recta > é<br />
distinta de < e = e<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß > ×Ñ. ÐÖ> ß < ×Ñ œ % .<br />
Dem: Tem-se > § nÖ< ß= × œ ß = × œ >=<br />
Û<br />
=><br />
Û<br />
e = § nÖ< ß > ×<br />
œ<br />
<br />
Û<br />
><<br />
Û<br />
,<br />
com as rectas todas distintas.<br />
t+<br />
R O<br />
– 35–<br />
Q<br />
P<br />
r+<br />
s+<br />
Deduzimos daqui, lembrando 2.12 , que > § =<br />
Û<br />
=><br />
Û<br />
œnÖ> ß= × e que = §<br />
Û<br />
><<br />
Û<br />
œnÖ< ß> ×<br />
. Tendo em<br />
conta o axioma b) em 3.17,<br />
podemos escrever<br />
. ÐÖ< ß > ×Ñœ. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß > ×Ñ,<br />
. ÐÖ= ß> ×Ñ œ . ÐÖ= ß< ×Ñ. ÐÖ< ß> ×Ñ,<br />
. ÐÖ= ß < ×Ñ œ . ÐÖ= ß > ×Ñ . ÐÖ> ß < ×Ñ.<br />
<br />
Tendo em conta 3.19,<br />
tem-se<br />
# œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñ,<br />
# œ . ÐÖ= ß < ×Ñ . ÐÖ= ß < ×Ñ,<br />
e daqui resulta que
% œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß < ×Ñ. ÐÖ= ß < ×Ñœ<br />
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ= ß < ×Ñ . ÐÖ= ß > ×Ñ . ÐÖ> ß < ×Ñ<br />
œ<br />
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß > ×Ñ . ÐÖ=<br />
ß> ×Ñ,<br />
como queríamos. <br />
4. Triângulos.<br />
4.1 Vamos chamar triângulo a um triplo ordenado ÐEßFßGÑ de pontos de X,<br />
constituindo um conjunto não colinear (em particular todos distintos).<br />
Chamamos plano continente do triângulo ao único plano ! que contém os<br />
três pontos, vértices do triângulo <strong>aos</strong> pontos Eß Fß G,<br />
lados do triângulo <strong>aos</strong><br />
pares ÐEßFÑ, ÐFßGÑ e ÐGßEÑ, ou <strong>aos</strong> segmentos de recta ÒEßFÓ, ÒFßGÓ e<br />
ÒGß EÓ, contidos no plano continente ! , e ângulos (ou ângulos internos)<br />
do<br />
triângulo <strong>aos</strong> ângulos<br />
w Û Û w Û Û w Û Û<br />
FEG œ ÖEFß EG× , EFG œ ÖFEßFG× , FGE œ ÖGFß GE× ,<br />
todos contidos no plano continente ! , e que, quando o triângulo estiver<br />
w w w<br />
implícito serão notados mais simplesmente por E , F e G , respectivamente.<br />
4.2 <strong>Da</strong>do um triângulo ÐEßFßGÑ, a intersecção<br />
dos seus sectores angulares<br />
w w w Û Û Û<br />
nE , nF e nG coincide com a intersecção dos semiplanos G ,<br />
onde < œ FG , = œ EG e > œ EF.<br />
A estas intersecções damos o nome de<br />
segmento triangular associado a ÐEßFßGÑe notamo-lo ÒEßFßGÓ.<br />
Este conjunto, também contido em !, admite também as “caracterizações<br />
mistas”:<br />
w Û<br />
ÒEßFßGÓœnE GÞ<br />
t<br />
A<br />
r<br />
C<br />
– 36–<br />
s<br />
B
Dem: Trata-se de uma consequência de se ter<br />
w Û Û<br />
nE œ >G =F ,<br />
w Û Û<br />
nF œ >G
nenhum dos lados.<br />
Dem: Tendo em conta 4.4, tem-se H −ÒEßFßGÓ§nFEG.<br />
Pela alínea b)<br />
w<br />
w w<br />
de 3.5 tem-se que ?nE œ?nFEGé uma semirrecta de origem E<br />
que, por conter o ponto H, tem que ser a semirrecta EH. Por outro lado, uma<br />
Û<br />
vez que as rectas ? e < são distintas, por < não conter E (senão = œ > ), elas<br />
Û<br />
são concorrentes com intersecção ÖH× pelo que, por 2.12,<br />
? œEF,<br />
visto que, por 4.5 , =ÒEßFßGÓœÒEßGÓ e >ÒEßFßGÓœÒEßFÓ.<br />
Uma vez<br />
Û Û<br />
que \−nÖEGßEF× , deduzimos da alínea b) de 3.9 que ? intersecta o<br />
segmento ÒFß GÓ num ponto H que terá que ser distinto de F e de G , por ?<br />
ser distinta de = e de > . Mais uma vez por 4.5, \ − ?ÒEßFßGÓœÒEßHÓ.<br />
4.7 (O triângulo é o envólucro convexo dos seus vértices) Sejam V § X um<br />
conjunto convexo e Eß Fß G − V não colineares. Tem-se então<br />
ÒEßFßGÓ§V.<br />
Dem: Por definição de convexidade tem-se ÒEß FÓ § V, ÒFß GÓ § V<br />
e<br />
s<br />
B
ÒGßEÓ§ V. Resta-nos verificar o que se passa com um ponto \ −ÒEßFßGÓ<br />
que não pertence a nenhum dos lados do triângulo. Ora, por 4.6,<br />
existe<br />
H−ÒFßGÓ tal que \−ÒEßHÓpelo<br />
que, por convexidade, tem-se<br />
sucessivamente H− V e \−V.<br />
<br />
4.8 (De um ponto interior para os três vértices) Sejam ÐEßFßGÑum<br />
triângulo<br />
e \ −ÒEßFßGÓ,<br />
que não pertença a nenhum dos lados do triângulo.<br />
Û Û Û<br />
Consideremos as semirrectas ? œ \E, @ œ \F e A œ \G,<br />
de origem<br />
\ , e notemos ? , @ e A<br />
as semirectas opostas. Tem-se então que as rectas<br />
continentes ? , @ e A são todas distintas e<br />
? § nÖ@ßA × , @ § nÖAß ? × , A § nÖ? ß@ ×<br />
.<br />
Dem: Para ver que as três rectas são distintas, basta, por simetria dos papéis<br />
dos três pontos, mostrar que @ÁA. Ora, se fosse @œA , vinha \−FG,<br />
donde \ − FG ÒEßFß GÓ œ ÒFß GÓ (cf. 4.5),<br />
contra o que suposéramos.<br />
Do mesmo modo, por simetria dos papéis dos três pontos, basta provarmos a<br />
inclusão ? § nÖ@ ßA × .<br />
t<br />
<br />
u+<br />
A<br />
r<br />
C<br />
– 39–<br />
w<br />
+<br />
X D<br />
Tendo em conta 4.6 , a recta ?œE\ intersecta ÒFßGÓnum ponto H,<br />
distinto<br />
de F e G , e tem-se \ − ÒEßHÓ , com \ distinto de E e de H.<br />
Uma vez que<br />
Fß G − nÖ@ßA × e que um sector angular de vértice \ é convexo e cónico<br />
relativamente a \ , concluímos que<br />
Û<br />
? œ \H § nÖ@ßA × œ @A Û<br />
A@ Û<br />
<br />
e portanto, por 2.12,<br />
? § @A Û A@ Û<br />
œ nÖ@ßA ×<br />
. <br />
s<br />
B<br />
v+
4.9 (Rectas que passam por um ponto interior) Sejam ÐEßFßGÑum<br />
triângulo<br />
e \ −ÒEßFßGÓ , que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Sejam !<br />
o plano que contém Eß Fß G e B uma recta tal que \ − B § ! . Tem-se então:<br />
a) Se E−B, então Bintersecta ÒFßGÓnum ponto distinto de Fe de G;<br />
b) Se F−B, então Bintersecta ÒGßEÓnum ponto distinto de Ge de E;<br />
c) Se G−B, então Bintersecta ÒEßFÓnum ponto distinto de Ee de F;<br />
d) Se nenhum dos pontos Eß Fß G pertence a B, então B intersecta dois, e só<br />
dois, dos três lados ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e ÒEß FÓ.<br />
t<br />
u+<br />
A<br />
r<br />
C<br />
– 40–<br />
w<br />
+<br />
X D<br />
Dem: A conclusão de a) está contida em 4.6 e as conclusões de b) e c)<br />
resultam de a) por simetria dos papéis dos vértices. Suponhamos que se<br />
verifica a hipótese em d) e utilizemos 4.8,<br />
assim como as respectivas notações.<br />
Sendo Buma das semirrectas de B de origem \ , a alínea c) de 3.15<br />
garante-nos que se verifica uma das três condições B § nÖ@ßA ×<br />
,<br />
B § nÖAß? × e B § nÖ? ß@ ×<br />
e concluímos então, da alínea b) de 3.9<br />
que B, e portanto B,<br />
intersecta um dos três segmentos ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e<br />
ÒEß FÓ. O facto de B intersectar então dois, e só dois, destes segmentos já foi<br />
provado no teorema de Pasch ( 2.17). <br />
4.10 (O segmento triangular determina o conjunto dos vértices) Seja<br />
ÐEßFßGÑ um triângulo e seja ! o único plano que contém o segmento<br />
triangular ÒEßFßGÓ (o único que contém os três vértices) . Tem-se então:<br />
a) Existe uma recta ?§ ! tal que ?ÒEßFßGÓœÖE× .<br />
b) Qualquer que seja \ −ÒEßFßGÓ, distinto de E, de F e de G,<br />
e qualquer<br />
que seja a recta ? com \ −? , ?ÒEßFßGÓtem<br />
mais que um elemento.<br />
Em particular, se dois triângulos têm o mesmo sector triangular, então têm o<br />
mesmo conjunto de vértices.<br />
Û Û<br />
Dem: a) Notando EF œ < e EG œ = escolhamos V − nÖ< ß = ×<br />
tal que<br />
VÂ< e VÂ= (por exemplo, por 3.4 e pela alínea a) de 3.5).<br />
Sendo<br />
Û<br />
? œ EF , vem ? distinta de < e de = e ? § nÖ< ß= × œ
?nÖ< ß= לÖE× , e portanto também ?ÒEßFßGÓœÖE× .<br />
b1) Suponhamos que \ pertence a um dos lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ mas<br />
não coincide com nenhum dos vértices Eß Fß G.<br />
Suponhamos, para fixar<br />
ideias, que \−ÒEßFÓ , e seja ?§ ! uma recta com \−? . Se algum dos<br />
vértices EßFßG pertence a ? , então ?ÒEßFßGÓ , contendo \ e esse<br />
vértice, tem mais que um elemento. Caso contrário, o teorema de Pasch (cf.<br />
2.17) garante que ? intersecta algum dos lados ÒFßGÓ ou ÒGßEÓ e portanto,<br />
mais uma vez, ?ÒEßFßGÓtem<br />
mais que um elemento.<br />
b2) Suponhamos que \ −ÒEßFßGÓ mas \ não pertence a nenhum dos<br />
lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ . Se ? é uma recta de ! com \ − ? , a recta ?<br />
está nas condições de alguma das alíneas a) a d) de 4.9,<br />
em qualquer caso<br />
?ÒEßFßGÓ tem mais que um elemento. <br />
4.11 (Triângulos congruentes) Diz-se que dois triângulos ÐEßFßGÑ e<br />
w w w w w w<br />
ÐE ßFßG Ñ são congruentes,<br />
e escreve-se ÐEßFßGѸÐEßFßG Ñ,<br />
se os<br />
w w<br />
lados e os ângulos “homólogos” são congruentes, isto é, se lEFl œ lE ß F l,<br />
w w w w w w w w<br />
lFGl œ lF ß G l, lGEl œ lG E lß . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e<br />
w w . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.<br />
C<br />
B<br />
A<br />
A'<br />
4.12 (Nota trivial de utilização frequente) Se ÐEßEßEÑ " # $ e ÐEßEßEÑ<br />
" # $ e<br />
w w w<br />
uma permutação de Ö"ß #ß $× , então ÐE" ß E# ß E$ Ñ e ÐE" ß E# ß E$ Ñ são con-<br />
w w w<br />
gruentes se, e só se, ÐE5Ð"Ñ ßE5Ð#Ñ ßE5Ð$Ñ Ñ e ÐE5Ð"Ñ ßE5Ð#Ñ ßE5Ð$ÑÑ são<br />
congruentes.<br />
w w w<br />
4.13 (O Axioma LAL) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que<br />
w w w w w w<br />
lEFl œ lE F l, lEGl œ lE G l e . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ (dois lados e o ângulo por<br />
eles formado). Tem-se então que os triângulos são congruentes, isto é, tem-se<br />
w w w w w w<br />
também lFGl œ lF G l, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.<br />
w w w w<br />
4.14 (Lema L AL) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que<br />
w w w w w w<br />
lEFl lE F l, lEGl œ lE G l e . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ.<br />
Tem-se então<br />
w w . ÐG Ñ . ÐG Ñ.<br />
B'<br />
– 41–<br />
C'<br />
w w w 5 é
C<br />
B<br />
B'<br />
A'<br />
A<br />
ww ww w w Dem: Seja F − ÒEß FÓ tal que lEF l œ lE F l (cf. a alínea d) de 1.19).<br />
C<br />
B<br />
B"<br />
B'<br />
A'<br />
A<br />
ww ww<br />
Pelo mesmo resultado, tem-se F Á F e F Á E. Uma vez que EßFßG são<br />
não colineares, G não pertence à recta EF œ EF , o que mostra que<br />
ww<br />
Eß F G ww também são não colineares. Tendo em conta a convexidade dos<br />
ww Û Û<br />
ww<br />
sectores angulares, tem-se F − nÖGEßGF× , com F não pertencente às<br />
Û Û<br />
semirrectas GE e GF (por EßFßG não serem colineares). Uma vez que os<br />
sectores angulares são cónicos relativamente ao seu vértice, resulta assim do<br />
Û Û Û Ûww<br />
axioma b) em 3.17 que . ÐÖGEßGF×Ñ . ÐÖGEßGF ×Ñ.<br />
Mas o axioma<br />
ww w w w<br />
LAL (cf. 4.13) garante que os triângulos ÐEßF ßGÑ e ÐEßFßG Ñ são<br />
concgruentes, e portanto, em particular<br />
w Û Ûww Û Û w<br />
. ÐG Ñœ. ÐÖGEßGF ×Ñ. ÐÖGEßGF×Ñœ. ÐGÑ <br />
4.15 (Teorema ALA) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que<br />
w w w w w w<br />
lEGl œ lE G l, . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ (um lado e os dois<br />
ângulos adjacentes). Tem-se então que os dois triângulos são congruentes.<br />
Dem: Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13),<br />
o resultado ficará provado<br />
w w<br />
se verificarmos que lEFl œ lE F l.<br />
Ora, se isso não acontecesse, ou<br />
w w w w<br />
lEFl lE F l ou lEFl lE F l e, nesse caso, ter-se-ia respectivamente,<br />
– 42–<br />
w w w<br />
C'<br />
C'
w w w w<br />
tendo em conta o lema 4.14 , . ÐG Ñ . ÐG Ñ ou . ÐG Ñ . ÐG Ñ,<br />
w w contrariando a hipótese . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.<br />
<br />
4.16 (Corolário) Se ÐEßFßGÑé um triângulo, tem-se lEFlœlGFl se, e só se,<br />
w w<br />
. ÐE Ñ œ . ÐG Ñ (dois lados são congruentes se, e só se, os ângulos opostos o<br />
forem).<br />
Dem: Se lEFl œ lGFl, resulta do axioma LAL que os triângulos ÐEßFß GÑ<br />
w w<br />
e ÐGßFßEÑsão congruentes, em particular . ÐE Ñœ . ÐG Ñ.<br />
Reciprocamente,<br />
w w<br />
se . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ, resulta do teorema ALA que os triângulos ÐEß Fß GÑ e<br />
ÐGßFßEÑsão congruentes, em particular lEFlœlGFl.<br />
<br />
4.17 (Defnição) Um triângulo ÐEßFßGÑ diz-se isósceles em F se verifica as<br />
duas condições equivalentes no corolário precedente. Ele diz-se equilátero se<br />
for isósceles nos três vértices, isto é, se verifica qualquer das seguintes<br />
w w w<br />
propriedades equivalentes: lEFl œ lFGl œ lGEl, . ÐE Ñ œ . ÐF Ñ œ . ÐG Ñ.<br />
Ele diz-se escaleno se não for isósceles em nenhum dos vértices.<br />
4.18 <strong>Da</strong>do um triângulo ÐEßFßGÑ, chamam-se ângulos externos ao ângulos<br />
w w w<br />
adjacentes a cada um dos ângulos E , F e G .<br />
Existem assim seis ângulos externos, dois correspondentes a cada vértice e os<br />
ângulos externos correspondentes a um mesmo vértice são verticalmente<br />
opostos, em particular com a mesma amplitude. Aliás, tendo em conta 3.19,<br />
a<br />
amplitude dos ângulos externos de vértice, por exemplo E é #. ÐE Ñ.<br />
w<br />
4.19 (Teorema pobre do ângulo externo) Seja ÐEßFßGÑum<br />
triângulo. Tem-se<br />
então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior que . w<br />
ÐE Ñ<br />
e que . (os ângulos internos não adjacentes).<br />
w<br />
ÐF Ñ<br />
Dem: Por simetria dos papéis dos vértices, basta mostrarmos que a amplitude<br />
dos ângulos externos de vértice G é maior que . e, tendo em conta a<br />
w<br />
ÐF Ñ<br />
igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de vértice G,<br />
podemos<br />
considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF e pela semirrecta<br />
Û<br />
oposta à semirrecta GE.<br />
Û<br />
A<br />
B<br />
C<br />
A<br />
– 43–<br />
B<br />
M<br />
C<br />
D
Seja Q−ÒFßGÓo ponto médio do par ÐFßGÑ(cf. 1.26)<br />
e consideremos na<br />
Û<br />
semirrecta EQ o ponto H definido pela condição de se ter lEHl œ #lEQl<br />
(cf. a alínea d) de 1.19), ponto para o qual se tem então Q−ÒEßHÓe<br />
portanto, por 1.25, lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.<br />
Û Û Û Û<br />
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente<br />
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL<br />
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEßQßFÑ e ÐHßQßGÑ são<br />
congruentes, e portanto que<br />
w Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐF Ñ œ . ÐÖFEß FG×Ñ œ . ÐÖFEß FQ×Ñ œ . ÐÖGHß GQ×Ñ.<br />
Û<br />
Notemos , a recta EG , , œ GE e , a semirrecta oposta. Notemos + a<br />
Û<br />
recta FG e + œ GF. O ângulo externo considerado é assim Ö+ ß , ×<br />
. Uma<br />
Û Û Û Û<br />
vez que Q−,+ , vem EQ§,+ , em particular H−,+ e tem-se HÂ, ,<br />
uma vez que, por ser QÂ, , EQ,œÖE× . Por outro lado, por ser<br />
Û Û<br />
E−+Eœ+, e EÂ+ , H vai pertencer ao semiplano oposto, portanto<br />
Û Û Û<br />
H−+, e HÂ+ . Tem-se assim H−,+ +, œnÖ+ ß, ×<br />
. Podemos<br />
agora aplicar o axioma b) em 3.17 para garantir que<br />
w Û Û Û<br />
. ÐF Ñœ . ÐÖGHßGQ×Ñœ. ÐÖGHß+ ×Ñ. ÐÖ+ ß, ×Ñ.<br />
<br />
w w<br />
4.20 (Corolário) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Então . ÐF Ñ . ÐG Ñ #.<br />
Dem: Pelo resultado precedente, . é menor que a amplitude dos ângulos<br />
w<br />
ÐF Ñ<br />
externos de vértice G , as quais são iguais a #. ÐG Ñ.<br />
w<br />
<br />
4.21 (Lema) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Existe então um triângulo<br />
w w w w w w w w w<br />
ÐE ßF ßG Ñ tal que . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ œ . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ e<br />
w " w<br />
. ÐE Ñ Ÿ # . ÐE Ñ.<br />
Dem: Como na demonstração de 4.19, seja Q−ÒFßGÓo<br />
ponto médio do<br />
Û<br />
par ÐFß GÑ e consideremos na semirrecta EQ o ponto H definido pela<br />
condição de se ter lEHl œ #lEQl,<br />
ponto para o qual se tem então<br />
Q − ÒEß HÓ e portanto lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.<br />
A<br />
B<br />
M<br />
Û Û Û<br />
Û<br />
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente<br />
C<br />
– 44–<br />
D
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL<br />
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEßQßFÑ e ÐHßQßGÑ são<br />
congruentes, e portanto que<br />
w Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐFÑœ. ÐÖFEßFG×Ñœ. ÐÖFEßFQ×Ñœ. ÐÖGHßGQ×Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û w<br />
. ÐÖEFßEQ×Ñœ. ÐÖHGßHQ×Ñœ. ÐÖHGßHE×Ñœ. ÐHÑ. Tendo em conta a convexidade dos sectores angulares, tem-se<br />
Û Û Û Û<br />
Q−nÖEFßEG× e Q−nÖGEßGH× e Q não pertence a nenhuma das<br />
rectas EF, EG e GH pelo que, aplicando o axioma b) em 3.17,<br />
w Û Û Û Û w Û Û<br />
. ÐE Ñ œ . ÐÖEFß EQ×Ñ . ÐÖEQß EG×Ñ œ . ÐH Ñ . ÐÖEHß EG×Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û w w<br />
. ÐÖGEßGH×Ñœ . ÐÖGEßGQ×Ñ . ÐÖGHßGQ×Ñ œ . ÐG Ñ . ÐF Ñ.<br />
w " w<br />
<strong>Da</strong> primeira igualdade resulta que ou . ÐH Ñ # . ÐE Ñ ou<br />
Û Û " w<br />
. ÐÖEQß EG×Ñ # . ÐE Ñ.<br />
Além disso, obtemos<br />
w w w w Û Û Û Û<br />
. ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñœ. ÐHÑ. ÐÖEHßEG×Ñ. ÐÖGEßGH×Ñ,<br />
w w w<br />
pelo que basta tomarmos para ÐE ßFßG Ñ no primeiro caso o triângulo<br />
ÐHßGßEÑe no segundo caso o triângulo ÐEßGßHÑ.<br />
<br />
4.22 (A soma dos ângulos internos pobre) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.<br />
w w w<br />
Tem-se então . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ Ÿ 2.<br />
Dem: Suponhamos que isso não acontecia. Tinha-se então, para um certo<br />
w w w<br />
$ ! , . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ # $ . Tendo em conta o lema<br />
precedente, podemos construir recursivamente triângulos ÐE8ßF8ßG8 Ñ,<br />
com<br />
ÐE" ßF" ßG" ÑœÐEßFßGÑ,<br />
w w w<br />
. ÐE8Ñ. ÐF8Ñ. ÐG8Ñœ # $<br />
w " w w<br />
e . ÐE8ÑŸ# . ÐE Ñ 8 . ÐE8Ñ$ 8 . Podemos assim escolher tal que , donde<br />
w w w w w<br />
#$ œ . ÐE8Ñ. ÐF8Ñ. ÐG8Ñ . ÐF8Ñ. ÐG8 Ñ$<br />
,<br />
w w<br />
portanto . ÐF8Ñ. ÐG8Ñ # , o que é absurdo, tendo em conta o corolário<br />
4.20. <br />
4.23 (Corolário) Se ÐEßFßGÑ é um triângulo, então pelo menos dois dos<br />
w w w<br />
ângulos internos E , F e G são agudos.<br />
Dem: Se isso não acontecesse, dois dos ângulos tinham amplitude maior ou<br />
igual a " , pelo que a soma das suas duas amplitudes seria maior ou igual a # e<br />
portanto a soma das três amplitudes seria maior que # .<br />
<br />
4.24 (Teorema melhorado do ângulo externo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.<br />
Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior ou<br />
w w<br />
igual a . ÐE Ñ . ÐF Ñ (a soma dos ângulos internos não adjacentes).<br />
– 45–
w w w<br />
Dem: Tendo em conta 4.22 , tem-se . ÐE Ñ . ÐF Ñ Ÿ # . ÐG Ñ pelo que<br />
tudo o que temos que reparar é que #. ÐGÑ é precisamente a amplitude<br />
w<br />
dos ângulos externos de vértice G. <br />
4.25 (Maior lado e maior ângulo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então<br />
w w<br />
que lEFl lEGl se, e só se, . ÐG Ñ . ÐF Ñ (a um lado maior opõe-se um<br />
ângulo maior e reciprocamente).<br />
Dem: Suponhamos que lEFl lEGl. Tendo em conta a alínea d) de 1.19,<br />
podemos considerar H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F, tal que lEFl œ lEGl.<br />
B<br />
D<br />
Considerando agora o triângulo ÐEßHßGÑ, resulta de 4.16 que<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.<br />
Û Û Û Û<br />
Uma vez que HE e HF são semirrectas opostas de origem H, ÖHEß HG× é<br />
um dos ângulos externos de vértice H do triângulo ÐFßHßGÑ, resulta de 4.19<br />
que<br />
w Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐF Ñ œ . ÐÖFHß FG×Ñ . ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.<br />
Por outro lado, a convexidade dos sectores angulares garante que<br />
Û Û<br />
H−nÖGEßGF× e portanto, como Fnão pertence às rectas GFe GEe<br />
os<br />
sectores angulares são cónicos relativamente ao respectivo vértice,<br />
concluímos do axioma b) em 3.17 que<br />
Û Û Û Û w<br />
. ÐÖGEß GH×Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐG Ñ,<br />
w w<br />
pelo que temos efectivamente . ÐF Ñ . ÐG Ñ.<br />
w w<br />
Suponhamos, reciprocamente, que . ÐF Ñ . ÐG Ñ.<br />
Então não pode ser<br />
lEFl lEGl, porque então, aplicando o anterior ao triângulo ÐEß Gß FÑ,<br />
w w<br />
vinha . ÐG Ñ . ÐF Ñ, nem pode ser lEFl œ lEGl, porque então, por 4.16,<br />
w w<br />
vinha . ÐG Ñ œ . ÐF Ñ. Concluímos assim que lEFl lEGl. <br />
A<br />
– 46–<br />
C
4.26 (A perpendicular a uma recta num dos seus pontos) Sejam ! um plano,<br />
œ = , e portanto > œ = .<br />
<br />
4.27 (Um primeiro lugar geométrico) Sejam ! um plano e EÁF em ! .<br />
Tem-se então que o conjunto dos pontos \−! tais que l\Elœl\Flé<br />
a<br />
recta = do plano ! perpendicular a < œ EF que contém o ponto médio Q do<br />
par ÐEß FÑ (cf. 1.26).<br />
Dem: Comecemos por lembrar que, como se viu em 1.26, Q é o único ponto<br />
de \ − < tal que l\El œ l\Fl e que Q − ÒEß FÓ . Suponhamos agora \ − =<br />
é tal que \ÁQ , e portanto \Â< .<br />
X<br />
A B<br />
M<br />
Podemos então considerar os triângulos ÐEßQß\Ñ e ÐFßQß\Ñ,<br />
para os<br />
Û Û Û Û<br />
quais se tem . ÐÖQEßQ\×Ñœ " œ . ÐÖQ\ßQF×Ñ, lQElœ lQFl e<br />
lQ\l œ lQ\l pelo que, pelo axioma LAL,<br />
aqueles triângulos são<br />
congruentes, e portanto l\El œ l\Fl.<br />
Suponhamos, reciprocamente, que \− ! é tal que \ÁQe l\Elœl\Fl,<br />
e portanto \Â< . Podemos então aplicar 4.16 ao triângulo ÐEßFß\Ñpara<br />
garantir que<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖEQßE\×Ñœ. ÐÖEFßE\×Ñœ. ÐÖFEßF\×Ñœ. ÐÖFQßF\×Ñ<br />
– 47–<br />
r
e daqui deduzimos, pelo axioma LAL, que os triângulos ÐEßQß\Ñ e<br />
Û Û Û Û<br />
ÐFß Qß \Ñ são congruentes, e portanto . ÐÖQEß Q\×Ñ œ . ÐÖQ\ß QF×Ñ.<br />
Û Û Û Û<br />
Uma vez que ÖQEßQ\× e ÖQ\ßQF× são ângulos adjacentes, e portanto<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖQEßQ\×Ñ. ÐÖQ\ßQF×Ñœ # , segue-se que . ÐÖQEßQ\×Ñœ " ,<br />
e portanto Q\ é a recta = , em particular \ − = .<br />
<br />
4.28 (Perpendicular por um ponto exterior) Sejam < uma recta e \ Â < .<br />
Existe então um, e um só, ponto E−< tal que a recta \Eseja<br />
perpendicular<br />
à recta < (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para < ).<br />
Dem: Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos que existiam<br />
E Á F em < tais que as rectas \E e \F fossem ambas perpendiculares a < .<br />
w w<br />
Considerando o triângulo ÐEß\ßFÑ, vinha assim . ÐE Ñœ . ÐF Ñœ" , em<br />
particular, a amplitude dos ângulos externos em F também era " , o que<br />
contrariava o facto de essa amplitude dever ser maior que " , por 4.19.<br />
Passemos agora à prova da existência.<br />
O<br />
Seja ! o plano que contém < e \ e fixemos um ponto S − < , podendo já<br />
supor-se que a recta \S não é perpendicular a < , sem o que se tomava<br />
EœS . Seja < uma das semirrectas de < de origem S.<br />
Tendo em conta o<br />
axioma a) em 3.17 , notando ! o semiplano de ! de bordo < que contém \ e<br />
! o semiplano oposto, existe uma semirrecta = de origem S,<br />
contida em<br />
!, com =Á< , tal que<br />
. . Û<br />
ÐÖ= ß < ×Ñœ ÐÖS\ß < ×Ñ.<br />
Tendo em conta a alínea d) em 1.19 , podemos considerar ]−=tal<br />
que<br />
lS\l œ lS] l . Uma vez que \ß ] não pertencem a < e estão em semiplanos<br />
Û Û<br />
opostos de ! com bordo < , existe E − Ò\ß ] Ó < . Vem que E\ e E] são<br />
semirrectas opostas da recta \] e daqui resulta, em particular, que E Á S,<br />
Û Û<br />
sem o que ÖS\ß< × e ÖS]ß< × œ Ö= ß< ×<br />
eram ângulos adjacentes com a<br />
mesma amplitude, portanto de amplitude " , contrariando a hipótese de \S<br />
não ser perpendicular a < . Podemos agora considerar os triângulos ÐSßEß\Ñ<br />
– 48–<br />
X<br />
A<br />
Y<br />
s +<br />
r
e ÐSßEß]Ñ, para os quais se tem lS\lœlS]le lSElœlSEle<br />
os ângulos<br />
Û Û Û Û<br />
ÖS\ß SE× e ÖS] ß SE× têm a mesma amplitude, uma vez que eles são<br />
Û Û Û<br />
ÖS\ß< × e ÖS]ß< × œ Ö= ß< × , se SE œ < ,<br />
ou adjacentes destes<br />
Û<br />
ângulos, se SE œ < .<br />
Podemos assim aplicar o axioma LAL para garantir<br />
que os triângulos ÐSßEß\Ñe ÐSßEß]Ñ são congruentes, e portanto que os<br />
Û Û Û Û<br />
ângulos ÖE\ß ES× e ÖE] ß ES× , têm a mesma amplitude. Uma vez que<br />
estes ângulos são adjacentes, e portanto com a soma das amplitudes igual a # ,<br />
concluímos que . , e portanto a recta é perpendicular à<br />
Û Û<br />
ÐÖE\ß ES×Ñ œ " \E<br />
recta < .<br />
<br />
4.29 (O pé está próximo) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da<br />
perpendicular de \ para < . Para cada F − < , com F Á E,<br />
tem-se então<br />
l\Fl l\El (o pé da perpendicular é o ponto de < mais próximo de \ ).<br />
Dem: Considerando o triângulo Ð\ßFßEÑ , o facto de \Eser<br />
perpendicular<br />
w w<br />
a
O facto de se ter lEFl lEGl com F e G na mesma semirrecta de origem<br />
E, implica, pela alínea d) de 1.19,<br />
que G − ÒEßFÓ, com G diferente de E e<br />
Û Û<br />
de F. Aplicando 4.23 ao triângulo ÐEßGß\Ñ, onde . ( ÖEG, E\×Ñ œ " ,<br />
concluímos que . ( , e portanto, para o ângulo adjacente,<br />
Û Û<br />
ÖGE G\×Ñ "<br />
. Û Û<br />
( ÖGF, G\×Ñ " . Mais uma vez por 4.23,<br />
aplicado agora ao triângulo<br />
Û Û<br />
Û Û<br />
ÐGßFß\Ñ, concluímos que . ( ÖFG, F\×Ñ". ( ÖGFG\×Ñ , e daqui<br />
deduzimos, por 4.25, que l\Fl l\Gl,<br />
como queríamos.<br />
Aplicando o que acabamos de mostrar com os papéis de F e G trocados<br />
vemos que, se lEFl lEGl, então l\Fl l\Gl.<br />
Uma das coisas estabelecidas atrás diz-nos que, se lEFl lEGl,<br />
então<br />
l\Fl l\Gl. Reciprocamente, se l\Fl l\Gl,<br />
não pode ser<br />
lEFl lEGl, sem o que l\Fl l\Gl, nem lEFl œ lEGl,<br />
sem o que<br />
l\Fl œ l\Gl, e portanto tem que ser lEFl lEGl.<br />
Do mesmo modo, se l\Fl œ l\Gl, não pode ser lEFl lEGl,<br />
sem o que<br />
l\Fl l\Gl, nem pode ser lEFl lEGl, sem o que l\Fl l\Gl,<br />
e<br />
portanto lEFl œ lEGl. <br />
4.32 (Onde está o pé) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da perpendicular<br />
de \ para < . <strong>Da</strong>do S − < , com S Á E , existe uma, e uma só, semirrecta <<br />
Û<br />
de < de origem S tal que o ângulo ÖS\ß< × seja agudo e tem-se então<br />
E−
dois triângulos são congruentes.<br />
C<br />
A B<br />
– 51–<br />
C'<br />
A' B'<br />
Dem: Tendo em conta 4.23,<br />
podemos já supor, se necessario fazendo uma<br />
w w<br />
mesma permutação nos vértices dos triângulos, que os ângulos E e F são<br />
ambos agudos. Sejam ! o plano que contém os pontos Eß Fß G, ! o<br />
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ! o outro semiplano de !<br />
com o mesmo bordo. Tendo em conta o axioma a) em 3.17,<br />
podemos<br />
considerar a única semirrecta = de ! de origem E , com = Á EF,<br />
tal que<br />
Û Ûw w Ûw<br />
w . ÐÖEFß = ×Ñ<br />
œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ.<br />
Tendo em conta a propriedade d) em<br />
ww<br />
1.19, podemos considerar o único ponto G − = tal que<br />
ww w w lEG l œ lE G l œ lEGl.<br />
C<br />
A B<br />
C" s+<br />
C'<br />
A' B'<br />
Aplicando o axioma LAL,<br />
podemos agora concluir que os triângulos<br />
ww w w w<br />
ÐEßFßG Ñ e ÐE ßFßG Ñ são congruentes, em particular que se tem também<br />
ww w w ww<br />
lFG l œ lF G l œ lFGl. Uma vez que G e G são pontos distintos do plano<br />
! (por estarem em semiplanos distintos de bordo EF e não pertencerem a<br />
esta recta), o facto de tanto F como E serem equidistantes de G e Gww implica, por 4.27, que a recta EF é a perpendicular à recta GG que passa<br />
ww<br />
ww<br />
pelo ponto médio Q do par ÐGßG Ñ. Em particular Q é o pé da<br />
perpendicular de G para a recta EF e portanto, pelo facto de os ângulos E e<br />
w
w<br />
F serem agudos e tendo em conta 4.33,<br />
Q − ÒEßFÓ e Q é distinto de E e<br />
de F.<br />
Tendo em conta o facto de os sectores angulares serem convexos e<br />
Û Ûww cónicos relativamente <strong>aos</strong> respectivos vértices, concluímos que GQ œ GG<br />
Û Û<br />
está contida no sector angular nÖGEß GF× , sendo distinta das respectivas<br />
Ûww Ûww<br />
semirrectas bordo, e que G Q œ G G está contida no sector angular<br />
Ûww Û ww nÖG Eß G F× , sendo distinta das respectivas semirrectas bordo.<br />
C<br />
A B<br />
M<br />
C" s+<br />
– 52–<br />
C'<br />
A' B'<br />
Pelo axioma b) em 3.17,<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖGEßGF×Ñœ . ÐÖGEßGQ×Ñ . ÐÖGQßGF×Ñ,<br />
Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww<br />
. ÐÖG Eß G F×Ñ œ . ÐÖG Eß G Q×Ñ . ÐÖG Qß G F×Ñ.<br />
ww ww<br />
Resulta de 4.16 que os triângulos ÐEßGßG Ñ e ÐFßGßG Ñ são isósceles em<br />
E e F,<br />
respectivamente, e portanto que<br />
Û Û Û Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww<br />
. ÐÖGEßGQ×Ñœ. ÐÖGEßGG ×Ñœ. ÐÖG EßG G×Ñœ. ÐÖG EßG Q×Ñ<br />
Û Û Û Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww<br />
. ÐÖGFßGQ×Ñœ. ÐÖGFßGG ×Ñœ. ÐÖG FßG G×Ñœ. ÐÖG FßG Q×Ñ<br />
C<br />
A B<br />
M<br />
C" s+<br />
C'<br />
A' B'
Û Û Ûww Ûww<br />
e portanto . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐÖG Eß G F×Ñ.<br />
Mais uma vez pelo axioma<br />
LAL, vemos agora que o triângulo ÐEßFßGÑ é congruente ao triângulo<br />
ww w w w<br />
ÐEßFßG Ñ, e portanto também ao triângulo ÐEßFßG Ñ.<br />
<br />
w w w<br />
4.35 (O teorema LAA) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que<br />
w w w w w w<br />
lEFl œ lE F l, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.<br />
Tem-se então que os<br />
dois triângulos são congruentes. 9<br />
C<br />
A B<br />
– 53–<br />
C'<br />
A' B'<br />
Dem: Tendo em conta o teorema ALA (cf. 4.15),<br />
o resultado ficará provado<br />
w w<br />
se verificarmos que lFGl œ lF G l.<br />
Suponhamos que isso não acontecia. Se<br />
w w<br />
necessário trocando o papel dos triângulos, tinha-se assim lFGl lF G l<br />
w w<br />
pelo que, tendo em conta a alínea d) de 1.19, podemos escolher H−ÒFßGÓ,<br />
w w w<br />
com H diferente de F e de G , tal que lFGl œ lF Hl.<br />
C<br />
A B<br />
C'<br />
D<br />
A' B'<br />
w w<br />
Tendo em conta o axioma LAL, os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßHÑ são<br />
congruentes, em particular<br />
Û w Û w Û Û Ûw w Ûw<br />
w<br />
. ÐÖHE ß HF ×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐÖG E ß G F ×Ñ.<br />
Û w Û w<br />
Mas isto é absurdo, tendo em conta 4.19, uma vez que ÖHE ß HF × é um dos<br />
w w<br />
ângulos externos de vértice H do triângulo ÐEßHßG Ñ,<br />
que tem o ângulo<br />
Ûw w Ûw w Ûw w Û w<br />
ÖG E ß G F × œ ÖG E ß G H× como um dos ângulos internos. <br />
9É claro que, se conhecêssemos o resultado que diz que a soma dos ângulo internos de<br />
qualquer triângulo é igual a # , este resultado podia ser deduzido simplesmente da igualw<br />
w<br />
dade . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ, tendo em conta o teorema ALAÞ
4.36 (Nota) Repare-se que não devemos esperar a existência de um teorema<br />
w w w<br />
LLA, isto é, não é verdade que dados dois triângulos ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ<br />
w w w w w w<br />
tais que lEGl œ lE G l, lFGl œ lF G l e . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ,<br />
os triângulos<br />
tenham que ser congruentes. Um contraexemplo pode ser o sugerido na figura<br />
a seguir.<br />
C<br />
A B<br />
Há, no entanto, casos particulares em que esta conclusão pode ser tirada.<br />
Limitamos-nos a examinar em seguida um desses casos particulares de<br />
utilização mais frequente.<br />
4.37 (Num triângulo rectângulo, aumentando os catetos, aumenta a hipote-<br />
w w w w w<br />
nusa) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñdois triângulos tais que lEFllEFl,<br />
w w w w<br />
w w<br />
lFGlŸlFGle . ÐFÑœ. ÐFÑœ" . Então lEGllEGl.<br />
C<br />
– 54–<br />
C'<br />
A'<br />
C'<br />
1 1<br />
A B A' B'<br />
Dem: Consideremos na semirrecta FG um ponto G tal que lFG l œ lF G l<br />
Û ww ww w w<br />
e na semirrecta FE um ponto E tal que lFE l œ lF E l.<br />
A"<br />
A<br />
1<br />
B'<br />
Û ww ww w w<br />
C=C"<br />
B<br />
A"<br />
A<br />
1<br />
C"<br />
C<br />
B
w w w ww ww<br />
Pelo axioma LAL, os triângulos ÐEßFG Ñ e ÐE ßFßG Ñ são congruentes,<br />
w w ww ww<br />
em particular lE G l œ lE G l.<br />
w w ww ww<br />
No caso em que lFGlœlFGlvem GœG e, uma vez que E−ÒEßFÓ, ww ww ww ww w w<br />
com EÁE , resulta de 4.31 que lEGllEGlœlEG lœlEGl.<br />
w w ww ww<br />
No caso em que lFGl lF G l, tem-se E − ÒE ß FÓ e G − ÒG ß FÓ,<br />
com<br />
ww ww<br />
EÁE e GÁG , pelo que, aplicando duas vezes 4.31,<br />
obtemos também<br />
ww ww ww w w<br />
lEGl lE Gl lE G l œ lE G l.<br />
<br />
4.38 (Corolário — Caso de congruência de triângulos rectângulos) Sejam<br />
w w w w w<br />
ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG<br />
Ñ dois triângulos tais que lEGlœlEGl, w w w w<br />
lFGlœlFGle . ÐFÑœ. ÐFÑœ" . Tem-se então que estes triângulos são<br />
congruentes.<br />
A<br />
1<br />
w w<br />
C<br />
B<br />
Dem: Tem que ser lEFl œ lE F l visto que, pelo resultado precedente, se<br />
w w w w w w<br />
fosse lEFl lE F l, vinha lEGl lE G l, e, se fosse lEFl lE F l,<br />
vinha<br />
w w lEGl lE G l.O<br />
resultado é agora uma consequência do teorema LLL (cf.<br />
4.34). <br />
4.39 (Desigualdade triangular estrita) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se<br />
então que<br />
– 55–<br />
A'<br />
lEFl lEGl lGFl<br />
(qualquer lado 10 é menor que a soma dos outros dois).<br />
Dem: Podemos já supor que lEFl é maior que lEGl e lGFl,<br />
sem o que a<br />
desigualdade é trivial (uma das parcelas do segundo membro seria maior ou<br />
igual a lEFl e a outra seria maior que ! ). Podemos então considerar um<br />
ponto H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F, tal que lHFl œ lGFl.<br />
Û Û Û Û<br />
Tendo em conta 4.16 , tem-se . ÐÖGHß GF×Ñ œ . ÐÖHGß HF×Ñ,<br />
em<br />
Û Û Û Û<br />
particular, por 4.23 , . ÐÖHGß HF×Ñ " . Uma vez que ÖHGß HE× é<br />
Û Û<br />
adjacente de ÖHGß HF× , e portanto a soma das respectivas amplitudes é # ,<br />
segue-se que . .<br />
Û Û<br />
ÐÖHGß HE×Ñ "<br />
10 Reparar que podemos aplicar o resultado a qualquer triângulo que se obtenha por<br />
permutação dos vértices.<br />
1<br />
C'<br />
B'
A B<br />
D<br />
Mais uma vez por 4.23,<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖGHß GE×Ñ " . ÐÖHGß HE×Ñ,<br />
pelo que deduzimos de 4.25 que lEGl lEHl,<br />
donde, finalmente,<br />
lEFl œ lEHl lHFl œ lEHl lGFl lEGl lGFl. <br />
4.41 (Desigualdade triangular geral) Sejam Eß Fß G pontos arbitrários. Tem-se<br />
então sempre<br />
lEFl Ÿ lEGl lGFl,<br />
vindo lEFl œ lEGl lGFl se, e só se, G − ÒEß FÓ. 11<br />
Dem: No caso em que EœF,<br />
o resultado é trivial, uma vez que o primeiro<br />
membro é ! e o segundo é maior que 0, salvo no caso em que G œ E e<br />
GœF , caso em que esse segundo membro é também ! . No caso em que os<br />
três pontos são não colineares, eles definem um triângulo, pelo que temos<br />
uma consequência do resultado precedente, uma vez que não se pode ter<br />
evidentemente G−ÒEßFÓ. No caso em que EÁFmas<br />
os três pontos são<br />
colineares, temos uma consequência de 1.25.<br />
4.42 (Corolário) As diferentes funções<br />
distância .−Y definem métricas no<br />
conjunto X dos pontos do espaço, todas elas conformemente equivalentes<br />
entre si, e portanto definindo uma mesmo topologia de X (a topologia<br />
canónica de X).<br />
4.43 (Um segundo lugar geométrico) Sejam ! um plano e < e = duas semirrectas<br />
de origem S , com rectas associadas distintas < e = , e consideremos o<br />
sector angular corrrespondente nÖ< ß = ×<br />
. Tem-se então que o conjunto dos<br />
pontos \−nÖ< ß= × tais que l\ <br />
de ! de origem S , nomeadamente a única semirrecta > de ! de origem S,<br />
contida no semiplano Á < para a qual se tem<br />
<br />
11 Lembrar que, se , define-se , embora este conjunto não seja consi-<br />
E œ F ÒEß FÓ œ ÖE×<br />
derado um segmento de recta.<br />
– 56–<br />
C
"<br />
. ÐÖ< ß> ×Ñ œ . ÐÖ< ß= ×Ñ.<br />
#<br />
Dizemos que > é a bissectriz do ângulo Ö< ß= ×<br />
.<br />
Dem: A existência e unicidade de uma semirrecta > nas condições do<br />
enunciado é uma consequência do axioma a) em 3.17, resultando de 3.18 que<br />
se tem > § nÖ< ß= × e, evidentemente, > diferente de < e de = .<br />
Observemos também que, pelo axioma b) em 3.17,<br />
tem-se<br />
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñ,<br />
donde também<br />
"<br />
. ÐÖ> ß = ×Ñœ . ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ,<br />
#<br />
em particular . ÐÖ> ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ<br />
" .<br />
Suponhamos que \−> .<br />
Se \œS, tem-se l\ ß = ×Ñ œ . ÐÖ< ß > ×Ñ œ . ÐÖSEß S\×Ñ<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖFSß F\×Ñ œ " œ . ÐÖESß E\×Ñß<br />
– 57–<br />
A<br />
X<br />
r<br />
+<br />
,<br />
deduzimos do teorema LAA (cf. 4.35) que os triângulos ÐSß\ßFÑ e<br />
ÐSß\ßEÑ são congruentes, em particular<br />
l\
e = , respectivamente.<br />
O nosso primeiro problema é mostrar que, como antes, tem-se forçosamente<br />
E−< ÏÖS× e F−= ÏÖS× . Suponhamos que isso não acontecia, por<br />
exemplo que F−=.<br />
s +<br />
O<br />
B<br />
Y<br />
s -<br />
X<br />
A r<br />
+<br />
Uma vez que \−
Û Û<br />
. ÐÖ< ß= ×Ñ œ . ÐÖ< ßS\×Ñ. ÐÖ= ßS\×Ñ<br />
,<br />
Û "<br />
concluímos que . ÐÖ< ßS\×Ñ œ # . ÐÖ< ß = ×Ñ œ . ÐÖ< ß > ×Ñ<br />
donde, pelo<br />
Û<br />
axioma a) em 3.17, S\ œ > , portanto \ − > , como queríamos.<br />
<br />
4.43 (Euclides I-21) Sejam ÐEßFßGÑ um triângulo e \ −ÒEßFßGÓ tal que<br />
\ÁE e \ÂÒFßGÓ.<br />
Tem-se então<br />
l\Fl l\Gl lEFl lEGl,<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖ\Fß \G×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ.<br />
Dem: a) Comecemos por examinar o caso especial em que \ pertence a um<br />
dos segmentos ÒEß FÓ ou ÒEß GÓ , podendo já supor-se que \ − ÒEß FÓ,<br />
se<br />
necessário substituindo o triângulo ÐEßFßGÑ pelo triângulo ÐEßGßFÑ.<br />
Tendo em conta a desigualde triangular em 4.39,<br />
vem<br />
l\Fl l\Gl l\Fl lE\l lEGl œ lEFl lEGl<br />
A<br />
X<br />
B<br />
Û Û<br />
e, tendo em conta o facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de<br />
vértice \ do triângulo ÐEßGß\Ñ, deduzimos de 4.19 que<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖ\Fß\G×Ñ. ÐÖE\ßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG×Ñ.<br />
b) Passemos ao caso em que \ não pertence a nenhum dos segmentos ÒEßFÓ<br />
e ÒEß GÓ.<br />
A<br />
Y<br />
B<br />
Tendo em conta 4.6, a recta G\ intersecta o lado ÒEßFÓ num ponto ]<br />
distinto de E e de F e vem \ − ÒGß]Ó , com \ distinto de G e de ]<br />
.<br />
X<br />
– 59–<br />
C<br />
C
Aplicando o que já verificámos em a), ao ponto ] , vemos que, pela<br />
desigualdade triangular,<br />
l\Fl l\Gl l\] l l] Fl l\Gl œ l] Gl l] Fl lEFl lEGl<br />
Û Û<br />
e que, pelo facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de vértice \ do<br />
triângulo Ð]ßFß\Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖ\Fß\G×Ñ. ÐÖ]\ß]F×Ñœ. ÐÖ]Gß]F×Ñ. ÐÖEFßEG×Ñ,<br />
como queríamos. <br />
4.45 (Euclides I-24 — Quem abre as pernas, mesmo se coxo, afasta os pés)<br />
ww ww ww ww ww<br />
Sejam ÐEßFßGÑ e ÐE ßF ßG Ñ dois triângulos tais que lEFlœlEF l,<br />
ww ww Û Û Ûww ww Ûww<br />
ww<br />
lEGl œ lE G l e . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖE F ß E G ×Ñ.<br />
Tem-se então<br />
ww ww lFGl lF G l.<br />
Dem: Consideremos no semiplano de bordo EG que contém F uma<br />
semirrecta < de origem E , com recta < distinta de EG,<br />
tal que<br />
<br />
Û Ûww ww Ûww<br />
ww Û Û<br />
. ÐÖ< ß EG×Ñ œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ<br />
<br />
(cf. o axioma a) em 3.17) e, nessa semirrecta, um ponto F tal que lEF l œ<br />
ww ww w<br />
lE F l œ lEFl. Pelo axioma LAL (cf. 4.13),<br />
os triângulos ÐEß F ß GÑ e<br />
ww ww ww w ww ww<br />
ÐE ßF ßG Ñsão congruentes, em particular lFGlœlF G l.<br />
Û w Û Û<br />
w<br />
Tendo em conta 3.18, tem-se EF § nÖEFß EG× , com a recta EF distinta<br />
da recta EF, além de como já dissémos, distinta da recta EG.<br />
Examinemos<br />
agora o que se passa em cada uma das três possibilidades sobre a posição de<br />
Fw , ilustradas nas figuras seguintes.<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B'<br />
B<br />
C<br />
– 60–<br />
A<br />
B'<br />
B<br />
B'<br />
X<br />
C<br />
w w<br />
C
w a) F pertence à recta FG.<br />
Tendo em conta a alínea b) de 3.9,<br />
tem-se<br />
w w w<br />
F − ÒFß GÓ, com F distinto de F e de G, donde lF Gl lFGl,<br />
portanto<br />
ww ww w lF G l œ lF Gl lFGl.<br />
w b) F não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta<br />
como bordo, oposto àquele que contém E. Neste caso o segmento ÒEßF Ó w<br />
intersecta a recta FG num ponto \ que, pela alínea b) de 3.9,<br />
pertence a<br />
ÒFß GÓ e é distinto de F e de G.<br />
Tendo em conta o facto de os sectores<br />
angulares serem convexos e cónicos relativamente <strong>aos</strong> respectivos vértices,<br />
Û Û Û Ûw Û Ûw<br />
Concluímos que F\ œ FG § nÖFEßFF × , sendo distinta de FE e FF , e<br />
Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw<br />
que F\œFE§nÖFFßFG× , sendo distinta de FF e FG,<br />
de onde<br />
resulta, tendo em conta o axioma b) em 3.17,<br />
que<br />
Ûw Û Ûw<br />
Û<br />
. ÐÖFF ß FG×Ñ . ÐÖFF ß FE×Ñ<br />
Ûw Ûw Ûw Ûw<br />
. ÐÖF Fß F E×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ<br />
w e portanto, uma vez que, por ser lEF l œ lEFl,<br />
tem-se, tendo em conta 4.16,<br />
Ûw Û Ûw Ûw<br />
. ÐÖFFßFE×Ñœ. ÐÖFFßFE×Ñ,<br />
deduzimos que<br />
Ûw Û Ûw Ûw<br />
. ÐÖFF ß FG×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ.<br />
– 61–<br />
ww ww w<br />
Aplicando enfim 4.25, deduzimos que lF G l œ lF Gl lFGl,<br />
também<br />
neste caso.<br />
w c) F não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta<br />
como bordo, que contém E. Por outras palavras, F pertence ao segmento<br />
w<br />
triangular ÒEßFßGÓ e não pertence a nenhum dos lados do triângulo<br />
ÐEßFßGÑ. Tendo em conta 4.8 e 3.24,<br />
tem-se<br />
Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw<br />
. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFGßFE×Ñœ%<br />
e daqui resulta, uma vez que a amplitude de um ângulo é sempre menor que<br />
#, que<br />
Ûw Ûw Ûw Ûw<br />
. ÐÖF Eß F F×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ # .<br />
Por outro lado, pelo axioma b) em 3.17,<br />
tem-se<br />
Û Ûw Ûw Û Û Û<br />
. ÐÖFEßFF ×Ñ . ÐÖFF ß FG×Ñ œ . ÐÖFEßFG×Ñ #<br />
e portanto<br />
Û Ûw Ûw Û Ûw Ûw Ûw Ûw<br />
. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ.<br />
w Û Ûw Ûw Ûw<br />
Uma vez que lEF l œ lEFl, donde, . ÐÖFEß FF ×Ñ œ . ÐÖF Eß F F×Ñ,<br />
por<br />
Ûw Û Ûw Ûw<br />
4.16, deduzimos que . ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñe<br />
portanto, por 4.25,<br />
ww ww w lF G l œ lF Gl lFGl,<br />
também neste caso.
Vamos agora utilizar resultados sobre a geometria do triângulo para obter<br />
um resultado cuja natureza ultrapassa o âmbito da <strong>Geometria</strong> Plana,<br />
nomeadamente a possibilidade de definir o ângulo de dois semiplanos<br />
com a mesma recta como bordo. Começamos com um lema ainda da <strong>Geometria</strong><br />
Plana.<br />
4.46 (Lema) Sejam ! um plano,
4.47 Sejam < uma recta e ! e " dois semiplanos de bordo < , cujos planos<br />
continentes ! e " sejam distintos. Sejam TßU −< com T Á U , sejam = e<br />
> a semirrectas de ! contidas em ! ,<br />
de origens T e U respectivamente,<br />
cujas rectas continentes = e > são ortogonais a < (cf. 4.26 e 2.12) e sejam ? e<br />
@ a semirrectas de " contidas em " ,<br />
de origens T e U respectivamente,<br />
cujas rectas continentes ? e @ são ortogonais a < . Tem-se então<br />
. ÐÖ= ß ? ×Ñœ. ÐÖ> ß@ ×Ñ.<br />
Dem: Fixemos pontos arbirários E−= , com EÁT , e \−? ,<br />
com<br />
\ÁT . Consideremos as semirrectas > e @ de origem U opostas de > e<br />
@, que estão assim contidas nos semiplanos ! e " , opostos de ! e de<br />
", e sejam F − > e ] − @ tais que lUFl œ lT El e lU] l œ lT \l.<br />
Tendo<br />
em conta 4.46, o ponto médio Q do par ÐTßUÑ é simultaneamente o ponto<br />
médio dos pares ÐEß FÑ e Ð\ß ] Ñ.<br />
Û Û Û Û<br />
Uma vez que os ângulos ÖQ\ßQE× e ÖQ]ßQF× são verticalmente<br />
Û Û Û Û<br />
opostos, tem-se . ÐÖQ\ßQE×Ñœ . ÐÖQ]ßQF×Ñ. De se ter lQElœ lQFl e lQ\l œ lQ] l deduzimos assim, do axioma 4.13,<br />
que os triângulos<br />
ÐQßEß\Ñ e ÐQßFß]Ñ são congruentes, e portanto lE\lœlF]l.<br />
Pelo<br />
teorema LLL ( 4.34), os triângulos ÐEßTß\Ñ e ÐFßUß]Ñ<br />
são congruentes.<br />
– 63–
Û Û<br />
Resulta daqui, reparando que os ângulos ÖUFß U] × e Ö> ß@ ×<br />
são<br />
verticalmente opostos, que<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖ= ß? ×Ñœ. ÐÖTEßT\×Ñœ. ÐÖUFßU]×Ñœ. ÐÖ> ß@ ×Ñ<br />
,<br />
como queríamos. <br />
4.48 Nas condições precedentes, define-se a amplitude do ângulo dos dois<br />
semiplanos ! e " , notada . ÐÖ! ß " ×Ñ, como sendo o valor . ÐÖ= ß ? ×Ñ<br />
correspondente à escolha de um ponto arbitrário T de < e das<br />
correspondentes semirrectas = e ? ,<br />
valor esse que o resultado precedente<br />
garante não depender de T .<br />
5. Isometrias e Aplicações.<br />
5.1 Seja V § X um conjunto. Diz-se que uma aplicação FÀV Ä X é isométrica<br />
se, quaisquer que sejam Eß F − V, lFÐEÑFÐFÑl œ lEFl.<br />
5.2 Se FÀVÄ X é uma aplicação isométrica, então Fé<br />
injectiva e, sendo<br />
"<br />
W œ FÐVÑ, F ÀW Ä X também é uma aplicação isométrica.<br />
Dem: Se FÐEÑ œ FÐFÑ, vem lEFl œ lFÐEÑFÐFÑl œ ! , donde E œ F.<br />
Para<br />
" " " " GßH − W, vem lF ÐGÑF ÐHÑlœ lFÐF ÐGÑÑFÐF ÐHÑÑlœlGHl. <br />
w w<br />
5.3 Se FÀVÄ X é uma aplicação isométrica e V§ V, então 0ÎVÀVÄ Xé<br />
w<br />
trivialmente também uma aplicação isométrica.<br />
5.4 (Aplicações isométricas numa recta) Seja
tem-se F−ÒEß\Óportanto<br />
lFÐEÑFÐ\Ñl œ lEß \l œ lEFl lF\l œ lFÐEÑFÐFÑllFÐFÑFÐ\Ñl donde FÐFÑ − ÒFÐEÑFÐ\ÑÓ, em particular FÐ\Ñ<br />
− = . Em qualquer dos<br />
casos tem-se portanto FÐ\Ñ − = .<br />
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo FÐ
1) Comecemos por mostrar que se tem F! Ð Ñ § " , ou seja, que, se \ − ! ,<br />
então F Ð\Ñ − " . Isso é trivial no caso em que \ − < . Vejamos o que sucede<br />
se \−! Ï< . Tem-se então que o segmento ÒEß\Ó intersecta < num ponto<br />
T, em particular a recta ET contém o ponto \ e portanto, mais uma vez por<br />
5.4, FÐET Ñ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ.<br />
Mas, uma vez que<br />
FÐET Ñ contém os pontos distintos FÐEÑ e F ÐT Ñ em " , ela está contida em<br />
" , em particular F Ð\Ñ − " . Resta-nos examinar o que se passa no caso em<br />
que \−! Ï< . Para isso, tomamos F−! Ï< e, uma vez que já sabemos<br />
que F ÐFÑ − " , repetimos o raciocínio anterior: O segmento ÒFß \Ó intersecta<br />
< num ponto U, em particular a recta FU contém o ponto \ e portanto<br />
FÐFUÑ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ<br />
e que contém os pontos<br />
distintos FÐFÑ e F ÐUÑ em " , pelo que está contida em " , em particular<br />
F Ð\Ñ − " .<br />
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo F! Ð Ñ œ " , isto é, que, para cada<br />
]− " , existe \−! tal que FÐ\Ñœ]<br />
. Isso é trivial no caso em que ]<br />
pertence à recta =œF Ð
Dem: FÐ
5.12 (A inversão relativamente a um ponto) Seja S−X um ponto fixado.<br />
Definimos então uma aplicação 38@SÀ X Ä X,<br />
a que daremos o nome de<br />
inversão relativamente a S, do seguinte modo: 38@SÐSÑ œ S;<br />
para cada<br />
Û<br />
T ÁS , consideramos a recta Ñ estão em semirrectas opostas de < de origem S e são tais que<br />
" " "<br />
.Ð0 Ð>ÑßSÑ œ .Ð0 Ð>Ñß0 Ð!ÑÑ œ l> !l œ l> !l œ<br />
" " "<br />
œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ .Ð0 Ð>Ñß SÑ,<br />
" "<br />
o que mostra que 38@SÐ0 Ð>ÑÑ œ 0 Ð>Ñ,<br />
igualdade que é trivialmente<br />
também verificada para >œ! . Vem então<br />
" "<br />
0Ð38@SÐTÑÑœ0Ð38@SÐ0Ð0ÐTÑÑÑÑœ0Ð0 Ð0ÐTÑÑÑœ0ÐTÑ e, do mesmo modo 0Ð38@SÐUÑÑœ0ÐUÑ, portanto<br />
.Ð38@SÐTÑß38@SÐUÑÑ œ l0Ð38@SÐTÑÑ0Ð38@SÐUÑÑl œ<br />
œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ .ÐT ß UÑ,<br />
o que implica que l38@SÐT Ñ 38@SÐUÑl œ lT Ul.<br />
3) Examinemos enfim o caso em que Sß T ß U são não colineares e portanto<br />
as rectas < œ ST e = œ SU são distintas. Por construção, os ângulos<br />
Û Û Û Û<br />
ÖST ß SU× e ÖS38@SÐTÑßS38@SÐUÑ× são verticalmente opostos, e portanto<br />
com a mesma amplitude e tem-se lS 38@SÐTÑlœlST l e lS 38@SÐUÑl œ<br />
lSUl pelo que, pelo axioma 4.13, os triângulos ÐSß 38@SÐT Ñß 38@SÐUÑÑ e<br />
ÐSßTßUÑ são congruentes, o que implica, também neste caso, que se tem<br />
l38@SÐT Ñ 38@S ÐUÑl œ lT Ul.<br />
<br />
– 68–<br />
S
5.14 (A inversão relativamente a uma recta) Seja
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ l38@TÐEÑ 38@T ÐFÑl œ lEFl.<br />
4) Examinemos enfim o caso que nos falta, aquele em que EÂ< e FÂ<<br />
têm pés da perpendicular T e U sobre a recta < , com T Á U. Notemos E œ w<br />
w<br />
38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ, F o ponto, de entre F e 38@< ÐFÑ œ 38@UÐFÑ, que está<br />
ww<br />
no mesmo semiplano ! de ! com bordo < que E e F o outro daqueles dois<br />
pontos.<br />
w w ww<br />
Reparemos que as rectas EE e F F não se intersectam, tendo em conta a<br />
afirmação de unicidade da definição do pé da perpendicular em 4.28,<br />
e daqui<br />
w w ww<br />
resulta que E e E pertencem ao mesmo semiplano de ! de bordo F F que<br />
Û Ûw w Û Ûww<br />
T, e portanto que E−nÖUTßUF× e E −nÖUTßUF × .<br />
Tendo em conta o axioma b) em 3.17,<br />
tem-se assim<br />
– 70–
Û Ûw Û Û Û Ûw<br />
" œ . ÐÖUT ß UF ×Ñ œ . ÐÖUT ß UE×Ñ . ÐÖUEß UF ×Ñ,<br />
Û Ûww Û ÛwÛwÛww " œ . ÐÖUT ß UF ×Ñ œ . ÐÖUT ß UE ×Ñ . ÐÖUE ß UF ×Ñ.<br />
Uma vez que, pelo axioma LAL (cf. 4.13) os triângulos ÐTßUßEÑ e<br />
w w<br />
ÐTßUßEÑ são congruentes, sabemos que lEUlœlEUl e que<br />
Û Û Û Û w . ÐÖUT ß UE×Ñ œ . ÐÖUT ß UE ×Ñ e desta última igualdade e das igualdades<br />
Û Ûw Ûw Ûww<br />
acima destacadas resulta que . ÐÖUEß UF ×Ñ œ . ÐÖUE ß UF ×Ñ.<br />
Aplicando<br />
w w ww<br />
de novo o axioma LAL, deduzimos agora que lEF l œ lE F l.<br />
Pelo teorema<br />
LLL (cf. 4.34) podemos agora garantir que os triângulos ÐEßUßFÑ e w<br />
w ww ÐEßUßF Ñsão<br />
congruentes, o que implica que<br />
Ûw Ûw ww Ûw Ûw Ûww w Ûww Ûww w Ûww<br />
w<br />
. ÐÖF Eß F F ×Ñ œ . ÐÖF Eß F U×Ñ œ . ÐÖF E ß F U×Ñ œ . ÐÖF E ß F F ×Ñ.<br />
Mais uma vez o axioma LAL implica agora que os triângulos ÐFßF ßEÑe<br />
ww w w ww w w<br />
ÐF ßFßEÑ são congruentes, e portanto que lEFlœlEFl. As duas<br />
w w ww ww w w<br />
igualdades lEF l œ lE F l e lEF l œ lE F l mostram-nos finalmente que,<br />
w ww ww<br />
quer se tenha FœF, e portanto 38@ÐFÑœF < , ou FœF , e portanto<br />
w 38@< ÐFÑ œ F , tem-se sempre<br />
w<br />
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl.<br />
<br />
< < <<br />
– 71–<br />
w ww<br />
5.16 ( 38@< é isometria) Nas condições<br />
de 5.14, a aplicação 38@< À X Ä X é uma<br />
isometria involutiva, isto é, verifica 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E, para cada E − X,<br />
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E,<br />
para<br />
cada E−X resulta de que, afastando já o caso trivial em que E−< , sendo T<br />
o pé da perpendicular de E para < , T é também o pé da perpendicular de<br />
38@T ÐEÑ para < , bastando portanto ter em conta o facto de a simetria<br />
relativamente a T ser uma involução. Resta-nos mostrar que, quaisquer que<br />
sejam Eß F − X , tem-se l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEFl,<br />
o que faremos começando<br />
por examinar casos particulares:<br />
1) Se existir um plano ! tal que
w w<br />
Notemos E œ38@ÐEÑœ38@ < T ÐEÑe F œ38@ÐFÑœ38@ < UÐFÑ.<br />
Consideremos ainda uns pontos auxiliares: Na recta do plano ! que passa por<br />
w<br />
U e é perpendicular a < , definimos dois pontos \ e \ , respectivamente em<br />
! e em ! ,<br />
pela condição de se ter<br />
w w<br />
lU\l œ lU\ l œ lT El œ lT E l,<br />
w<br />
tendo-se então \ œ 38@UÐ\Ñ. Notamos ainda Q o ponto médio do par<br />
ÐT ß UÑ e lembramos que, tendo em conta o lema 4.46,<br />
Q é também o ponto<br />
w w<br />
médio dos pares ÐEß \ Ñ e ÐE ß \Ñ.<br />
Começamos por reparar que, uma vez que 38@U é uma isometria, tem-se<br />
w w<br />
lF\ l œ lF \l. Por outro lado, uma vez que as restrições de 38@<<br />
a ! e a "<br />
w w<br />
são isometrias, pelo lema 5.15, tem-se também lQF l œ lQFl e lQ\ l œ<br />
lQ\l. Pelo teorema LLL (cf. 4.34),<br />
concluímos que os triângulos<br />
w w<br />
ÐQßFß\Ñ e ÐQßF\Ñsão<br />
congruentes, e portanto<br />
Û Û w Û w Û<br />
. ÐÖQFßQ\ ×Ñœ . ÐÖQF ßQ\×Ñ.<br />
Û Û w Û Û<br />
Uma vez que os ângulos ÖQFßQ\ × e ÖQFßQE× são adjacentes, e o<br />
Û w Û Û w Û w<br />
mesmo acontece <strong>aos</strong> ângulos ÖQF ßQ\× e ÖQF ßQE × , deduzimos<br />
agora de 3.19 que se tem também<br />
Û Û Û w Û w<br />
. ÐÖQFßQE×Ñœ . ÐÖQF ßQE ×Ñ.<br />
Uma vez que as restrições de 38@< a ! e a "<br />
são isometrias, tem-se<br />
– 72–
w w<br />
lQF l œ lQFl e lQE l œ lQEle<br />
daqui deduzimos, pelo axioma 4.13,<br />
que<br />
w w<br />
os triângulos ÐQßEßFÑ e ÐQßEßFÑ são congruentes, e portanto, vem<br />
w w l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lE F l œ lEFl,<br />
como queríamos. <br />
Como aplicação do resultado precedente vamos examinar a noção de<br />
perpendicularidade entre uma recta e um plano.<br />
5.17 Sejam < uma recta e ! um plano e suponhamos que < e ! são concorrentes,<br />
com
5.20 (Condição suficiente de perpendicularidade) Sejam ! um plano, T−!<br />
e<br />
=ß>§ ! duas rectas com =>œÖT× . Se < é uma recta, com T −< ,<br />
simultaneamente perpendicular a = e a > , então < é perpendicular a ! .<br />
Dem: Comecemos por reparar que não pode ser § ! .<br />
< T<br />
Por outro lado, 38@< ÐTÑœT −! . Uma vez que TßEßF não são colineares<br />
e que 38@< é uma isometria involutiva, resulta de 5.4 que 38@< ÐT Ñß 38@< ÐEÑß<br />
38@< ÐFÑ também são não colineares. Tendo em conta 5.6,<br />
sabemos que<br />
38@< Ð! Ñ é um plano pelo que, por conter três pontos não colineares de ! ,<br />
tem-se 38@< Ð! Ñ œ ! . Pelo lema 5.18, < e ! são perpendiculares. <br />
5.21 (Existência e unicidade do plano perpendicular num ponto duma recta)<br />
Sejam < uma recta e T − < . Existe então um, e um só, plano ! tal que T−! e < e ! sejam perpendiculares.<br />
Dem: A unicidade resulta de 5.19 , uma vez que ! não pode deixar de ser a<br />
união da rectas perpendiculares a < que pasam por T.<br />
Para provar a existência, comecemos por mostrar que se podem considerar<br />
dois planos " e # , com " # œ < . Para isso tomamos um ponto F  < ,<br />
definimos " como sendo o único plano que contém < e F,<br />
consideramos um<br />
ponto GÂ" (cf. a alínea e) de 1.6)<br />
e definimos # como sendo o único plano<br />
que contém < e G; uma vez que " Á # e que < § " #<br />
, tem-se<br />
efectivamente " # œ < (cf. as alíneas a) e d) de 1.7).<br />
Sejam agora =§ " a recta perpendicular a < com T −= e >§ # a recta<br />
perpendicular a < com T − > . Uma vez que =< œ ÖT× e >< œ ÖT× , vem<br />
=>œÖT× pelo que podemos considerar o plano ! que contém = e > . Vem<br />
T− ! e, tendo em conta 5.20, < e ! são perpendiculares.<br />
<br />
5.22 (Existência e unicidade da recta perpendicular num ponto dum plano)<br />
Sejam ! um plano e T− ! . Existe então uma, e uma só, recta < tal que<br />
T−< e < e ! sejam perpendiculares.<br />
Dem: Comecemos por provar a unicidade para o que, supomos que existiam<br />
rectas distintas
uma recta que contenha T e algum ponto de ! não pertencente a ? ). Sejam #<br />
e $ os planos que contêm o ponto T e são perpendiculares a ? e a @,<br />
respectivamente (cf. 5.21 ). Tem-se # Á $ , tendo em conta a unicidade de<br />
uma recta perpendicular a um plano passando por um dos seus pontos, que<br />
demonstrámos no início, e, uma vez que T−# $ , concluímos que # $<br />
é<br />
uma recta < , que contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7).<br />
Uma vez que ? é<br />
perpendicular a todas as rectas de # que passam por T , ? é perpendicular a <<br />
e, uma vez que @ é perpendicular a todas as rectas de $ que passam por T, @ é<br />
perpendicular a < . Concluímos agora de 5.20 que < é perpendicular a ! . <br />
5.23 (Perpendicular a um plano por um ponto exterior) Sejam ! um plano e<br />
\Â! . Existe então um, e um só, ponto E− ! tal que a recta \Eseja<br />
perpendicular ao plano ! (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para<br />
!).<br />
Dem: 1) Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos a<br />
w w<br />
existência de dois pontos EÁE em ! tais que as rectas \E e \E sejam<br />
ambas perpendiculares a ! . Tem-se então que, sendo § ! , com F−> , tal que = e > sejam<br />
perpendiculares.<br />
Para isso, consideramos o plano " perpendicular a = tal que F − " (cf. 5.21),<br />
atendemos a que " Á ! (porque = não é perpendicular a ! ) e a que<br />
F−! " , pelo que ! " é uma recta > (cf. a alínea d) de 1.7),<br />
que contém<br />
F e está contida em ! e que é perpendicular a = , por estar contida em " que é<br />
um plano perpendicular a =<br />
.<br />
– 75–
4) Seja ?§ ! a recta perpendicular a > tal que F−? (cf. 4.26)<br />
e reparemos<br />
que =œ\F não é perpendicular a ? , senão = , sendo perpendicular às recta<br />
distintas > e ? de ! que passam por F seria perpendicular a ! .<br />
5) Seja # o plano que contém as rectas concorrentes = e ? e seja E o pé da<br />
perpendicular de \ para ? (cf. 4.28),<br />
que é diferente de F , por = não ser<br />
perpendicular a ? . Vamos verificar nas próximas alíneas que E é o ponto<br />
procurado, isto é, que a recta @œ\Eque,<br />
por construção, é perpendicular à<br />
recta ? , é mesmo perpendicular ao plano !<br />
6) Note-se que a recta @ está contida no plano # , por conter os pontos \ e E<br />
de # . Seja @ a semirrecta de @ de origem E tal que \ − @. Seja A § # a<br />
recta que contém F e é perpendicular a ? (cf. 4.26) e seja Aa<br />
semirrecta de<br />
A de origem F que está contida no mesmo semiplano # de # , com bordo ? ,<br />
que a semirrecta @ . Fixemos um dos semiplanos ! de ! , de bordo ? , e seja<br />
> a semirrecta de > de origem F que está contida em ! .<br />
Reparemos que a<br />
recta > é perpendicular ao plano # , por ser perpendicular às rectas<br />
concorrentes = e ? de # (cf. 5.20)<br />
e que portanto > é também perpendicular à<br />
recta A de # . Seja D § ! a recta que passa por E e é perpendicular a ? e seja<br />
D a semirrecta de D de origem E que está contida em ! .<br />
Tendo em conta<br />
4.47, vemos que<br />
. ÐÖDß@ ×Ñœ. ÐÖ> ßA ×Ñ œ " ,<br />
– 76–
e portanto a recta @ , que já sabíamos ser perpendicular a ? , é também<br />
perpendicular a D. Tendo em conta 5.20 , @ é perpendicular ao plano ! , como<br />
queríamos. <br />
5.24 (A inversão relativamente a um plano) Seja ! § X um plano fixado.<br />
Definimos então uma aplicação 38@! À X Ä X,<br />
a que daremos o nome de<br />
inversão relativamente a ! , do seguinte modo: Para cada T−!<br />
,<br />
38@! ÐT Ñ œ T ; Para cada \  ! , consideramos o pé da perpendicular E de<br />
\ sobre ! (cf. 523) e definimos 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ (cf. 5.12).<br />
Þ ! E<br />
5.25 ( 38@! é isometria) Nas condições<br />
anteriores, a aplicação 38@! À X Ä X é<br />
uma isometria involutiva, isto é, verifica 38@! Ð38@! Ð\ÑÑ œ \ , para cada<br />
\−X,<br />
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< Ð\ÑÑ œ \ ,<br />
para cada \− X resulta de que, afastando já o caso trivial em que \−!<br />
,<br />
sendo E o pé da perpendicular de \ para ! , E é também o pé da<br />
perpendicular de 38@E Ð\Ñ para ! , bastando portanto ter em conta o facto de<br />
a simetria relativamente a E ser uma involução. Resta-nos mostrar que,<br />
quaisquer que sejam \ß ] − X , tem-se l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l,<br />
podendo<br />
já afastar-se o caso trivial em que \œ] . Dois casos são possíveis:<br />
1) A recta =œ\] é perpendicular a ! , com =! œÖE× . Nesse caso<br />
tem-se 38@! Ð\Ñ œ 38@EÐ\Ñ e 38@! Ð] Ñ œ 38@EÐ] Ñ,<br />
pelo que a igualdade<br />
l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l resulta de 38@EÀ X Ä X ser uma isometria (cf.<br />
5.13).<br />
2) A recta =œ\] não é perpendicular a ! . Nesse caso seja E o pé da<br />
perpendicular de \ para ! , se \  ! , e E œ \ , se \ − ! , e, do mesmo<br />
modo, seja F o pé da perpendicular de ] para ! , se ]  ! , e F œ ] , se<br />
]− !, e consideremos a recta >œEF(reparemos que EÁF).<br />
No caso em<br />
que \Â ! a recta \E,<br />
sendo perpendicular a ! , é também perpendicular a<br />
>œEF, pelo que E é também o pé da perpendiicular de \ para > , donde<br />
38@! Ð\Ñ œ 38@E Ð\Ñ œ 38@> Ð\Ñ e esta igualdade vale ainda trivialmente no<br />
caso em que \−! . Do mesmo modo se vê que 38@! Ð]Ñœ38@Ð]Ñ > . A<br />
igualdade l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l é assim uma consequência de<br />
38@> À X Ä X ser uma isometria (cf. 5.16). <br />
6. Quadriláteros e Paralelogramos<br />
6.1 Vamos chamar quadrilátero a uma quadra ordenada ÐEßFßGßHÑde<br />
pontos<br />
constituindo um conjunto complanar e tal que nenhum dos conjuntos<br />
ÖEßFßG× , ÖFßGßH× , ÖGßHßE× e ÖHßEßF× seja colinear. As condições<br />
anteriores implicam que os quatro pontos Eß Fß Gß H são todos distintos e<br />
que existe um único plano ! contendo aqueles quatro pontos, a que daremos<br />
o nome de plano do quadrilátero.<br />
Chamamos vértices do quadrilátero <strong>aos</strong><br />
quatro pontos EßFß Gß H, lados<br />
deste <strong>aos</strong> pares ÐEßFÑßÐFß GÑß ÐGß HÑß<br />
– 77–
ÐHßEÑou <strong>aos</strong> segmentos de recta ÒEßFÓ, ÒFßGÓ, ÒGßHÓe ÒHßEÓe<br />
ângulos<br />
deste <strong>aos</strong> ângulos<br />
w Û Û w Û Û<br />
HEF œ ÖEHß EF× , EFG œ ÖFEß FG× ,<br />
w Û Û w Û Û<br />
FGH œ ÖGFß GH× , GHE œ ÖHGßHE× ,<br />
w w w w<br />
que serão notados simplesmente E , F , G e H quando o quadrilátero<br />
estiver implícito (comparar com 4.1).<br />
D<br />
A<br />
C<br />
B<br />
C<br />
A<br />
6.2 Diz-se que um quadrilátero ÐEßFßGßHÑ , com plano !, é convexo se, para<br />
cada lado, os vértices que o definem pertencem ao mesmo semiplano de !<br />
cujo bordo é a recta definida pelos restantes dois vértices, por outras<br />
palavras, se se verificam as quatro condições seguintes:<br />
1) G e H estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF.<br />
2) H e E estão no mesmo semiplano de ! de bordo FG.<br />
3) E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH.<br />
4) F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo HE.<br />
6.3 Como consequência imediata da definição precedente, vemos que, apesar de<br />
se tratar de quadriláteros distintos, se ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero, o<br />
mesmo acontece <strong>aos</strong>, obtidos por permuta ção circular, ÐFßGßHßEÑ,<br />
ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑe,<br />
se um destes quatro quadriláteros é convexo,<br />
o mesmo aconte <strong>aos</strong> outros três (os lados são os mesmos).<br />
Do mesmo modo, se ÐEßFßGßHÑé<br />
um quadrilátero, também o é o, obtido<br />
por inversão da ordem, ÐHßGßFßEÑe<br />
o primeiro é convexo se, e só se, o<br />
segundo o é (os lados são os mesmos, com a ordem dos vértices invertida). 13<br />
Repare-se que, no caso das três figuras acima, temos três quadriláteros,<br />
dos quais só o primeiro é convexo. O segundo transforma-se num<br />
quadrilátero convexo por reordenação dos vértices, por exemplo no<br />
quadrilátero ÐEßFßHßGÑ,<br />
mas o mesmo já não se consegue fazer com o<br />
terceiro.<br />
O resultado seguinte dá uma caracterização mais simples dos<br />
quadriláteros convexos, que mostra que podemos tomar para os três pri-<br />
13No entanto, se ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero, apesar de o mesmo acontecer, por<br />
exemplo, a ÐEßGßFßHÑjá<br />
não é verdade que a convexidade de um tenha alguma coisa a<br />
ver com a convexidade do outro, uma vez que os lados são distintos.<br />
– 78–<br />
D<br />
B<br />
D<br />
A<br />
C<br />
B
meiros vértices pontos arbitrários não colineares e caracterizar a convexidade<br />
por uma condição envolvendo apenas o quarto vértice.<br />
6.4 (Caracterização pelo quarto vértice) Sejam Eß Fß G pontos não colineares<br />
e ! o plano que os contém. <strong>Da</strong>do H −! , tem-se que ÐEßFßGßHÑ é um<br />
quadrilátero convexo se, e só se, se verificam as condições seguintes:<br />
Û Û<br />
Û<br />
a) H−nÖFEßFG× e H não pertence a nenhuma das semirrectas FEe<br />
FG Û .<br />
b) HÂEGe Hpertence ao semiplano de ! de bordo EGoposto<br />
àquele que<br />
contém F.<br />
B<br />
A<br />
– 79–<br />
zona D<br />
Dem: 1) Comecemos por supor que ÐEßFßGßHÑé<br />
um quadrilátero convexo.<br />
D<br />
A<br />
O facto de H estar no mesmo semiplano de ! de bordo EF que G e de estar<br />
no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E diz-nos que<br />
Û Û<br />
H−nÖFEßFG× e o facto de Hnão<br />
pertencer a nenhuma das semirrectas<br />
Û Û<br />
FE e FG resulta de que EFH e FGH são não colineares, por termos um<br />
quadrilátero. O facto de se ter HÂEG resulta de GßHßEserem<br />
não<br />
colineares, mais uma vez por termos um quadrilátero. O facto de E estar no<br />
mesmo semiplano de ! de bordo GH que F e estar no mesmo semiplano de<br />
Û Û<br />
! de bordo FG que H implica que E − nÖGFß GH× e, como anteriormente,<br />
pelo facto de termos um quadrilátero, E não pertence às semirrectas GF e<br />
Û<br />
GH Û . Aplicando a alínea a) do teorema da barra cruzada 3.9,<br />
concluímos que<br />
H pertence ao semiplano de ! de bordo EG oposto àquele que contém F.<br />
2) Suponhamos, reciprocamente, que as condições a) e b) do enunciado são<br />
verificadas. Elas implicam, em particular que H<br />
não pertence a nenhuma das<br />
C<br />
C<br />
B
ectas FG e FE (cf. 3.4)<br />
pelo que, uma vez que, por hipótese, H e F não<br />
pertencem à recta EG, concluímos que ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero. O<br />
Û Û<br />
facto de H pertencer a nÖFEßFG× mostra que H e E estão no mesmo<br />
semiplano de ! de bordo FG e que H e G estão no mesmo semiplano de !<br />
de bordo FE.<br />
D<br />
A<br />
Û<br />
Notemos = a semirrecta de origem G oposta à semirrecta GF. O facto de H<br />
estar no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E e estar no semiplano de<br />
! de bordo EG oposto ao que contém F,<br />
e portanto no mesmo que contém<br />
Û<br />
= , implica que H − nÖGEß= ×<br />
. Tendo em conta a alínea d) de 3.9,<br />
Û Û Û<br />
deduzimos que GE § nÖGHßGF× , em particular E e F estão no mesmo<br />
semiplano de ! de bordo GH.<br />
Aplicando a conclusão a que acabamos de<br />
chegar ao quadrilátero ÐGßFßEßHÑ,<br />
que também verifica as condições a) e<br />
b) no enunciado, vemos que F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo<br />
EH. Terminámos assim a prova de que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑ é<br />
convexo. <br />
6.5 (Nota) Embora não tenhamos de momento intenção<br />
de o utilizar, a prova<br />
anterior mostra-nos que, para termos a certeza que um quadrilátero<br />
ÐEßFßGßHÑ é convexo, basta verificar as condições 1), 2) e 3) na definição<br />
6.2, a condição 4) sendo portanto uma consequência daquelas três. Com<br />
efeito, apenas utilizámos as condições 1), 2) e 3) para estabelecer as<br />
propriedades a) e b) na parte 1) da demonstração e, na parte 2) desta,<br />
verificámos que as condições a) e b) implicam as alíneas 1), 2), 3) e 4) da<br />
definição.<br />
Pelo contrário, é claro do exemplo na figura seguinte que as condições 1) e<br />
2) não são suficientes para implicar que um quadrilátero é convexo.<br />
A<br />
B<br />
D<br />
– 80–<br />
s -<br />
C<br />
C<br />
B
6.6 <strong>Da</strong>do um quadrilátero ÐEßFßGßHÑ, chamamos diagonais <strong>aos</strong> segmentos de<br />
recta ÒEß GÓ e ÒFß HÓ.<br />
Repare-se que, como se constata imediatamente, um quadrilátero<br />
ÐEßFßGßHÑ tem as mesmas diagonais que os quadriláteros ÐFßGßHßEÑ,<br />
ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑ,<br />
tal como tem as mesmas diagonais<br />
6.7 (Caracterização da convexidade pelas diagonais) Um quadrilátero<br />
ÐEßFßGßHÑ, contido no plano ! , é convexo se, e só se, as suas diagonais<br />
ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes (cf. 1.2).<br />
Dem: 1) Comecemos por supor que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑé<br />
convexo.<br />
Tendo em conta a alínea b) de 6.4, Os pontos F e H estão em semiplanos<br />
opostos de ! de bordo EG, o que implica que o segmento ÒFß HÓ e a recta<br />
EG têm um ponto \ em comum. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero<br />
convexo ÐFßGßHßEÑ, concluímos que o segmento ÒEßGÓe a recta FHtêm<br />
um ponto ] em comum. Uma vez que, por termos um quadrilátero, as rectas<br />
EG e FH são distintas, e portanto não podem ter mais que um ponto em<br />
comum, concluímos que \œ] é o único ponto comum às diagonais ÒEßFÓ<br />
e ÒGß HÓ,<br />
e portanto que estas são concorrentes.<br />
2) Suponhamos, reciprocamente, que as diagonais ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes<br />
num ponto \ .<br />
D<br />
A<br />
Û Û<br />
Atendendo a que o sector angular nÖFEß FG× é convexo e cónico<br />
relativamente a F (cf. 3.4)<br />
concluímos sucessivamente que o ponto \ , que<br />
Û Û<br />
pertence ao segmento ÒEß GÓ, pertence a nÖFEß FG× e que o ponto H,<br />
que<br />
Û<br />
pertence à semirrecta F\ , por \ pertencer a ÒFß HÓ,<br />
pertence também a<br />
Û Û<br />
nÖFEß FG× . O facto de o ponto H não pertencer a nenhuma das semirrectas<br />
Û Û<br />
FE e FG resulta de termos um quadrilátero. Este último facto implica<br />
também que H não pertence à recta EG e o facto de F e H estarem em<br />
semiplanos opostos de ! de bordo EG resulta de \ ser um ponto de EG no<br />
segmento ÒFß HÓ. Podemos agora deduzir de 6.4 que ÐEß Fß Gß HÑ é um<br />
quadrilátero convexo. <br />
6.8 Seja ÐEßFßGßHÑ um quadrilátero convexo contido no plano ! . Tem-se<br />
então que existe um, e um só, conjunto convexo V que contenha os quatro<br />
pontos Eß Fß Gß H e que esteja contido em qualquer conjunto convexo que<br />
contenha esses pontos. Esse conjunto convexo, que chamaremos de segmento<br />
quadrangular associado a ÐEßFßGßHÑ e que será notado ÒEßFßGßHÓ<br />
– 81–<br />
X<br />
C<br />
B
(comparar com 4.2 e lembrar 4.4 e 4.7), admite as duas caracterizações<br />
seguintes:<br />
D<br />
A<br />
a) ÒEßFßGßHÓœÒEßFßGÓÒEßHßGÓ, onde ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœ<br />
ÒEß GÓ.<br />
Û Û Û Û<br />
b) ÒEßFßGßHÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .<br />
Dem: 1) Comecemos por mostrar que ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœÒEßGÓ.<br />
Em<br />
primeiro lugar, tendo em conta a convexidade dos segmentos triangulares,<br />
tem-se ÒEßGÓ§ÒEßFßGÓ e ÒEßGÓ§ÒEßHßGÓ, portanto ÒEßGÓ§<br />
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ. Por outro lado, lembrando a caracterização dos<br />
segmentos triangulares em 4.2 , vemos que, se \ −ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ,<br />
então \ pertence simultaneamente <strong>aos</strong> semiplanos de ! de bordo EG que<br />
contêm respectivamente F e H,<br />
semiplanos esses que são opostos, pela<br />
Û Û<br />
condição b) em 6.4 , pelo que \ − EG , e portanto \ − EG nÖFEß FG× ,<br />
isto é \−ÒEßGÓ, pela alínea a) de 3.5.<br />
2) Vamos agora verificar que<br />
Û Û Û Û<br />
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .<br />
Û Û<br />
Tem-se que EßFß G − nÖFEßFG× e, tendo em conta a alínea a) de 6.4,<br />
Û Û Û Û<br />
também H − nÖFEß FG× . Tendo em conta o facto de nÖFEß FG× ser<br />
convexo, deduzimos de 4.7 que<br />
Û Û Û Û<br />
ÒEßFßGÓ§nÖFEßFG× , ÒEßHßGÓ§nÖFEßFG× ,<br />
e portanto<br />
– 82–<br />
B<br />
C<br />
Û Û<br />
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖFEßFG× ;<br />
Aplicando a mesma conclusão ao quadrilátero convexo ÐGßHßEßFÑ,<br />
concluímos que se tem também<br />
Û Û<br />
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖHEßHG× ,<br />
donde concluímos que
Û Û Û Û<br />
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖFEßFG×nÖHEßHG× .<br />
Û Û Û Û<br />
Suponhamos, reciprocamente, que \ −nÖFEßFG×nÖHEßHG× . Tendo<br />
em conta o facto de os semiplanos de ! de bordo EG que contêm F e H<br />
serem opostos, \ pertence a um desses semiplanos. No caso de \ pertencer<br />
Û Û<br />
ao semiplano que contém F , o facto de ser \ − nÖFEßFG× implica que<br />
\ −ÒEßFßGÓ e no caso de \ pertencer ao semiplano que contém H,<br />
o facto<br />
Û Û<br />
de ser \ −nÖHEßHG× implica que \ −ÒEßHßGÓ,<br />
em qualquer dos casos<br />
vem \ −ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ.<br />
3) Tendo em conta o que vimos em 2), podemos definir<br />
Û Û Û Û<br />
ÒEßFßGßHÓœÒEßFßGÓÒEßHßGÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .<br />
A segunda caracterização mostra que se trata de um conjunto convexo, por<br />
ser a intersecção de dois conjuntos convexos, e a primeira caracterização<br />
mostra que se tem EßFßGßH −ÒEßFßGßHÓ.<br />
Por outro lado, qualquer<br />
conjunto convexo, que contenha Eß Fß Gß H, contém também, por 4.7,<br />
ÒEßFßGÓ e ÒEßHßGÓ e portanto contém ÒEßFßGßHÓ,<br />
tendo em conta a<br />
primeira caracterização. A unicidade de um conjunto nas condições do<br />
enunciado é uma consequência de que, a existirem dois, cada um deles teria<br />
que estar contido no outro, e portanto teriam que ser iguais. <br />
6.9 (Paralelogramos sem paralelas) Vamos chamar paralelogramo a um<br />
quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑtal que lEFlœlGHle lFGlœlHEl(os<br />
lados opostos são conguentes).<br />
D<br />
A B<br />
6.10 Seja ÐEßFßGßHÑum<br />
paralelogramo. Tem-se então:<br />
w w w w<br />
a) . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ e . ÐF Ñ œ . ÐH Ñ (os ângulos opostos são congruentes);<br />
b) Tem-se ÒEßGÓÒFßHÓœÖ\× , onde \ é o ponto médio tanto de ÐEßGÑ<br />
como de ÐFß HÑ (as diagonais bissectam-se).<br />
Dem: Considerando a diagonal ÒEß GÓ,<br />
D<br />
A B<br />
– 83–<br />
C<br />
C
podemos aplicar o teorema LLL (cf. 4.34)<br />
para garantir que os triângulos<br />
w w<br />
ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes, e portanto que . ÐF Ñ œ . ÐH Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖEGß EH×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ, . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖGHß GE×ÑÞ<br />
Aplicando o que acabamos de concluir ao paralelogramo ÐFßGßHßEÑ,<br />
w w<br />
vemos que, considerando também a diagonal ÒFß HÓ, tem-se . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖFHß FE×Ñ œ . ÐÖHFß HG×Ñ, . ÐÖFGß FH×Ñ œ . ÐÖHEß HF×ÑÞ<br />
Lembremos que, tendo em conta 6.7, tem-se ÒEß GÓ ÒFß HÓ œ Ö\× , onde \<br />
não pertence a nenhuma das rectas EH e FG,<br />
por termos um quadrilátero.<br />
D<br />
X<br />
A B<br />
O facto de se ter lEHl œ lGFl,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖEHß E\×Ñ œ . ÐÖEHß EG×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖGFß G\×Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖHEßH\×Ñœ. ÐÖHEßHF×Ñœ. ÐÖFGßFH×Ñœ. ÐÖFGßF\×Ñ,<br />
implica, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEßHß\Ñ e<br />
ÐGßFß\Ñsão congruentes, e portanto que lH\lœlF\le lE\lœlG\l,<br />
o<br />
que mostra que \ é o ponto médio tanto de ÐEßGÑ como de ÐFßHÑ. <br />
6.11 (Existência e construção de paralelogramos) Sejam < e = rectas<br />
concorrentes, com
obtidos por permuta ção circular, ÐFßGßHßEÑ, ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑ,<br />
assim como ao obtido por inversão da ordem ÐHßGßFßEÑ.<br />
7. Paralelismo e o axioma das paralelas<br />
7.1 Diz-se que duas rectas . Sejam œ ÖF× e<br />
notemos < e = as semirrectas de < e de = , com origens E e F,<br />
que estão<br />
contidas em ! e < e = as semirrectas opostas. Suponhamos que<br />
Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ<br />
# ou, o que é equivalente, que se tem<br />
Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×ÑÞ<br />
Tem-se então que as rectas < e = são<br />
estritamente paralelas. 14<br />
B<br />
A<br />
t<br />
Û Û<br />
Dem: Comecemos por reparar que . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ<br />
# é equi-<br />
Û Û Û<br />
valente a . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ # e a . ( ÖEFß < ×<br />
) œ<br />
. Û<br />
ÐÖFEß = ×Ñ,<br />
uma vez que, por termos ângulos adjacentes, tem-se<br />
Û Û Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) œ # . ( ÖEFß < × ) e . ÐÖFEß = ×Ñœ # . ÐÖFEß = ×Ñ.<br />
Suponhamos que < e = não eram paralelas, e portanto, por serem rectas<br />
distintas e complanares, que pelo que, ou G −!,<br />
ou G pertence ao semiplano oposto !.<br />
Considerando o triângulo ÐEßFßGÑ<br />
tem-se então, no primeiro caso,<br />
w w Û Û<br />
. ÐE Ñ . ÐF Ñ œ . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #<br />
– 85–<br />
a +<br />
r+<br />
s+<br />
<br />
14 Û Û<br />
Os ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são chamados usualmente de<br />
Û Û<br />
lado da secante e os ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são ditos alternos internos.<br />
internos do mesmo
e, no segundo caso,<br />
w w Û Û<br />
. ÐE Ñ . ÐF Ñ œ . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #<br />
– 86–<br />
<br />
pelo que, em ambos os casos, chegamos a um absurdo, tendo em conta o<br />
corolário 4.20. <br />
7.3 (Corolário — Duas rectas perpendiculares a uma terceira) Sejam ! § X<br />
um plano, >§ ! uma recta e EßF−> . Sejam œÖF× , ambas perpendiculares a > . Tem-se então que as<br />
rectas < e = ão paralelas.<br />
Dem: Se EÁF,<br />
trata-se de um caso particular do resultado precedente, se<br />
recordarmos que a perpendicularidade de duas rectas concorrentes é<br />
equivalente ao facto de a medida do ângulo de duas semirrectas ser " e que,<br />
esse facto não se altera quando se substitui alguma, ou ambas as semirrectas<br />
pelas suas opostas. Se EœF temos o resultado sobre a uniciade de uma<br />
perpendicular a uma recta passando por um ponto dado e contida num dado<br />
plano (cf. 4.26). <br />
7.4 (Existência de paralela) Sejam < uma recta e F Â < . Existe então uma recta<br />
= estritamente paralela a < tal que F − = .<br />
Dem: Seja ! o plano que contém < e F. Seja E o pé da perpendicular de F<br />
para < (cf. 4.28 ). Sendo > § ! a recta EF,<br />
podemos considerar uma recta<br />
=§ ! com F−= e = perpendicular a > (cf. 5.22). Tendo em conta 7.3,<br />
< e =<br />
são estritamente paralelas. <br />
7.5 (Porquê “paralelogramo”) Seja ÐEßFßGßHÑ um paralelogramo. Tem-se<br />
então que as rectas EF e GH são paralelas e as rectas HE e FG são<br />
paralelas (os lados opostos são paralelos).<br />
Dem: Seja ! o plano que contém os vértices do paralelogramo e consideremos<br />
a recta EG, lembrando que, pela alínea b) de 6Þ4, F e H estão em<br />
semiplanos opostos de ! de bordo EG.<br />
D<br />
A B<br />
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), os triângulos ÐEßFßGÑ e<br />
Û Û<br />
ÐGßHßEÑ são congruentes, donde, em particular, . ÐÖEGßEF×Ñœ<br />
. Û Û<br />
ÐÖGEß GH×Ñ. Podemos agora aplicar 7.2 para garantir que as rectas EF e<br />
GH são paralelas e, aplicando esta conclusão ao paralelogramo<br />
ÐFßGßHßEÑ, vemos que as rectas FGe HEtambém<br />
são paralelas. <br />
C
7.6 (Paralelismo de recta com plano) Diz-se que uma recta < e um plano ! são<br />
estritamente paralelos se e < . Uma vez que<br />
U−! " e que ! Á " , porque >§ Î ! , segue-se que existe uma recta = tal<br />
que ! " œ = . Tem-se U − = § ! pelo que, por > ser perpendicular a ! , > é<br />
perpendicular a = . As rectas < e = são duas rectas do plano " , ambas<br />
perpendiculares a > pelo que, por 7.3, < e = são paralelas o que, por 7.7,<br />
implica que a recta < é paralela ao plano ! .<br />
<br />
7.9 (Duas rectas perpendiculares a um plano) Sejam ! um plano e
indiferente quais os semiplanos considerados). Sendo = a recta de<br />
w "<br />
w w<br />
perpendicular a TU e tal que U −= , tem-se, por 4.47,<br />
que = também é<br />
perpendicular a @ , e portanto ao plano ! (cf. 5.20)<br />
donde, pela unicidade da<br />
perpendicular a um plano passando por um ponto deste (cf. 5.22),<br />
vem<br />
w = œ = , e portanto a recta = também está contida no plano " , que contém < .<br />
Uma vez que < e = são ambas perpendiculares à recta TU de " , deduzimos<br />
de 7.3 que as rectas < e = são paralelas.<br />
<br />
Vamos agora introduzir um último axioma, aquele que distingue a <strong>Geometria</strong><br />
<strong>Euclidiana</strong> da não <strong>Euclidiana</strong>.<br />
7.10 (Axioma das paralelas) <strong>Da</strong>da uma recta < e um ponto F Â < , não existe<br />
mais do que uma recta = paralela a < , tal que F − = . 15<br />
7.11 (Transitividade do paralelismo) A relação<br />
de paralelismo entre rectas é<br />
uma relação de equivalência.<br />
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica. Seja então < uma recta,<br />
simultaneamente paralela às rectas = e > , e provemos que = e > são paralelas,<br />
para o que podemos já supor que =Á> . Seja E−= , com EÂ> e seja ! o<br />
único plano que contém E e > . Tendo em conta 7.7,<br />
a recta < é paralela ao<br />
w w w<br />
plano ! e, pelo mesmo resultado, existe uma recta = § ! com E − = e =<br />
w<br />
paralela a < . Tendo em conta o axioma das paralelas 7.10,<br />
tem-se = œ = ,<br />
portanto =§ ! . As rectas = e > são assim complanares pelo que, para<br />
verificarmos que são efectivamente paralelas, basta verificar que =>œg.<br />
Ora, se isso não acontecesse, existia F−=> , e éramos conduzidos a um<br />
absurdo pela unicidade da paralela a < que passa por F garantida pelo<br />
axioma das paralelas 7.10. <br />
7.12 (Transitividade recta, recta, plano) Se a recta = é paralela ao plano ! e a<br />
recta < é paralela a = , então a recta < é também paralela ao plano ! . 16<br />
Dem: Tendo em conta 7.7 , existe uma recta >§ ! tal que = seja paralela a > e<br />
então < também é paralela a > , o que, pelo mesmo resultado, implica que < é<br />
paralela a ! .<br />
<br />
7.13 (Recíproco de 7.2 ) Sejam uma recta tal que >< œ ÖE× e >= œ<br />
ÖF× , para a qual se tem assim > § ! . Seja ! um dos semiplanos de ! de<br />
bordo > e notemos < e = as semirectas de < e de = , de origens E e F,<br />
que<br />
< =<br />
estão contidas em e e as semirrectas opostas. Tem-se então<br />
! <br />
15É claro que, se F−< , tembém existe uma única paralela = a < tal que F−= ,<br />
nomeadamente =œ< .<br />
16É claro que, se duas rectas < e = são ambas paralelas a um plano ! , < e = não têm que<br />
ser paralelas.<br />
– 88–
Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #<br />
<br />
(os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares) e<br />
Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×Ñ<br />
(os ângulos alternos internos são iguais).<br />
B<br />
<br />
A<br />
t<br />
Dem: Tendo em conta o axioma a) em 3.17,<br />
podemos considerar uma semir-<br />
w recta = § ! de origem F tal que<br />
<br />
<br />
– 89–<br />
a +<br />
r+<br />
s+<br />
Û Û w<br />
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #<br />
<br />
w w w<br />
e, sendo = § ! a recta que contém = ,<br />
resulta de 7.2 que as rectas < e = são<br />
w w<br />
paralelas. Pelo axioma das paralelas, tem-se =œ= , e portanto = œ= ,<br />
de<br />
onde resulta que se tem efectivamente<br />
Û Û<br />
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ # .<br />
<br />
<br />
Û Û<br />
Se repararmos que ÖFEß = × e ÖFEß = ×<br />
são ângulos adjacentes, e portanto<br />
Û Û<br />
que . ÐÖFEß = ×Ñ œ # . ÐÖFEß = ×Ñ,<br />
a igualdade anterior implica que se<br />
Û Û<br />
tem também . ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×Ñ.<br />
<br />
7.14 (Corolário — recta paralela a uma recta perpendicular a uma recta)<br />
Sejam < uma recta perpendicular à recta > e = uma recta paralela a < e<br />
concorrente com > . Tem-se então que = é perpendicular a > .<br />
Dem: Se
ecta paralela a < passando por T , pelo que = œ = , e portanto = é<br />
perpendicular ao plano ! .<br />
<br />
7.16 (Recta paralela a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um<br />
plano perpendicular a uma recta < e = uma recta paralela ao plano ! e<br />
concorrente com < . Tem-se então a resta = é perpendicular à recta < .<br />
Dem: Sendo ! paralela a = , tal<br />
que T−>§ ! (cf. 7.7).<br />
Como < é perpendicular a ! , vem < perpendicular a<br />
> e portanto, como = é paralela a > e concorrente com < , resulta de 7.14 que =<br />
é perpendicular a < .<br />
<br />
7.17 (Teorema do ângulo externo e soma dos ângulos internos) Seja<br />
ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos<br />
w w<br />
de vértice G (cf. 4.18 ) é igual a . ÐE Ñ . ÐF Ñ (a soma das amplitudes dos<br />
ângulos internos não adjacentes). 17 Em consequência, tem-se também<br />
w w w<br />
. ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ #. 18<br />
A<br />
B<br />
b+<br />
Dem: Tendo em conta a igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de<br />
vértice G, podemos considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF<br />
Û<br />
Û<br />
e pela semirrecta , oposta à semirrecta , œ GE.<br />
Consideremos o<br />
semiplano ! de bordo ,œEGque contém o ponto Fe,<br />
tendo em conta o<br />
axioma a) em 3.17 , consideremos a semirrecta = de origem G contida em<br />
! . . w<br />
tal que ÐÖ, ß = ×ÑœÐE<br />
Ñ. Uma vez que, tendo em conta 4.19,<br />
w Û Û<br />
. ÐÖ, ß= ×Ñ œ . ÐE Ñ . ÐÖ, ßGF×Ñ , resulta de 3.18 que = § nÖ, ßGF×<br />
e portanto, pelo axioma b) em 3.17,<br />
Û Û<br />
(#)<br />
. ÐÖ, ß GF×Ñ œ . ÐÖ, ß = ×Ñ . ÐÖ= ß GF×Ñ<br />
– 90–<br />
C<br />
s+<br />
w<br />
b-<br />
.<br />
Uma vez que os ângulos Ö, ß = × e Ö, ß = ×<br />
são adjacentes, vem<br />
17Comparar com 4.19 e 4.24.<br />
18A soma dos ângulos internos dum triângulo é # , comparar com 4.22.
Û Û Û<br />
. ÐÖGEß = ×Ñ œ . ÐÖ, ß = ×Ñ œ # . ÐÖ, ß = ×Ñ œ # . ÐÖEGß EF×Ñ<br />
<br />
pelo que, por 7.2, a recta EF é paralela à recta = que contém =.<br />
Como o<br />
Û<br />
ponto E, e portanto a semirrecta FE está no semiplano de ! de bordo FG<br />
Û<br />
oposto àquele que contém = (porque = § nÖ, ßGF×<br />
), deduzimos de 7.13<br />
Û Û Û w<br />
que . ÐÖ= ß<br />
GF×Ñ œ . ÐÖFEß FG×Ñ œ . ÐF Ñ.<br />
Substituindo na fórmula (#)<br />
Û w w<br />
acima, obtemos finalmente . ÐÖ, ß<br />
GF×Ñ œ . ÐE Ñ . ÐF Ñ.<br />
A fórmula<br />
w w w Û<br />
. ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñœ# resulta agora de que os ângulos Ö, ßGF×<br />
e<br />
Û w<br />
Ö, ß<br />
GF× œ G são adjacentes, e portanto verificam a igualdade<br />
w Û<br />
. ( G ) œ #. ÐÖ, ßGF×Ñ.<br />
<br />
<br />
7.18 Seja ÐEßFßGßHÑum<br />
quadrilátero convexo. Tem-se então que a soma dos<br />
seus ângulos é igual a % :<br />
w w w w<br />
. ÐEÑ. ÐF Ñ. ÐG Ñ. ÐHÑœ% .<br />
Dem: Seja ! o plano que contém o quadrilátero. O facto de F e G estarem<br />
no mesmo semiplano de ! de bordo EH e de G e H estarem no mesmo<br />
Û Û<br />
semiplano de ! de bordo EF, diz-nos que H − nÖEFß EH× , tendo que H<br />
não pertence a EF nem a EH,<br />
por termos um quadrilátero.<br />
A<br />
Podemos assim deduzir do axioma b) em 3.17 que se tem<br />
w Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐE Ñ œ . ÐÖEFß EH×Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ.<br />
Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐGßHßEßFÑ,<br />
obtemos<br />
w Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐG Ñ œ . ÐÖGHß GF×Ñ œ . ÐÖGHß GE×Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ.<br />
Por outro lado, aplicando 7.17 <strong>aos</strong> triângulos ÐEßFßGÑe ÐEßHßGÑ,<br />
vemos<br />
que<br />
w Û Û Û Û<br />
. ÐF Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ œ # ,<br />
w Û Û Û Û<br />
. ÐH Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ . ÐÖGHß GE×Ñ œ # .<br />
– 91–<br />
B<br />
D<br />
C
Podemos assim escrever<br />
w w w w<br />
. ÐEÑ. ÐF Ñ. ÐG Ñ. ÐHÑœ Û Û Û Û Û Û<br />
œ . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ . ÐÖGHß GE×Ñ <br />
Û Û w w<br />
œ . ÐÖGEßGF×Ñ. Ð F Ñ. ÐH Ñ œ<br />
œ##œ% .<br />
7.19 (Caracterização dos paralelogramos pelo paralelismo) Sejam<br />
Eß Fß Gß H quatro pontos distintos tais que as rectas EF e GH sejam<br />
estritamente paralelas e as rectas FG e HE sejam estritamente paralelas.<br />
Tem-se então que ÐEßFßGßHÑé<br />
um paralelogramo.<br />
Dem: O facto de EF e GH serem estritamente paralelas implica a existência<br />
de um plano ! contendo os quatro pontos a o facto de cada terno de pontos<br />
ÐFßGßHÑ, ÐGßHßEÑ, ÐHßEßFÑ e ÐEßFßGÑ ser não colinear, pelo que<br />
ÐEßFßGßHÑé um quadrilátero. Esse mesmo paralelismo implica que G e H<br />
estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF (se a recta GH tem<br />
intersecção vazia com EF, o segmento ÒGß HÓ também não intersecta EF)<br />
e<br />
que E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH.<br />
Do mesmo modo,<br />
o paralelismo das rectas FG e EH implica que E e H estão no mesmo<br />
semiplano de ! de bordo FG e que F e G estão no mesmo semiplano de !<br />
de bordo HE. Concluímos assim que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑé<br />
convexo.<br />
D<br />
A B<br />
O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4,<br />
que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o<br />
Û Û<br />
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ<br />
. Û Û<br />
ÐÖGEß GH×Ñ e o paralelismo das rectas FG e HE implica, pelo mesmo<br />
Û Û Û Û<br />
resultado, que . ÐÖEGß EH×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ.<br />
Podemos agora aplicar o<br />
teorema ALA (cf. 4.15) para garantir que os triângulos ÐEßFßGÑ e<br />
ÐGßHßEÑsão congruentes e portanto que lEHlœlFGle lEFlœlGHl,<br />
o<br />
que mostra que o quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo. <br />
7.20 (Outra caracterização dos paralelogramos) Seja ÐEßFßGßHÑ um<br />
quadrilátero convexo tal que as rectas EF e GH sejam paralelas e que<br />
lEFl œ lGHl. Tem-se então que ÐEßFß Gß HÑ é um paralelogramo.<br />
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de<br />
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o<br />
Û Û<br />
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ<br />
. Û Û<br />
ÐÖGEß GH×Ñ.<br />
– 92–<br />
C
D<br />
A B<br />
Tendo em conta o axioma 4.13, os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐGßHßEÑ são<br />
congruentes e portanto tem-se também lEHl œ lFGl,<br />
o que nos permite<br />
concluir que o quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo. <br />
7.21 (Ainda outra) Seja ÐEßFßGßHÑum<br />
quadrilátero convexo tal que as rectas<br />
w w<br />
EF e GH sejam paralelas e que . ÐH Ñ œ . ÐF Ñ.<br />
Tem-se então que<br />
ÐEßFßGßHÑ é um paralelogramo.<br />
D<br />
A B<br />
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de<br />
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o<br />
Û Û<br />
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ<br />
. Û Û<br />
ÐÖGEß GH×Ñ.Podemos então aplicar o teorema LAA (cf. 4.35)<br />
para<br />
garantir que os triângulos ÐEßFßGÑe ÐGßHßEÑsão<br />
congruentes e portanto<br />
tem-se lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl,<br />
o que nos permite concluir que o<br />
quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo.<br />
<br />
7.22 (E mais uma) Seja ÐEßFßGßHÑ um quadrilátero convexo tal que os ânw<br />
w w w<br />
gulos opostos sejam congruentes, isto é, . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ e . ÐH Ñ œ . ÐF ÑÞ<br />
Tem-se então que ÐEßFßGßHÑé<br />
um paralelogramo.<br />
D<br />
A B<br />
w w w w<br />
Dem: Tendo em conta 7.18 , . ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñ. ÐHÑœ% , portanto<br />
w w w w<br />
# . ÐEÑ# . ÐHÑœ% , ou seja, . ÐEÑ. ÐHÑœ# . Uma vez que, por<br />
termos um quadrilátero convexo, F e G estão no mesmo semiplano do plano<br />
do quadrilátero com bordo EH, resulta de 7.13 que as rectas EF e GH são<br />
paralelas. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐFßGßHßEÑ,<br />
– 93–<br />
C<br />
C<br />
C
que verifica as mesmas hipóteses, vemos que as rectas EH e FG também<br />
são paralelas pelo que, por 7.19, ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo. <br />
Vamos terminar esta secção examinando mais uma noção de paralelismo,<br />
agora a de paralelismo de dois planos.<br />
7.23 Diz-se que dois planos ! e " são estritamente paralelos se ! " œ g e que<br />
eles são paralelos se forem estritamente paralelos ou ! œ " .<br />
7.24 Sejam ! e " dois planos paralelos. Tem-se então:<br />
a) Se § ! , e<br />
portanto também >" œg. Uma vez que T −=> , o axioma das paralelas<br />
(cf. 7.10 ) garante que =œ> , donde =§! , como queríamos.<br />
<br />
– 94–
7.25 (Corolário) Sejam ! e " planos paralelos e T−!<br />
. Tem-se então que ! é a<br />
união de todas as rectas = paralelas a " tais que T − = .<br />
Dem: Tendo em conta a alínea b) de 7.24 , cada recta = paralela a " tal que<br />
T−= está contida em ! . Se U− ! , podemos considerar um recta
paralelas a < distintas e passando por E . Sendo ! o plano que contém < e = ,<br />
tem-se T−! e ! é paralelo a " , tendo em conta 7.26. <br />
7.30 (Dois planos perpendiculares a uma recta) Sejam ! e " dois planos<br />
perpendiculares a uma recta < . Tem-se então que ! e " são paralelos.<br />
w ww w ww<br />
Dem: Seja ! < œ ÖT× . Sejam T ßT − ! tais que TßT ßT seja não coliw<br />
ww neares. Tem-se então que as rectas TT e TT são rectas de ! perpendicuw<br />
ww<br />
lares a < pelo que, tendo em conta 7.8, as rectas TT e TT são ambas<br />
paralelas ao plano " . Pdemos agora deduzir de 7.26 que os planos ! e " são<br />
paralelos. <br />
7.31 (Plano paralelo a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um<br />
plano perpendicular a uma recta < e " um plano paralelo a ! . Tem-se então<br />
que o plano " é perpendicular à recta < .<br />
Dem: A recta < não é paralela ao plano " , senão seria também paralela ao<br />
plano ! (cf. 7.27 ). Tem-se portanto
B<br />
A<br />
X Y<br />
Dem: 1) Seja ! o plano que contém Eß Fß G . Uma vez que \ Â FG,<br />
por ser<br />
EF FG œ ÖF× , vemos que a única recta < , paralela a FG e contendo \ , é<br />
estritamente paralela a FG, em particular F e G não pertencem a < . Tem-se<br />
também EÂ< , sem o que
A<br />
X Y<br />
B C<br />
Tendo em conta o lema 8.1, podemos considerar o ponto ^−ÒFßGÓtal<br />
que<br />
]^ seja paralela a EF, o qual é distinto de F e de G, e tem-se lF\lœ<br />
l^] l, lF^l œ l\] l,<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖG^ß G] ×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ,<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖE\ß E] ×Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.<br />
O facto de se ter<br />
#lE\l œ lEFl œ lE\l lF\l<br />
implica que l^] l œ lF\l œ lE\l. Podemos agora aplicar o teorema 4.35<br />
para garantir que os triângulos ÐEß\ß]Ñ e Ð]ß^ßGÑ são congruentes,<br />
donde l] Gl œ lE] l e l^Gl œ l\] l œ lF^l.<br />
Podemos daqui deduzir que<br />
lEGl œ lE] l l] Gl œ #lE] l e lFGl œ lF^l l^Gl œ #l\] l,<br />
como<br />
queríamos.<br />
2) Vamos agora supor o resultado verdadeiro para um certo 5 # e que se<br />
tem lEFl œ Ð5 "ÑlE\l.<br />
B'<br />
X<br />
A<br />
Y<br />
B C" C<br />
Consideremos o ponto F − ÒEß FÓ para o qual se tem lEF l œ 5lE\l (cf. a<br />
w<br />
alínea d) de 1.19 ) e os pontos ]ßG −ÒEßGÓ definidos pela condição de \]<br />
w w ww<br />
e FG serem rectas paralelas a FG. Consideremos o ponto G −ÒFßGÓ<br />
w ww<br />
definido pela condição de a recta GG ser paralela a EF.<br />
Tendo em conta o<br />
– 98–<br />
C'<br />
w w
w ww w ww w w<br />
lema 8.1, tem-se lFF l œ lG G l, lFG l œ lF G l,<br />
Ûww Û w Û Û Û Û<br />
. ÐÖGGßGG ×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñ,<br />
Û Û Û Û Ûw ww Ûw<br />
. ÐÖE\ßE]×Ñœ. ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖGG ßG G×Ñ.<br />
Uma vez que<br />
w w w<br />
Ð5 "ÑlE\l œ lEFl œ lEF l lF Fl œ 5lE\l lF Fl,<br />
w ww w 4.35<br />
deduzimos que lE\l œ lFF l œ lG G l.<br />
Deduzimos de que os triângu-<br />
w ww w<br />
los ÐEß\ß]Ñ e ÐGßG ßGÑsão congruentes, e portanto que lE]lœlGGle ww l\] l œ lG Gl.<br />
Por outro lado, pela hipótese de indução, tem-se<br />
w w w<br />
lEG l œ 5lE] l e lF G l œ 5l\] l.<br />
Podemos finalmente concluir que<br />
w w<br />
lEGlœlEGllGGlœ5lE]llE]lœÐ5"ÑlE]l,<br />
ww ww w w ww<br />
lFGlœlFGllGGlœlFGllGGlœ5l\]ll\]lœÐ5"Ñl\]l, o que termina a demonstração por indução. <br />
8.3 (Versão interior de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e seja \ −ÒEßFÓ,<br />
distinto de E . Existe então um único ] − ÒEßGÓ tal que a recta \] seja<br />
paralela a FG , e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl , vem + Ÿ " ,<br />
Û Û Û Û<br />
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,<br />
. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ e<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.<br />
A<br />
X Y<br />
B C<br />
Dem: 1) O facto de se ter +" é uma consequência imediata de se ter<br />
!lE\lŸlEFl (cf. a alínea d) de 1.19 ). No caso em que \œF,<br />
e<br />
portanto +œ" , G é o único ] −ÒEßGÓ tal que \] é paralelo a FG,<br />
uma<br />
vez que FG EG œ ÖG× , e é trivial que ] œ G verifica todas as condições<br />
do enunciado.<br />
Podemos assim supor em seguida \ÁF, portanto que lE\llEFl e que<br />
+".<br />
2) A existência e unicidade de ]−ÒEßGÓ tal que \] seja paralela a FGfoi<br />
estabelecida no lema 8.1 tal como o foi o facto de ] ser diferente de E e de<br />
Û Û Û<br />
Û<br />
G e a igualdade . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.<br />
Aplicando a mesma con-<br />
– 99–
clusão ao triângulo ÐEßGßFÑ e reparando que \ é o único elemento de<br />
ÒEß FÓ tal que ] \ seja paralela a GF,<br />
concluímos que se tem também a<br />
Û Û Û Û<br />
igualdade . ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ.<br />
3) Resta-nos mostrar as igualdades lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl.<br />
Faremos<br />
essa prova nesta alínea no caso particular em que !+" é racional,<br />
:<br />
portanto da forma +œ ; , onde : e ; são naturais com "Ÿ:; , podendo já<br />
afastar-se o caso em que :œ" , caso em que a conclusão está contida no<br />
"<br />
lema 8.2. Sejam ^ − ÒEß \Ó o ponto para o qual se tem lE^l œ : lE\l,<br />
"<br />
portanto também lE^l œ ; lEFl e [ − ÒEß ] Ó o único ponto tal que ^[<br />
seja paralela a. \] , e portanto a FG.<br />
Z<br />
A<br />
W<br />
X Y<br />
B C<br />
Aplicando duas vezes o lema 8.2, concluímos que se tem lE] l œ :lE[ l,<br />
l\] l œ :l^[ l, lEGl œ ;lE[ l e lFGl œ ;l^[ l,<br />
donde<br />
"<br />
lE] l œ : ‚ lEGl œ +lEGl,<br />
;<br />
"<br />
l\] l œ : ‚ lFGl œ +lFGl.<br />
;<br />
4) Vamos enfim examinar o caso mais geral em que !+" é um real<br />
w ww w ww<br />
arbitrário. Sejam + e + racionais arbitrários tais que !+ ++ " .<br />
w ww<br />
A<br />
X' Y'<br />
X Y<br />
X"<br />
Y"<br />
B C<br />
Sejam \ß\ −ÒEßFÓ, distintos de E e de F os pontos definidos por<br />
w w ww ww<br />
lE\ l œ + lEFl e lE\ l œ + lEFl,<br />
pontos para os quais se tem assim<br />
– 100–
w ww w ww<br />
\ − ÒEß \Ó e \ − ÒEß \ Ó (cf. a alínea d) de 1.19).<br />
Sejam ] ß ] − ÒEß GÓ<br />
w w ww ww<br />
os únicos pontos para os quais as rectas \] e \ ] são paralelas a FG,<br />
w w<br />
pontos para os quais se tem ] − ÒEß]Ó (o único ponto ] − ÒEß]Ó tal que<br />
w w w w<br />
\] é paralela a \] é um ponto de ÒEßGÓ tal que \] é paralela a FGÑe<br />
ww w ww<br />
] − ÒEß ] Ó (justificação análoga). Tem-se assim lE] l lE] l lE] l e,<br />
w w ww ww<br />
tendo em conta o lema 8.1, l\ ] l l\] l l\ ] l.<br />
Tendo em conta o<br />
w w w w w<br />
caso particular tratado em 3), tem-se lE] l œ + lEFl, l\ ] l œ + lFGl,<br />
ww ww ww ww ww<br />
lE] l œ + lEFl e l\ ] l œ + lFGl , pelo que sendo ,ß - os números reais<br />
w ww<br />
definidos por lE] l œ ,lEFl e l\] l œ -lFGl , tem-se + , + e<br />
w ww w ww<br />
+ - + . Tendo em conta a arbitrariedade dos racionais + e + ,<br />
concluímos finalmente que ,œ+ e -œ+ . 19 <br />
8.4 (Versão completa do recíproco de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.<br />
Û Û<br />
Sejam \ − EF e ] − EG tais que, para um certo + ! , lE\l œ +lEFl e<br />
lE] l œ +lEGl . Tem-se então que a recta \] é paralela à recta FG .<br />
Dem: Comecemos por examinar o caso em que !+Ÿ" , e portanto<br />
\−ÒEßFÓ e ] −ÒEßGÓsão diferentes de E.<br />
Tendo em conta 8.3,<br />
existe um<br />
w w w<br />
único ] − ÒEßGÓ tal que a recta \] seja paralela a FG e então lE] l œ<br />
w<br />
+lEGl œ lE] l , o que implica, por ] e ] estarema na mesma semirrecta de<br />
w<br />
origem E , que ] œ ] , e portanto a recta \] é paralela a FG.<br />
Vejamos agora o que se passa no caso em que +" . Uma vez que Eß\ß]<br />
são não colineares, podemos considerar o triângulo ÐEß\ß]Ñ,<br />
para o qual se<br />
Û Û " " "<br />
tem F − E\ , G − E] , lEFl œ + lE\l e lEGl œ + lE] l , onde ! + " ,<br />
pelo que, aplicando o caso estudado anteriormente, concluímos que a recta<br />
FG é paralela à recta \] . <br />
X<br />
B<br />
A<br />
8.5 (Versão completa de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e seja \ −EF, Û<br />
distinto de E . Existe então um único ] − EG tal que a recta \] seja<br />
Û<br />
paralela a FG , e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl,<br />
vem<br />
Û Û Û Û<br />
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,<br />
. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ e<br />
19Um número real que é menor que todos os racionais maiores que + e maior que todos os<br />
racionais menores que + tem que ser +<br />
.<br />
– 101–<br />
C<br />
Y
Û Û Û Û<br />
. ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.<br />
Dem: O caso em que \ −ÒEßFÓ ou, o que é o mesmo, aquele em que +Ÿ" ,<br />
já foi estabelecido em 8.3 (em rigor aí apenas se afirmou a unicidade de ]<br />
em ÒEß GÓ , mas não pode haver mais que um ] − EG tal que E] seja<br />
paralela a FG ). Resta examinar o caso em que \ Â ÒEßFÓ, isto é, em que<br />
"<br />
+ " , caso em que se tem F − ÒEß \Ó e lEFl œ + lE\l . Sendo ] − EG Û o<br />
definido por lE] l œ +lEGl , resulta de 8.4 que a recta \] é paralela a FG<br />
e, é claro que ] é mesmo o único elemento da recta EG com esta<br />
propriedade, em particular é o único elemento de EG para o qual isso<br />
Û<br />
acontece. É claro que G é também o único elemento de E] tal que FG seja<br />
paralela a \] , pelo que, aplicando 8.3 ao triângulo ÐEß\ß]Ñ e ao ponto<br />
Û Û Û Û<br />
F−ÒEß\Ó concluímos que . ÐÖ\] ß \E×Ñ œ . ÐÖFGß FE×Ñ e<br />
Û Û Û Û<br />
. ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ. <br />
w w w<br />
8.6 Diz-se que dois triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são semelhantes se se<br />
w w w w w w<br />
tem . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ e existe + ! tal<br />
w w w w w w<br />
que lE F l œ +lEFl, lF G l œ +lFGl e lG E l œ +lGEl . Diz-se então que +<br />
é a razão de semelhança (do primeiro triângulo para o segundo).<br />
8.7 A relação de semelhnça entre triângulos é uma relação de equivalência. Mais<br />
precisamente:<br />
1) Os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßGÑ são semelhantes, com razão de<br />
semelhança " .<br />
w w w<br />
2) Se ÐEßFßGÑe ÐEßFßG<br />
Ñ são semelhantes, com razão de sememelhança<br />
w w w +! , então ÐE ßFßGÑe<br />
ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de seme-<br />
" lhança + .<br />
w w w<br />
3) ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são semelhantes, com razão de semelhança + , e<br />
w w w ww ww ww<br />
ÐE ßFßG Ñ e ÐE ß F ß G Ñ são semelhantes, com razão de semelhança , ,<br />
ww ww ww<br />
então ÐEßFßGÑ e ÐE ßF ßG Ñ são semelhantes, com razão de semelhança<br />
+,.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição. <br />
w w w<br />
8.8 Dois triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são congruentes (cf. a definição<br />
4.11) se, e só se, são semelhantes, com razão de semelhança " .<br />
w w w<br />
8.9 (Critério LAL de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triân-<br />
w w w w<br />
gulos tais que . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e que exista + ! tal que lE F l œ +lEFl e<br />
w w lE G l œ +lEGl.<br />
Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes, com<br />
razão de semelhança + .<br />
Û Û<br />
Dem: Consideremos \ − EF e ] − EG tais que<br />
w w w w<br />
lE\l œ lE F l œ +lEFl, lE] l œ lE G l œ +lEGl.<br />
Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13), os triângulos ÐEß\ß]Ñ e<br />
w w w ÐEßFßG Ñ são congruentes. Tendo em conta 8.4,<br />
a recta \] é paralela à<br />
recta FG e podemos então aplicar 8.5<br />
para garantir que<br />
– 102–
w w<br />
lF G l œ l\] l œ +lFGl,<br />
w Û Û Û Û w<br />
. ÐFÑœ. ÐÖ\]ß\E×Ñœ. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐFÑ, w Û Û Û Û w<br />
. ÐG Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐGÑ, donde o resultado. <br />
w w w<br />
8.10 (Critério AA de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triân-<br />
w w w w<br />
gulos tais que . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ.<br />
Tem-se então que os dois<br />
triângulos são semelhantes.<br />
Dem: Seja \ − EF tal que lE\l œ lEF l.<br />
Tendo em conta , podemos<br />
Û w w 8.5<br />
considerar ] − EG \] FG +!<br />
Û tal que a recta seja paralela a , e, sendo o<br />
definido por lE\l œ +lEFl, vem lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖFGß FE×Ñ œ . ÐÖ\] ß \E×Ñ e . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.<br />
As<br />
w w<br />
igualdades lE\l œ lE F l,<br />
Û Û w w<br />
. ÐÖE\ßE]×Ñœ. ÐEÑœ. ÐEÑ, Û Û Û Û w w<br />
. ÐÖ\]ß\E×Ñœ. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐFÑœ. ÐFÑ, implicam, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEß\ß]Ñ e<br />
w w w ÐEßFßG Ñsão<br />
congruentes. Tem-se assim<br />
w Û Û Û Û Ûw w Ûw<br />
w w<br />
. ÐGÑœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐG Ñ,<br />
w w<br />
lE F l œ lE\l œ+lEFl,<br />
w w<br />
lE G l œ lE] l œ+lEGl,<br />
w w<br />
lF ß G l œ l\] l œ+lFGl,<br />
o que mostra que os dois triângulos são semelhantes. <br />
w w w<br />
8.11 (Critério LLL de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ dois triân-<br />
w w w w<br />
gulos tais que, para um certo +! , lEFlœ+lEFl, lFGlœ+lFGle<br />
w w lG E l œ +lGEl.<br />
Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes.<br />
ww<br />
Dem: Fixemos um ponto arbitrário E e duas semirrecta < e = de origem<br />
ww ww ww<br />
E tais que . Ð< ß= Ñ œ . ÐE Ñ. Consideremos pontos F − < e G − = <br />
w<br />
ww ww w w ww ww w w<br />
tais que lE F l œ lE F l œ +lEFl e lE G l œ lE G l œ +lEGl.<br />
Tendo em<br />
conta o critério LAL de semelhança (cf. 8.9), os triângulos ÐEßFßGÑ e<br />
ww ww ww ww ww<br />
ÐE ßF ßG Ñ são semelhantes, em particular tem-se também lF G lœ<br />
w w +lFGl œ lF G l.<br />
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34),<br />
vemos que os<br />
w w w ww ww ww<br />
triângulos ÐE ßFßG Ñ e ÐE ßF ßG Ñ são congruentes, em particular<br />
w w w<br />
semelhantes e daqui decorre, por transitividade, que ÐEßFßGÑe ÐEßFßG<br />
Ñ<br />
são semelhantes. <br />
8.12 (Teorema de Pitágoras) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo tal que . w<br />
ÐE Ñ œ "<br />
(um triângulo rectângulo em E).<br />
Tem-se então<br />
– 103–
# # #<br />
lFGl œ lEFl lEGl<br />
(a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) 20.<br />
Dem: Para simplificar o formalismo, vamos fixar .−Y,<br />
reparando que nos<br />
# # #<br />
bastará provar que se tem .ÐFß GÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ , isto é,<br />
# # # + œ- , , onde, como é habitual, se nota +œ.ÐFßGÑ, -œ.ÐEßFÑe<br />
,œ.ÐEßGÑ.<br />
w w w w w<br />
Uma vez que . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ # , vem . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ " , em<br />
w w<br />
particular . ÐF Ñ " e . ÐG Ñ " . Consideremos o pé da perpendicular H<br />
de E para a recta FG (cf. 4.28) e reparemos que, tendo em conta 4.33,<br />
tem-se H−ÒFßGÓ, com Hdiferente de Fe de G. Notemos Bœ.ÐFßHÑe<br />
Cœ.ÐHßGÑe reparemos que, por ser H−ÒFßGÓ,<br />
resulta de 1.25 que<br />
+ œ .ÐFß GÑ œ .ÐFßHÑ .ÐHßGÑ œ B C.<br />
c<br />
A<br />
1<br />
x<br />
1 1 y<br />
B D a<br />
C<br />
Reparemos agora que, tendo em conta 8.10, os triângulos ÐHßFßEÑ e<br />
ÐHßEßGÑ são ambos semelhantes ao triângulo ÐEßFßGÑ,<br />
no primeiro caso<br />
por ser<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖHFßHE×Ñœ"œ. ÐÖEFßEG×Ñ, ÖFHßFEלÖFEßFG× ,<br />
e no segundo caso por ser<br />
Û Û Û Û Û Û Û Û<br />
. ÐÖHEßHG×Ñ œ " œ . ÐÖEFßEG×Ñ, ÖGHßGE× œ ÖGEßGF× .<br />
<strong>Da</strong> primeira semelhança deduzimos que - œ + a da segunda que , œ + .<br />
# #<br />
Deduzimos destas duas igualdades que - œ B+ e , œ C+ , donde<br />
# # #<br />
- , œB+C+œÐBCÑ+œ+ ,<br />
– 104–<br />
b<br />
B - C ,<br />
como queríamos. <br />
8.13 (Corolário) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo tal que . w<br />
ÐE Ñ " (respectivamente<br />
. ). Tem-se então (respectivamente<br />
w<br />
# # #<br />
ÐE Ñ " lFGl lEFl lEGl<br />
20Lembrar que, por exemplo, lFGl é a família dos .ÐFßGÑ,<br />
indexada nas distâncias<br />
# #<br />
. − Y. A notação lFGl refere-se asim, naturalmente à família dos .ÐFßGÑ .<br />
Analogamente, o segundo membro é uma soma de duas famílias indexadas em .−Y e,<br />
como tal, é naturalmente uma família indexada em .−Y.
# # # lFGl lEFl lEGl ). Em consequência, se ÐEßFßGÑ é um triângulo tal<br />
# # # w<br />
que lFGl œ lEFl lEGl , então . ÐE Ñ œ " .<br />
w<br />
Dem: Escolhamos um ponto E arbitrário e duas semirrectas < e = de<br />
w w w<br />
origem E tais que . Ð< ß= Ñ œ " . Escolhamos pontos F − < e G − = <br />
w w w w tais que lE F l œ lEFl e lE G l œ lEGl e reparemos que, por 8.12,<br />
tem-se<br />
w w # w w # w w # w w<br />
lF G l œ lE F l lE G l . Supondo que . ÐE Ñ " œ . ÐE Ñ (respectiva-<br />
w w w w<br />
mente que . ÐE Ñ " œ . ÐE Ñ), resulta de 4.44 que lFGl lF G l (respecw<br />
w<br />
tivamente que lFGl lF G l)<br />
e portanto<br />
(respectivamente<br />
# w w# w w# w w# # #<br />
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl<br />
# w w# w w# w w# # #<br />
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl ).<br />
Por fim, se ÐEßFßGÑ é um triângulo tal que lFGl œ lEFl lEGl , então,<br />
w w<br />
pelo que vimos atrás, não pode ser . ÐE Ñ " nem . ÐE Ñ " , e portanto<br />
vem . .<br />
w<br />
ÐE Ñ œ " <br />
– 105–<br />
# # #<br />
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores<br />
9.1 Seja S−X fixado e consideremos a inversão relativamente a S,<br />
38@SÀX Ä X, que sabemos ser uma isometria (cf. 5.12 e 5.13).<br />
Tem-se então:<br />
a) Para cada recta
38@SÐVÑ−SV38@S Ð
9.3 (Corolário) Sejam
9.5 (Corolário) Sejam ! § X um plano e FßG À! Ä X duas aplicações<br />
isométricas tais que existam Eß Fß G em ! , não colineares, com<br />
FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑœGÐFÑe FÐGÑ œ GÐGÑ. Tem-se então F œ G.<br />
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5Þ 6,<br />
" œ F Ð! Ñ e # œ G Ð! Ñ são planos e F e G<br />
são bijecções de ! sobre estes planos. Uma vez que " e # contêm os pontos<br />
não colineares FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑœGÐFÑe FÐGÑ œ GÐGÑ,<br />
tem-se<br />
"<br />
" œ # . Podemos assim considerar a aplicação isométrica G ‰ F À! Ä ! ,<br />
" " "<br />
para a qual se tem G ‰ FÐEÑ œ E , G ‰ FÐFÑ œ F e G ‰ FÐGÑ<br />
œ G,<br />
" pelo que G ‰ F œ M. ! , o que implica que G œ F.<br />
<br />
9.6 (Isometrias do espaço com três pontos fixos não colineares) Seja<br />
FX À Ä Xuma isometria tal que existam EßFßG − Xnão<br />
colineares tais que<br />
FÐEÑ œ E, FÐFÑœFe FÐGÑ œ G. Tem-se então que, ou F œ M. X,<br />
ou,<br />
notando ! o plano que contém Eß Fß G, F œ 38@! (cf. 5.24).<br />
Em particular, se existir HÂ! tal que FÐHÑÁH(se<br />
existirem quatro<br />
pontos fixos não complanares), tem-se F œM.X.<br />
Dem: Tendo em conta 5.9, tem-se FX Ð Ñ œ X . Sendo ! o plano que contém os<br />
pontos Eß Fß G, resulta de 5.6 que F! Ð Ñ é um plano, o qual vai conter os<br />
pontos FÐEÑœE, FÐFÑœFe FÐGÑœG, o que implica que F Ð! Ñœ!<br />
e,<br />
tendo em conta 9.4, que a restrição de F a ! é a aplicação identidade de ! .<br />
Tendo em conta 5.10, sendo X e X os dois semiespaços de bordo ! (cf.<br />
2.11), tem-se que FX Ð Ñ e FX Ð Ñ<br />
são os dois semiespaços de Xde<br />
bordo<br />
F! Ð Ñ œ ! , pelo que duas coisas podem acontecer: Ou FX Ð Ñ œ X<br />
e<br />
FX Ð Ñ œ X, ou FX Ð Ñ œ X e FX Ð Ñ œ X.<br />
Em qualquer dos casos, para cada \−X Ï!<br />
, podemos considerar o pé da<br />
perpendicular E de \ sobre ! (cf. 5.23).<br />
O facto de a recta \E ser<br />
perpendicular ao plano ! , implica que, escolhando duas rectas distintas<br />
No caso em que existe H−X Ï! tal que FÐHÑœH,<br />
tem-se trivialmente<br />
FÐHÑ Á 38@! ÐHÑ, pelo que F não é igual a 38@! , e portanto F œ M. XÞ<br />
9.7 (Corolário) Sejam FGX ß À ÄXduas isometrias tais que existam EßFßGßH<br />
não complanares, com FÐEÑœGÐEÑ, FÐFÑ œ GÐFÑ, FÐGÑœGÐGÑe FÐHÑ œ GÐHÑ. Tem-se então F œ G.<br />
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5.9, FX Ð Ñ œ GX Ð Ñ œ X.<br />
Podemos assim<br />
" considerar a aplicação isométrica G ‰ FÀX Ä X,<br />
para a qual se tem<br />
" " " "<br />
G ‰ FÐEÑ œ E , G ‰ FÐFÑ œ F , G ‰ FÐGÑ œ G e G ‰ FÐHÑ<br />
œ H,<br />
" pelo que G ‰ F œ M. , o que implica que G œ F.<br />
<br />
X<br />
Vamos agora definir outras isometrias do espaço, as translações, por um<br />
processo que, embora pareça talvez artificial, tem a vantagem de não<br />
exigir definições diferenciadas para as imagens dos diferentes tipos de<br />
pontos. Estudaremos a seguir como propriedades, outras caracterizações<br />
alternativas, mais intuitivas mas que necessitam de separar os diferentes<br />
tipos de pontos.<br />
9.8 Sejam Eß F − X e notemos Q o ponto médio do par ÐEß FÑ (cf. 1.26).<br />
Definimos então a translação associada ao par ÐEß FÑ, 7FßEÀ X Ä X como<br />
sendo a isometria œ 38@ ‰ 38@ (composta de duas isometrias).<br />
7FßE Q E<br />
9.9 Nas condições anteriores, para cada recta
Comecemos por mostrar que, sendo 7FßEÐE<br />
Ñ œ F , ÐEß Fß F ß E Ñ é um<br />
paralelogramo. Em primeiro lugar, lembrando que 7FßEÀX Ä X é uma<br />
isometria, em particular injectiva, e que 7FßEÐEÑ œ F,<br />
concluímos que<br />
w w w<br />
FÁF e, tendo em conta 9.9, que FFœ7FßEÐEEÑé uma recta paralela a<br />
EEw , em particular está contida em ! , sendo mesmo estritamente paralela,<br />
w w uma vez que F Â EE , já que E Â EF.<br />
21 Em particular, podemos já<br />
w w<br />
concluir que os pontos Eß Fß F ß E são todos distintos. Notemos<br />
w w w w w w<br />
\œ38@EÐEÑ−! e reparemos que F ÂEE œ\E, pelo que EßFß\<br />
são não colineares. Notemos Q o ponto médio de ÐEßFÑ,<br />
tendo-se portanto<br />
w F œ 38@ Ð\Ñ.<br />
Q<br />
A<br />
X<br />
A' B'<br />
– 110–<br />
M<br />
w w w w<br />
Tem-se assim que E é o ponto médio de Ð\ßE Ñ e Q é o ponto médio de<br />
w w w " w<br />
Ð\ßFÑ, e portanto E−Ò\ßEÓ, Q −Ò\ßFÓ, l\Elœ# l\ßEl e l\Qlœ<br />
" w<br />
# l\F l. Tendo em conta o recíproco do teorema de Thales em 8.4,<br />
concluíw<br />
w<br />
mos que a recta EQ œ EF é paralela a E F , sendo mesmo estritamente<br />
w paralela, por ser E Â EF.<br />
Podemos agora aplicar 7.19 para concluir que<br />
w w ÐEßFßFßEÑ é efectivamente um paralelogramo.<br />
Resta-nos provar a unicidade de F nas condições do enunciado, para o que<br />
w<br />
ww ww w<br />
supomos que F −X é tal que ÐEßFßF ßEÑ seja um paralelogramo. Uma<br />
w ww w w<br />
vez que, tendo em conta 7.5, EF , tal como EF é paralela a EFe<br />
contém<br />
w w w w ww<br />
E, o axioma das paralelas implica que E F œ E F . O facto de termos<br />
w w w ww w ww<br />
paralelogramos implica que lE F l œ lEFl œ lE F l e que F e F estão<br />
w<br />
ambos no semiplano de ! de bordo EE que contém F e portanto estão<br />
w w w ww w<br />
ambos na mesma semirrecta de EF œEF de origem E.<br />
Concluímos<br />
ww w daqui finalmente que F œ F , o que prova a unicidade pretendida. <br />
O resultado precedente não caracteriza completamente a translação<br />
7FßEÀX Ä X uma vez que apenas nos diz o que é a imagem por esta<br />
w<br />
isometria dos pontos E que não pertencem a < œ EF.<br />
O próximo<br />
resultado dá uma caracterização da imagem por 7FßE dos pontos que estão<br />
21 w w<br />
Também podíamos concluir que lFFlœlEEl,<br />
mas não utilizamos esse facto para<br />
provar que temos um paralelogramo.<br />
w<br />
B
em
w w<br />
diz-nos que EFF E é um paralelogramo e portanto, por definição,<br />
w w w w<br />
lE F l œ lEFl e, tendo em conta 7.5,<br />
as rectas EF e E F são paralelas. No<br />
w w w<br />
caso em que E − EF, a caracterização de F œ 7FßEÐEÑ em 9.13 diz-nos<br />
w w w w w<br />
que lEFlœlEFl! , em particular F ÁE, e que F −EF,<br />
portanto<br />
w w w w<br />
EF œEF, em particular EFe EF são rectas paralelas. <br />
9.15 (Norma de uma translação) Suponhamos fixada uma função distância<br />
.−Y. <strong>Da</strong>da uma translação 7, definimos a .-norma de 7 (ou simplesmente<br />
w w<br />
norma de 7, se . estiver implícito) como sendo o número real .ÐEß7ÐEÑÑ, w w<br />
com E ponto arbitrário de X,<br />
número real que não depende de E , tendo em<br />
conta 9.14 e o facto de 7EßE ser a aplicação identidade. A norma referida será<br />
notada m7m , ou simplesmente m7m se . estiver implícito.<br />
.<br />
9.16 <strong>Da</strong>das duas funções distância .ß. − Y,<br />
tais que . œ -. , para um certo<br />
-! , tem-se, para cada translação 7, m7m w œ-m7m. – 112–<br />
w w<br />
. .<br />
9.17 (Propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função<br />
distância<br />
.−Y. Tem-se então:<br />
a) m7FßEm œ .ÐEßFÑ.<br />
b) m7m ! , sendo m7mœ! se, e só se, 7 œM. X.<br />
Dem: A alínea a) resulta da definição e do facto de se ter 7FßEÐEÑ œ F.<br />
A<br />
alínea b) resulta de a) e de se ter M. œ .<br />
X 7EßE <br />
9.18 (Um lema elementar mas útil) Seja ! § X um plano. Existem então<br />
pontos Eß Fß Gß H não complanares, nenhum deles pertencente a ! .<br />
Dem: Seja EÂ! (se não existisse, todo o conjunto seria complanar). Seja "<br />
o plano paralelo a ! tal que E−" (cf. 7.29),<br />
plano esse que é mesmo<br />
estritamente paralelo por ser EÂ! . Consideremos sucessivamente um ponto<br />
F−" tal que FÁEe um ponto G−" tal que GÂEF(se<br />
não existisse,<br />
todo o subconjunto de " seria colinear). Tem-se assim que Eß Fß G − " são<br />
não colineares e Eß Fß G Â ! , por ! e " serem estritamente paralelos.<br />
Escolhamos um ponto arbitrário \−! e escolhamos enfim H−\E,<br />
distinto de \ e E (por exemplo o ponto médio do par Ð\ßEÑ).<br />
Tem-se que<br />
\E não está contida em ! nem em " , donde \E ! œ Ö\× e<br />
\E" œÖE× e daqui resulta que H Â! e H Â" , portanto EßFßGßHsão<br />
não complanares. <br />
w w w ww<br />
9.19 (Lema) Sejam Eß F − X, com E Á F, E − X e F œ 7FßEÐE<br />
Ñ. <strong>Da</strong>do E<br />
w w ww ww<br />
ÂEF, tem-se então 7 ÐEÑœ7 w wÐEÑ.<br />
FßE F ßE<br />
A" B"<br />
A' B'<br />
ww ww w w<br />
FßE<br />
Dem: Notemos F œ 7 ÐE Ñ. Tendo em conta 9.14,<br />
Tem-se F Á E ,
ww ww w w ww ww<br />
F Á E e as rectas EF e E F são ambas paralelas à recta EF,<br />
logo<br />
paralelas entre si (cf. 7.11),<br />
sendo mesmo estritamente paralelas, uma vez<br />
ww w w w w ww ww<br />
que E ÂEF. Em particular, os pontos EßFßE ßF são todos distintos.<br />
w ww w ww<br />
Por outro lado, tendo em conta 9.9, a recta FF œ7FßEÐEEÑé paralela à<br />
w ww w w ww<br />
recta EE , portanto estritamente paralela, uma vez que F ÂEE , já que<br />
ww w w w w ww ww<br />
E ÂEF . Podemos assim aplicar 7.19 para garantir que ÐEßFßF ßE Ñé<br />
ww ww<br />
um paralelogramo o que, por 9.12, implica que F œ 7 w wÐE Ñ.<br />
<br />
9.20 (Teorema Fundamental das Translações) Sejam Eß Fß E − X e F œ<br />
w 7FßEÐE Ñ. Tem-se então 7FßE œ 7FwßEw.<br />
w w<br />
Dem: No caso em que EœF, tem-se 7FßE œM. X,<br />
portanto F œE,<br />
donde<br />
7FßE w w œM. X œ 7FßE.<br />
Suponhamos agora que EÁF.<br />
Tendo em conta o<br />
lema 9.19, as isometrias 7FßEß7FwßEwÀX Ä X coincidem no complementar de<br />
EF w w em X.<br />
Uma vez que esse complementar contém quatro pontos não<br />
colineares (aplicar o lema 9.18 , depois de considerar um plano arbitrário !<br />
w w<br />
contendo EF), deduzimos de 9.7 que 7 œ7<br />
w w. <br />
w w<br />
– 113–<br />
FßE F ßE<br />
FßE<br />
w w<br />
9.21 (Corolário) <strong>Da</strong>dos pontos E ßF −X, existe uma, e uma só, translação<br />
w w<br />
7ÀX Ä X tal que 7ÐEÑ œ F , a saber a translação 7FßE<br />
w w.<br />
w w<br />
Dem: Já sabemos que a translação 7FwßEw aplica E em F (cf. 9.11)<br />
e o<br />
resultado precedente diz-nos que qualquer translação 7FßE que verifique essa<br />
propriedade é igual a w w. <br />
7F ßE<br />
9.22 (A inversa duma translação) <strong>Da</strong>dos Eß F − X,<br />
tem-se que a isometria<br />
inversa da translação 7FßEÀX Ä X é a translação 7EßFÀX Ä X.<br />
Dem: No caso em que EœF, o resultado é trivial, uma vez que 7EßE é a<br />
identidade, e portanto inversa de si mesmo. Suponhamos assim que EÁF.<br />
Tudo o que temos que mostrar é que a isometria 7EßF ‰ 7FßEÀX Ä X é a<br />
w identidade. Comecemos por considerar E Â EF.<br />
Tendo em conta 9.12,<br />
w w w w w<br />
tem-se 7FßEÐEÑœF , onde F é o único ponto de X tal que ÐEßFßFßEÑ<br />
seja um paralelogramo.<br />
A B<br />
A' B'<br />
w w 6.12<br />
Mas então ÐFßEßEßFÑ também é um paralelogramo (cf. , passando<br />
w w<br />
pelo paralelogramo ÐEßFßFßEÑ),<br />
pelo que, mais uma vez pelo esmo<br />
resultado, tem-se w w E œ 7EßFÐF Ñ , portanto w w<br />
7EßF ‰ 7FßEÐEÑ<br />
œ E .<br />
w w w w<br />
Considerando agora quatro pontos não complanares EßEßEßE<br />
" # $ % não<br />
pertencentes a EF (aplicar 9.18 , depois de considerar um plano arbitrário !
contendo EF ), verificamos que a isometria 7EßF ‰ 7FßE<br />
tem quatro pontos<br />
fixos não complanares e portanto, por 9.6, 7 ‰ 7 œ M.X. 22 <br />
– 114–<br />
EßF FßE<br />
9.23 (Outra caracterização da inversa duma translação) Sejam < uma recta e<br />
0À< Ä ‘ um sistema de coordenadas. <strong>Da</strong>dos EßF − < , tem-se que a inversa<br />
w<br />
da translação 7FßEÀX Ä X é a translação 7FwßEÀX Ä X,<br />
onde F œ 38@EÐFÑ, e<br />
w portanto F também pode ser caracterizado pela condição de E ser o ponto<br />
médio do par ÐFß F Ñ ou pela de se ter<br />
w<br />
w<br />
0ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐFÑ 0ÐEÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑ.<br />
Dem: Tendo em conta 9.22, tem-se 7FßE œ 7EßF.<br />
Tendo em conta 9.20 e<br />
" 9.13, vem também 7 œ 7 w<br />
w , donde F œ 7 ÐEÑ,<br />
portanto<br />
FßE<br />
"<br />
FßE EßF<br />
w<br />
0ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐEÑ 0ÐFÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑ.<br />
0ÐFÑ0ÐF Ñ<br />
Desta igualdade sai que 0ÐEÑœ # o que, por 1.26,<br />
implica que E é<br />
w w<br />
o ponto médio de ÐFß F Ñ, ou seja, que F œ 38@EÐFÑ. <br />
9.24 (Lema) Sejam Eß F − X e Q o ponto médio do par ÐEß FÑ.<br />
Tem-se então<br />
38@Q ‰ 38@E œ 7 FßE œ 38@ F ‰ 38@Q.<br />
Dem: Sabemos que 7FßE œ 38@Q ‰38@Ee que 7EßFœ<br />
38@Q<br />
‰38@F.<br />
Podemos então aplicar 9.22 para garantir que<br />
M. X œ 7 ‰ 7 œ 38@Q ‰ 38@ ‰ 38@Q<br />
‰ 38@ ,<br />
w<br />
EßF FßE F<br />
E<br />
donde, lembrando que as inversões relativamente a um ponto são involutivas,<br />
38@ F ‰ 38@Q œ 38@ F ‰ 38@ Q ‰ M. X œ<br />
œ 38@ F ‰ 38@ Q ‰ 38@Q ‰ 38@ F ‰ 38@Q<br />
‰ 38@E œ<br />
œ 38@Q<br />
‰38@ . <br />
E<br />
9.25 (A composta de duas translações) Sejam 7ß5ÀX Ä X duas translações.<br />
Tem-se então que 5 ‰ 7ÀX Ä X é uma translação. Em consequência, se 7 œ<br />
7FßE e 5 œ 7GßF, tem-se 5 ‰ 7 œ 7GßE.<br />
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE. Tendo em conta 9.20,<br />
existe G − X<br />
tal que 5 œ 7GßF, nomeadamente G œ 5ÐFÑ.<br />
Sejam Q o ponto médio do par<br />
w ÐEßFÑe Q o ponto médio do par ÐFßGÑ.<br />
Tendo em conta 9.24 e o facto de<br />
as inversões relativamente a um ponto serem involutivas, tem-se<br />
5 ‰ 7 œ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ œ 38@ ‰ 38@<br />
Q F F Q Q Q<br />
w w ,<br />
o que mostra que 5 7 é uma translação, nomeadamente a translação 7 , ww<br />
‰ Q ßQ<br />
22Esta parte do argumento também podia ser substituída pela verificação directa,<br />
utilizando 9.13 depois de fixar um sistema de coordenadas da rcta EF,<br />
de que, para<br />
w w w<br />
E − EF , ainda se tem 7 ‰ 7<br />
ÐE Ñ œ E<br />
EßF FßE
ww w<br />
onde Q œ 38@QÐQÑ (uma vez que Q é então o ponto médio do par<br />
w<br />
ww ÐQß Q Ñ ). O facto de se ter também 5 ‰ 7 œ 7GßE<br />
resulta mais uma vez de<br />
9.20, uma vez que 5 ‰ 7ÐEÑ œ 5ÐFÑ<br />
œ G. <br />
9.26 (Corolário) O conjunto das translações<br />
7ÀX Ä X é um subgrupo do grupo<br />
das isometrias X Ä X. Esse subgrupo será notado XÞ<br />
Ä<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.10, 9.22 e 9.25. <br />
9.27 (Outras propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função<br />
distância .−Y.<br />
A norma das translações tem então, além das propriedades<br />
a) e b) em 9.17, ainda as propriedades:<br />
" c) m7 m œ m7m. d) m 5 ‰ 7m Ÿ m5mm7mÞ Dem: A alínea c) vem de que tem<br />
" w " w w w<br />
m7 m œ .Ð7ÐE Ñß 7 Ð7ÐE ÑÑÑ œ .Ð7ÐE Ñß E Ñ œ m7m. Quanto a d), temos, pela desigualdade triangular em 4.41,<br />
w w w w w w<br />
m 5‰ 7mœ .Ð57 Ð ÐE ÑÑß E Ñ Ÿ .Ð57 Ð ÐE ÑÑß 7ÐE ÑÑ .Ð7ÐEÑß E Ñ œ m5m m7m. <br />
w w<br />
9.28 (Precomutatividade) Sejam Eß Fß E − X. Então 7FßEÐEÑ œ 7EwßEÐFÑ.<br />
w w<br />
Dem: No caso em que EœF, tem-se 7FßEÐEÑœE œ7EwßEÐFÑe, naquele<br />
w w<br />
em que EœE, tem-se 7FßEÐEÑœFœ7EwßEÐFÑ. Tratemos agora o caso em que EÁF e EÁE. Há duas situações<br />
w<br />
possíveis:<br />
w w<br />
1) Suponhamos que E − < œ EF, e portanto também F − EE œ < . Tendo<br />
w<br />
em conta 9.13, tem-se então 7FßEÐE Ñ − < e 7EwßEÐFÑ<br />
− < e, tomando um<br />
sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ e pondo + œ 0ÐEÑ , , œ 0ÐFÑe - œ 0ÐGÑ,<br />
vem<br />
w w w<br />
FßE E ßE<br />
0Ð7 ÐEÑÑœ+ Ð,+Ñœ,Ð+ +Ñœ0Ð7 w ÐFÑÑ,<br />
w<br />
donde 7FßEÐE Ñ œ 7EwßEÐFÑ.<br />
w w<br />
2) Suponhamos que E Â EF, portanto também F Â EE . Tendo em conta<br />
w w w<br />
9.12, tem-se 7FßEÐE Ñ œ F , onde F é o único ponto de X tal que<br />
ÐEßFßFßEÑ<br />
w w seja um paralelogramo.<br />
A B<br />
A' B'<br />
w w 6.12<br />
Mas então ÐEßEßFßFÑ também é um paralelogramo (cf. , passando<br />
w w<br />
pelo paralelogramo ÐEßFßFßEÑ)<br />
o que, pelo mesmo resultado, garante que<br />
w<br />
w ÐFÑ œ F . <br />
7E ßE<br />
– 115–
Ä<br />
9.29 (Comutatividade do grupo X das translações) Quaisquer que sejam as<br />
translações 57X ß À Ä X, tem-se 5‰ 7œ 7‰ 5.<br />
w<br />
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE e seja E − X tal que 5 œ 7EwßE,<br />
w nomeadamente E œ 5ÐEÑ (cf. 9.20).<br />
w w<br />
s<br />
A t B<br />
t<br />
A' B'<br />
Sendo F œ 7FßEÐE Ñ, vem, por 9.20, 7 œ 7FwßEw<br />
e, tendo em conta 9.28,<br />
w<br />
tem-se também F œ 7EßE w ÐFÑ, donde 5 œ 7FßF<br />
w . Podemos agora aplicar 9.25<br />
para garantir que<br />
5 ‰ 7 œ 7 w ‰ 7 œ 7 w œ 7 w w ‰ 7 w œ 7 ‰ 5.<br />
<br />
– 116–<br />
s<br />
FßF FßE F ßE F ßE E ßE<br />
9.30 (Translações duma recta e dum plano) Seja 7ÀX Ä X uma translação.<br />
<strong>Da</strong>da uma recta < (respectivamente um plano ! ), diz-se que 7 é uma<br />
translação da recta < (respectivamente translação do plano ! ) se se tem<br />
7Ð
Ä<br />
7) <strong>Da</strong>dos Eß F − X,<br />
o vector EF é por vezes notado F E,<br />
esta notação<br />
sendo explicada pelo facto de se tratar do único vector<br />
Ä<br />
? tal que E?<br />
Ä<br />
œ F<br />
(cf. 9.21).<br />
8) As propriedades das normas em 9.17 e 9.27 tomam o aspecto mais habi-<br />
Ä<br />
tual: a) mEFmœ.ÐEßFÑ; b) m?m<br />
Ä<br />
! , sendo m?mœ!<br />
Ä<br />
se, e só se,<br />
Ä Ä<br />
? œ! ;<br />
c) m?<br />
Ä<br />
m œ m?<br />
Ä<br />
m; d) m?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
@ m Ÿ m?<br />
Ä<br />
m m@<br />
Ä<br />
m.<br />
9) Um vector<br />
Ä<br />
?œEFé<br />
frequentemente representado numa figura por um<br />
Ä<br />
segmento de extremidades E e F, com uma seta colocada em F (uma<br />
“flecha”). Essa representação já foi aliás utilizada na figura atrás, na demonstração<br />
de 9.29.<br />
Ä<br />
9.32 Seja < uma recta. Se E − < , um vector EF é um vector da recta < se, e só<br />
se, F−< . O conjunto dos vectores da recta < é um subgrupo próprio do<br />
Ä<br />
grupo comutativo X das translações, que notaremos<br />
Ä<br />
< , e que contém estritamente<br />
o subgrupo trivial Ö! × .<br />
Ä<br />
A um conjunto da forma<br />
Ä<br />
< , para alguma recta < , damos o nome de recta<br />
vectorial ou o de direcção.<br />
Como sinónimo de uma expressão<br />
Ä<br />
?−<<br />
Ä<br />
,<br />
também diremos que<br />
Ä<br />
< é uma direcção do vector<br />
Ä<br />
? . Dizemos também que<br />
Ä<br />
< é a direcção da recta < .<br />
Ä Ä<br />
Dem: Se EF é um vector da recta < , então F œ EFÐEÑ − < . Recipro-<br />
Ä Ä<br />
camente, se F−< , então, ou FœE e EFœ! œM. X é trivialmente um<br />
Ä<br />
w w<br />
vector de < , ou F Á E e então, para cada E − < , tem-se EFÐEÑ − < , pela<br />
Ä Ä<br />
caracterização em 9.13, o que mostra que EFÐ
Ä<br />
?œEF EÁF <<br />
Ä , com em . Tendo em conta 9.20 e 9.12,<br />
escolhendo então<br />
E − =<br />
Ä<br />
? œ EF F<br />
Ä<br />
w w w w<br />
, tem-se também , onde é o único ponto de X tal que<br />
w w w w<br />
ÐEßFßFßEÑ seja um paralelogramo, tendo-se então que EF é uma recta<br />
w<br />
que, tal como = , contém E e é paralela a < œ EF,<br />
portanto, pelo axioma das<br />
paralelas 7.10, EF œ= , donde F −= e<br />
Ä Ä<br />
w w w w w ? œEF −=<br />
Ä<br />
, como queríamos.<br />
Ficou assim provado que<br />
Ä<br />
< œ=<br />
Ä<br />
, em particular<br />
Ä<br />
< =<br />
Ä<br />
œ<<br />
Ä Ä<br />
ÁÖ!× .<br />
Suponhamos agora que<br />
Ä<br />
9.36 Seja ! um plano. Se E− ! , um vector EF é um vector do plano ! se, e só<br />
Ä<br />
se, F−! . O conjunto dos vectores do plano ! é um subgrupo próprio do<br />
Ä<br />
grupo comutativo X dos vectores, que notaremos<br />
Ä<br />
! , e que contém estritamente<br />
cada subgrupo,<br />
Ä<br />
< , com < recta contida em ! .<br />
A um conjunto da forma<br />
Ä<br />
! , para algum plano ! , damos o nome de plano<br />
vectorial.<br />
Ä Ä<br />
Dem: Se EF é um vector do plano ! , então F œ EFÐEÑ − ! . Recipro-<br />
Ä Ä<br />
camente, se F−! , então, ou FœEe EFœ! œM. X é trivialmente um<br />
Ä<br />
w w<br />
vector de ! , ou FÁEe então, para cada E −! , tem-se EFÐEÑ−!<br />
, pela<br />
w<br />
caracterização em 9.13 se E − EF e pela caracterização em 9.12 se<br />
Ä Ä<br />
w E Â EF, o que mostra que EFÐ! Ñ § ! , ou seja, EF é um vector de ! . Já<br />
Ä<br />
referimos que !œM. X é trivialmente um vector (translação) de ! . Fixemos<br />
E−<br />
ÄÄ<br />
?ß@<br />
Ä Ä<br />
! . Se são vectores de ! , tem-se ? œEF, com Fœ?ÐEÑ−<br />
Ä<br />
! ,<br />
donde, por 9.22, ?<br />
Ä Ä<br />
œFE é um vector de , e<br />
Ä Ä<br />
! @ œFG,<br />
com<br />
Gœ@ÐFÑ−<br />
Ä Ä<br />
?@œEG<br />
Ä Ä<br />
!, donde, tendo em conta 9.25,<br />
é um vector de<br />
! . Ficou assim provado que<br />
Ä<br />
! é efectivamente um subgrupo do grupo<br />
Ä<br />
comutativo X dos vectores e o facto de ser um subgrupo próprio resulta de<br />
Ä<br />
que, sendo GÂ! , EGÂ<br />
Ä<br />
! . No caso em que
Dem: Suponhamos que os planos ! e " são paralelos. Para mostrarmnos que<br />
Ä Ä<br />
! "<br />
Ä Ä<br />
œ , basta mostrarmos que ! § " , tendo em conta a simetria do papéis<br />
de ! e " . Seja então<br />
Ä<br />
?−<br />
Ä<br />
! , podendo já supor-se<br />
Ä Ä<br />
?Á! . Tem-se então<br />
Ä<br />
?œ<br />
Ä<br />
EF, com Eß F − ! , e portanto, sendo < œ EF que é uma recta contida em<br />
! , e portanto paralela a " (cf. a alínea a) de 7.24 ), tem-se<br />
Ä<br />
?−
o que mostra que se tem efectivamente<br />
Ä<br />
! œ<<br />
Ä<br />
Š=<br />
Ä<br />
.<br />
Ä<br />
Quanto à unicidade, se " é um plano vectorial tal que<br />
Ä Ä Ä<br />
Dem: Tendo em conta 9.37 , tem-se<br />
Ä<br />
! <<br />
Ä<br />
œÖ!× , o que nos permite utilizar<br />
Ä<br />
a notação<br />
Ä<br />
! Š<<br />
Ä<br />
, e < e ! não são paralelos, portanto ! .<br />
Dem: Tendo em conta a alínea 2) de 9.41 e a alínea 1) de 9.35 ,<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são<br />
Ä<br />
não colineares, em particular diferentes de ! . Sendo<br />
Ä<br />
< e<br />
Ä<br />
= as rectas<br />
vectoriais que contêm<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ , respectivamente, tem-se<br />
Ä<br />
< Á<br />
Ä<br />
= portanto, por<br />
9.39, sendo<br />
Ä<br />
! o único plano vectorial que contém<br />
Ä<br />
< e<br />
Ä<br />
= , tem-se<br />
Ä<br />
! œ<br />
Ä<br />
< Š=<br />
Ä<br />
.<br />
Ä<br />
Mas > § Î<br />
Ä<br />
! , senão<br />
ÄÄÄ<br />
?ß@ßA eram complanares, e portanto, tendo em conta<br />
9.42, vem<br />
Ä<br />
X œ<br />
Ä Ä<br />
! Š> œ Ð<<br />
Ä<br />
Š=ÑŠ><br />
Ä Ä<br />
œ<br />
Ä<br />
< Š=<br />
Ä Ä<br />
Š> . <br />
Vamos agora verificar como se pode definir uma noção de sentido para os<br />
vectores não nulos. Começamos, para isso, por definir uma relação de<br />
equivalência na classe dos pares ordenados de pontos distintos de X,<br />
relação a cujas classe de equivalência vamos chamar sentidos.<br />
– 122–
9.44 Consideremos a relação µ na classe dos pares ordenados ÐEßFÑ de pontos<br />
distintos de X definida por ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ se, e só se, a isometria (trans-<br />
Û Û<br />
lação) 7GßE<br />
aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta GH (lembrar que,<br />
Û<br />
tendo em conta 5.4 e 5.5, 7GßE<br />
aplica a semirrecta EF da recta EF sobre<br />
uma semirrecta da recta 7GßEÐEFÑ de origem 7GßEÐEÑ<br />
œ G).<br />
Tem-se então:<br />
a) A relação µ é de equivalência.<br />
b) <strong>Da</strong>dos pontos E Á F e G, tem-se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, com H œ 7GßEÐFÑ.<br />
Ä Ä Ä<br />
Se EF œ GH Á ! , então ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ.<br />
c) Se ÐEßFѵÐGßHÑ, então as rectas EFe GHsão<br />
paralelas.<br />
w w w<br />
d) Se E é diferente de F e de F , então ÐEß FÑ µ ÐEß F Ñ se, e só se, F e F<br />
estão numa mesma semirrecta de origem E (em particular, as rectas EF e<br />
EFw coincidem).<br />
Dem: a) O facto de se ter ÐEßFѵÐEßFÑé uma consequência de 7EßE ser a<br />
identidade e aplicar assim a semirrecta EF sobre ela mesma. Supondo que<br />
Û<br />
Û<br />
ÐEßFѵÐGßHÑ, a translação 7GßE<br />
aplica a semirrecta EF sobre a<br />
semirrecta GH e portanto a sua inversa que, tendo em conta , é ,<br />
Û<br />
9.22 7EßG<br />
Û Ä<br />
aplica GH sobre EF, o que mostra que ÐGßHѵÐEßFÑ.<br />
Por fim, se<br />
ÐEßFѵÐGßHÑ e ÐGßHѵÐIßJÑ a translação 7GßE aplica a semirrecta<br />
Û Û Û<br />
EF sobre a semirrecta GH e a translação 7IßG<br />
aplica a semirrecta GH sobre<br />
Û<br />
a semirrecta IJ pelo que, tendo em conta 9.25, 7IßE œ 7IßG ‰ 7GßEaplica<br />
a<br />
Û Û<br />
semirrecta EFsobre a semirrecta IJ, isto é, ÐEßFѵÐIßJÑ.<br />
b) Uma vez que Gœ7GßEÐEÑ, se Hœ7GßEÐFÑentão a translação 7GßE<br />
aplica a recta EF sobre a recta GH e a semirrecta EF sobre a semirrecta<br />
Û<br />
Û Ä Ä Ä<br />
GH, o que mostra que ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ. Supondo que EF œ GH Á ! , em<br />
particular EÁF e GÁH, tem-se Hœ7FßEÐGÑ(cf. 9.21)<br />
portanto, por<br />
9.28, vem também Hœ7GßEÐFÑdonde, como acabamos de verificar,<br />
ÐEßFѵÐGßHÑ.<br />
Û<br />
c) Uma vez que a isometria 7GßE<br />
aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta<br />
Û Û<br />
Û<br />
GH, a imagem da recta EF, que contém EF, é uma recta que contém GH,<br />
e<br />
portanto é a recta GH. Basta agora lembrarmos que, por 9.9,<br />
a imagem por<br />
7GßE da recta EF é uma recta paralela a EF.<br />
d) Trata-se de uma consequência imediata da definição e do facto de a<br />
translação 7EßE ser a identidade.<br />
<br />
9.45 Vamos chamar sentido em X a uma classe de equivalência de pares orde-<br />
nados ÐEß FÑ de pontos distintos de X para a relação<br />
µ definida em 9.44.<br />
A<br />
classe de equivalência do par ordenado ÐEß FÑ será notada ÒÐEß FÑÓµ .<br />
9.46 Chamamos direcção de um sentido ÒÐEß FÑÓ < Ä<br />
µ à recta vectorial associada<br />
à recta
9.47 Cada direcção<br />
Ä<br />
< é direcção de dois, e só dois, sentidos.<br />
<strong>Da</strong>do um sentido, chamamos sentido oposto ao outro sentido que tem a<br />
mesma direcção que o primeiro.<br />
w<br />
Dem: Fixemos E−< e sejam FßF−< distintos de E e em semirrectas de <<br />
w<br />
distintas de origem E. Tem-se então que que ÒÐEß FÑÓµ e ÒÐEß F ÑÓµ<br />
são<br />
sentidos cuja direcção é<br />
Ä<br />
< e são sentidos distintos uma vez que 7EßE é a<br />
identidade e aplica assim a semirrecta EF sobre ela mesma, que é distinta da<br />
Û<br />
Û w<br />
semirrecta EF . Suponhamos, enfim que ÒÐGß HÑÓµ<br />
é um sentido cuja<br />
direcção é<br />
Ä<br />
< , e portanto que = œ GH é uma recta paralela a < . Podemos<br />
ww<br />
então considerar F œ 7EßGÐHÑ, tendo-se portanto que a translação 7EßG<br />
Û Ûww aplica a semirrecta GH sobre a semirrecta EF , donde ÒÐGßHÑÓµ œ<br />
ww ww<br />
ÒÐEß F ÑÓµ e portanto a recta EF também é paralela a < , logo igual a < por<br />
ter o ponto E em comum. Tem-se assim que F pertence a uma das<br />
ww<br />
Û Ûw Ûww Û Ûw<br />
semirrectas EF ou EF , ou seja EF é uma das semirrectas EF ou EF e<br />
ww<br />
portanto, mais uma vez por 7EßE ser a identidade, ÒÐGß HÑÓµ œ ÒÐEß F ÑÓµ<br />
é<br />
w um dos sentidos ÒÐEß FÑÓµ ou ÒÐEß F ÑÓµ<br />
.<br />
<br />
9.48 <strong>Da</strong>do um vector<br />
Ä Ä<br />
? Á!<br />
Ä Ä<br />
, com ? œEF , chamamos sentido de<br />
Ä<br />
? ao sentido<br />
ÒÐEß FÑÓµ, sentido esse que está vem definido, tendo em conta a alínea b) de<br />
9.44.<br />
Repare-se que, como decorre das definições em 9.34 e 9.46,<br />
a direcção de um<br />
vector<br />
Ä Ä<br />
?Á! é igual à direcção do sentido de<br />
Ä<br />
? .<br />
9.49 <strong>Da</strong>do um vector<br />
Ä Ä<br />
? Á! , o vector ?<br />
Ä<br />
tem a mesma direcção mas sentido<br />
distinto do de<br />
Ä<br />
? (por outras palavras, tem sentido oposto ao de<br />
Ä<br />
? ) e portanto,<br />
sendo<br />
Ä<br />
< a direcção de<br />
Ä<br />
? qualquer vector<br />
Ä<br />
@ −<br />
Ä Ä<br />
< ÏÖ!× tem o sentido de<br />
Ä<br />
? ou<br />
o de ? .<br />
Ä<br />
Dem: Escolhendo E−< , tem-se<br />
Ä<br />
? œEF, para um certo F−< , e então,<br />
Ä<br />
tendo em conta 9.23, tem-se ?<br />
Ä<br />
œEF, onde F œ38@ÐFÑé um ponto de<br />
Ä w w<br />
E<br />
< < F < Ä<br />
na semirrecta de oposta à que contém e portanto é também a<br />
direcção de ?<br />
Ä w e o seu sentido ÒÐEß F ÑÓµ é distinto do sentido ÒÐEß FÑÓµ<br />
de<br />
Ä Û<br />
? (a translação 7EßE<br />
œ M. X aplica a semirecta EF sobre ela mesma, que é<br />
Û w<br />
diferente de EF ). Por fim, qualquer vector<br />
Ä Ä<br />
@ Á ! em<br />
Ä<br />
< tem que ter um dos<br />
dois sentidos cuja direcção é<br />
Ä<br />
< (cf. 9.47),<br />
e portanto o seu sentido tem que<br />
ser o de<br />
Ä<br />
? ou o de ?<br />
Ä<br />
.<br />
<br />
9.50 (Caracterização dos vectores por sentido e comprimento) Suponhamos<br />
fixada uma função distância .−Y . <strong>Da</strong>do um sentido ÒÐEßFÑÓµ<br />
e um real<br />
+!<br />
Ä Ä Ä<br />
existe um, e um só, vector ? −X ÏÖ!× com aquele sentido e tal que<br />
m?<br />
Ä<br />
m œ + .<br />
Dem: Fixado E , qualquer vector<br />
Ä Ä<br />
? Á ! pode escrever-se de maneira única<br />
Ä<br />
w w<br />
na forma EF , com F Á E e um tal vector tem o sentido ÒÐEß FÑÓ se, e só<br />
– 124–<br />
µ
Û Û w<br />
se, a translação 7EßE<br />
œM. X aplicar a semirrecta EFsobre a semirrecta EF<br />
w<br />
Û<br />
ou seja, se, e só se, F pertence à semirrecta EF.<br />
Ficamos assim reduzidos<br />
w<br />
Û<br />
ao facto conhecido que existe um, e um só elemento F da semirrecta EF tal<br />
que .ÐEßF Ñ œ + .<br />
w <br />
Como acontece com qualquer grupo abeliano, com notação aditiva, o<br />
conjunto dos vectores livres fica a ser automaticamente um módulo sobre<br />
o anel dos inteiros, onde a acção de associa a cada 8−<br />
e a cada<br />
vector<br />
Ä<br />
? um vector 8?<br />
Ä<br />
. Lembramos que o vector 8?<br />
Ä<br />
, com 8 ! , pode<br />
ser definido indutivamente por !<br />
Ä Ä<br />
? œ ! e Ð8 "Ñ?<br />
Ä<br />
œ 8?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
? (em particular<br />
"<br />
Ä<br />
? œ<br />
Ä<br />
? ) e que, para 8 Ÿ ! , define-se 8?<br />
Ä<br />
œ Ð8Ñ?<br />
Ä<br />
(para 8 œ !<br />
Ä<br />
as duas caracterizações dão o mesmo resultado, nomeadamente ! ), em<br />
particular ?<br />
Ä<br />
œ Ð"Ñ?<br />
Ä Ä Ä<br />
. Lembremos ainda que se tem 8! œ ! , para cada<br />
8−.<br />
O nosso próximo objectivo é mostrar que o conjunto dos vectores livres<br />
tem mesmo uma estrutura de espaço vectorial real, cuja soma é a definida<br />
anteriormente. A multiplicação pelos reais estende então automaticamente<br />
a multiplicação pelos inteiros referida atrás.<br />
9.51 Sejam<br />
Ä<br />
? um vector e +− ‘ . Define-se então um vector +?<br />
Ä<br />
, produto do real<br />
+ ? Ä<br />
pelo vector , do seguinte modo:<br />
a) Se +œ! ou<br />
Ä Ä<br />
? œ! , então +?<br />
Ä Ä<br />
œ! .<br />
b) Se +! e<br />
Ä Ä<br />
? Á! , então, fixado .− Y,<br />
+?<br />
Ä<br />
é o único vector com o<br />
mesmo sentido que<br />
Ä<br />
? e tal que m+?<br />
Ä<br />
m œ +m?<br />
Ä<br />
. m.<br />
(constata-se então que, para<br />
w cada . − Y, tem-se ainda m+?<br />
Ä<br />
m œ +m?<br />
Ä<br />
. w m.<br />
w,<br />
pelo que o resultado não<br />
depende da fixação de . ).<br />
c) Se +! e<br />
Ä Ä<br />
? Á! , então, fixado .− Y,<br />
+?<br />
Ä<br />
é o único vector com o<br />
sentido oposto ao de<br />
Ä<br />
? e tal que m+?<br />
Ä<br />
m œ l+lm?<br />
Ä<br />
. m.<br />
(constata-se então que,<br />
w para cada . − Y, tem-se ainda m+?<br />
Ä<br />
m œ l+lm?<br />
Ä<br />
. w m.<br />
w,<br />
pelo que o resultado não<br />
depende da fixação de . ).<br />
9.52 Como consequência imediata da definição anterior, vemos que, fixada uma<br />
função distância .−Y e considerando a norma associada, tem-se, para cada<br />
Ä Ä<br />
? − X e + − ‘ , m+?<br />
Ä<br />
m œ l+lm?<br />
Ä<br />
m.<br />
9.53 (Lema) Fixemos uma função<br />
distância .− Y e seja < uma recta e 0À
) Começamos por reparar que b) é trivial no caso em que<br />
Ä Ä<br />
?œ! (ou seja,<br />
EœS<br />
Ä Ä<br />
) ou @ œ! (ou seja, FœS)<br />
pelo que basta examinar o caso em que<br />
Ä Ä<br />
?Á!<br />
Ä Ä<br />
@Á!<br />
Ä Ä<br />
e . Tendo em conta 9.20,<br />
tem-se também @œEG,<br />
onde<br />
Gœ7ES ÐFÑ,<br />
e portanto, por 9.13,<br />
0ÐGÑœ 0ÐFÑÐ0ÐEÑ0ÐSÑÑœ0ÐEÑ0ÐFÑ. Basta agora atendermos que se tem, por 9.25,<br />
Ä<br />
? <br />
Ä<br />
@ œ SE EG œ SG<br />
Ä Ä Ä .<br />
c) Começamos por reparar que a conclusão é trivial no caso em que + œ!<br />
(vem HœS ) e naquele em que<br />
Ä Ä<br />
? œ! (vem EœS, donde 0ÐHÑœ! e<br />
HœS +Á!<br />
Ä Ä<br />
). Podemos assim supor já que se tem e ? Á! . Supondo que<br />
+ ! , 0ÐHÑ e 0ÐEÑ têm o mesmo sinal ou seja, por ser 0ÐSÑ œ ! , H e E<br />
Ä Ä<br />
estão na mesma semirrecta de origem S e portanto os vectores SH e SE<br />
têm o mesmo sentido, pelo que, por ser<br />
Ä<br />
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ +l0ÐEÑl œ<br />
œ +l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ + .ÐSß EÑ œ +mSEm<br />
Ä<br />
.<br />
.,<br />
Ä Ä<br />
tem-se efectivamente SHœ+SEœ+?<br />
Ä<br />
. Supondo agora que +! , 0ÐHÑe<br />
0ÐEÑtêm sinais distintos ou seja, por ser 0ÐSÑœ ! , H e E estão em semir-<br />
Ä Ä<br />
rectas opostas de origem S e portanto os vectores SH e SE têm sentidos<br />
opostos, pelo que, por ser<br />
Ä<br />
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ l+ll0ÐEÑl œ<br />
œ l+ll0ÐEÑ 0ÐSÑl œ l+l .ÐSß EÑ œ l+lmSEm<br />
Ä<br />
.<br />
.,<br />
Ä Ä<br />
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?<br />
Ä<br />
.<br />
<br />
9.54 (Primeiras propriedades da multiplicação pelos reais) <strong>Da</strong>dos +ß , − ‘ e<br />
ÄÄ<br />
?ß@ −<br />
Ä X que sejam colineares, tem-se:<br />
a) 0 †?<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
œ! , +†! œ! , "†?<br />
Ä<br />
œ?<br />
Ä<br />
e Ð"ц?<br />
Ä<br />
œ?<br />
Ä<br />
;<br />
b) Ð+ ,Ñ?<br />
Ä<br />
œ +?<br />
Ä<br />
,?<br />
Ä<br />
;<br />
c) Ð+,Ñ?<br />
Ä<br />
œ +Ð,?Ñ<br />
Ä<br />
;<br />
d) +Ð?@Ñœ+?+@<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
.<br />
Dem: As propriedades em a) resultam imediatamente da definição em 9.51.<br />
Para as restantes alíneas, fixemos um função distância .− Y,<br />
uma recta < tal<br />
que<br />
ÄÄ<br />
?ß@ −<<br />
Ä<br />
e um . -sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ com origem S −< e<br />
consideremos EßF−< tais que<br />
Ä Ä<br />
? œSEe Ä Ä<br />
@ œSF.<br />
Aplicando as diferentes<br />
conclusões do lema 9.53 , vemos que se tem +?<br />
Ä Ä<br />
œ SE e ,?<br />
Ä Ä<br />
w ww œ SE , com<br />
0ÐEÑ œ +0ÐEÑ 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑ +?<br />
Ä<br />
,?<br />
Ä<br />
œ SG 0ÐGÑœ Ä<br />
w ww e , donde , com<br />
– 126–
+0ÐEÑ ,0ÐEÑ œ Ð+ ,Ñ0ÐEÑ , o que mostra que +?<br />
Ä<br />
,?<br />
Ä<br />
œ Ð+ ,Ñ?<br />
Ä<br />
. Do<br />
mesmo modo, de ser ,?<br />
Ä<br />
œ SE , com 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑ,<br />
deduzimos que<br />
Ä ww ww<br />
+Ð,?Ñ<br />
Ä Ä ww<br />
œ SH, com 0ÐHÑœ +0ÐE Ñ œ +,0ÐEÑ , o que mostra que +Ð,?Ñ<br />
Ä<br />
œ<br />
Ð+,Ñ?<br />
Ä Ä<br />
? @<br />
Ä<br />
œEG 0ÐGÑœ0ÐEÑ0ÐFÑ<br />
Ä<br />
. Quanto a d), sabemos que , com ,<br />
donde +Ð?<br />
Ä<br />
<br />
Ä Ä<br />
w w<br />
@ Ñ œ EG , com 0ÐG Ñ œ +0ÐGÑ œ +0ÐEÑ +0ÐFÑ e, por<br />
outro lado, +?<br />
Ä Ä<br />
œ SE e +@<br />
Ä Ä<br />
w w w w<br />
œ SF, com 0ÐEÑ œ +0ÐEÑe 0ÐFÑ œ +0ÐFÑ<br />
donde resulta finalmente que +?<br />
Ä<br />
+@<br />
Ä Ä<br />
w œEG œ+Ð?<br />
Ä<br />
@Ñ<br />
Ä<br />
.<br />
<br />
9.55 (Espaço vectorial) O conjunto X Ä dos vectores do espaço, com a soma de<br />
vectores e a multiplicação de um vector por um número real atrás definidas, é<br />
um espaço vectorial.<br />
Dem: A única propriedade que nos falta estabelecer é a igualdade<br />
+Ð?@Ñœ+?+@<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
, no caso em que os vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@não<br />
são colineares,<br />
Ä<br />
em particular são ambos diferentes de ! . Podemos também já supor que<br />
Ä Ä Ä<br />
+! , uma vez que a igualdade se reduz a ! œ!! , no caso em que<br />
+œ! , e que o caso em que +! se reduz àquele em que +! , tendo em<br />
conta que se +! , pode-se escrever<br />
Ð+ÑÐ?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
@ Ñ œ +ÐÐ"ÑÐ?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
@ ÑÑ œ +ÐÐ?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
@ ÑÑ œ +ÐÐ?<br />
Ä<br />
Ñ Ð@<br />
Ä<br />
ÑÑ œ<br />
œ +Ð?<br />
Ä<br />
Ñ +Ð@<br />
Ä<br />
Ñ œ +ÐÐ"Ñ?<br />
Ä<br />
Ñ +ÐÐ"Ñ@<br />
Ä<br />
Ñ œ<br />
œ Ð+Ñ?<br />
Ä<br />
Ð+Ñ@<br />
Ä<br />
.<br />
Depois de termos mostrado que basta considerar o caso em que +! ,<br />
reparemos agora que basta considerar o caso em que !+" . Com efeito,<br />
se +œ" a igualdade pretendida é trivial (<br />
Ä<br />
? @<br />
Ä<br />
œ?<br />
Ä<br />
@<br />
Ä<br />
) e, se tivermos<br />
provado a igualdade no caso em que +" vemos que, para +" , tem-se<br />
"<br />
+ ", e portanto<br />
+Ð?<br />
Ä<br />
<br />
Ä "<br />
@ Ñ œ +ÐÐ +Ñ?<br />
Ä "<br />
Ð +Ñ@<br />
Ä "<br />
Ñ œ +Ð Ð+?<br />
Ä "<br />
Ñ Ð+@<br />
Ä<br />
ÑÑ œ<br />
+ + + +<br />
"<br />
œ +Ð Ð+?<br />
Ä<br />
+@<br />
Ä "<br />
ÑÑ œ Ð+ ÑÐ+?<br />
Ä<br />
+@<br />
Ä<br />
Ñ œ +?<br />
Ä<br />
+@<br />
Ä<br />
.<br />
+ +<br />
Passemos então à demonstração no caso em que +" . Escolhamos pontos<br />
Eß F<br />
Ä Ä<br />
? œ EF G<br />
Ä Ä<br />
tais que e um ponto tal que @ œ FG . O facto de<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ não<br />
serem colineares implica que Eß Fß G não são colineares e tam-se então<br />
+?<br />
Ä<br />
œ E\ \ − ÒEß FÓ E F<br />
Ä , onde é distinto de e de e definido pela condição<br />
de se ter lE\l œ +lEFl. Podemos então aplicar o lema 8.1 para considerar o<br />
único ponto ]−ÒEßGÓ tal que a recta \] seja paralela a FG,<br />
ponto esse<br />
que é diferente de E e de G, e o único ponto ^ − ÒGFÓ tal que a recta ]^<br />
seja paralela a EF, ponto esse que é diferente de F e de G,<br />
tendo-se então<br />
que ÐFß^ß]ß\Ñé<br />
um paralelogramo.<br />
– 127–
B<br />
A<br />
X Y<br />
Pelo teorema de Thales em 8.3, tem-se também lF^l œ l\] l œ +lFGl e<br />
Ä Ä<br />
lE] l œ +lEGl, a última igualdade implicando que E] œ +EG e a primeira<br />
Ä Ä<br />
que F^ œ +FG œ +@<br />
Ä<br />
. Por outro lado, tendo em conta 9.12 e 9.20,<br />
tem-se<br />
Ä Ä Ä<br />
F^ œ \] , e portanto também \] œ +@<br />
Ä<br />
. Podemos agora escrever, tendo<br />
Ä Ä Ä<br />
em conta 9.25, EGœEFFGœ?@<br />
Ä Ä<br />
, donde<br />
+Ð?<br />
Ä<br />
<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
@ Ñ œ E] œ E\ \] œ +?<br />
Ä<br />
+@<br />
Ä<br />
. <br />
9.56 Se < § < Ä<br />
X é uma recta, então a correspondente recta vectorial é um<br />
subespaço vectorial de dimensão " de e qualquer subespaço vectorial de<br />
Ä X<br />
dimensão " de é deste tipo.<br />
Ä X<br />
Dem: Fixemos uma função distância .−Y e seja 0À
Ä<br />
Z fosse um subespaço vectorial de dimensão # , podíamos considerar uma<br />
base<br />
ÄÄ<br />
@ßA de , que eram assim não colineares e portanto, por , existia<br />
Ä Z 9.40<br />
um plano vectorial<br />
Ä<br />
! contendo<br />
Ä<br />
@ e<br />
Ä<br />
A , de onde duduzimos que Z §<br />
Ä<br />
! ,<br />
Ä<br />
Ä<br />
donde Z œ<br />
Ä<br />
! , por se tratarem de subespaços vectoriais com a mesma<br />
dimensão. <br />
9.58 O espaço vectorial X Ä<br />
tem dimensão $ .<br />
Dem: Sejam Eß Fß Gß H pontos não complanares de X. Tendo em conta 9.41,<br />
os vectores<br />
Ä Ä<br />
? œ EF, Ä Ä<br />
@ œ EG e<br />
Ä Ä<br />
A œ EH são não complanares e portanto,<br />
por 9.43 , sendo<br />
ÄÄ Ä<br />
< , = e > as rectas vectoriais que contêm aqueles três<br />
Ä<br />
vectores, tem lugar a soma directa X œ<<br />
Ä<br />
Š=<br />
Ä Ä<br />
Š> de subgrupos abelianos<br />
Ä<br />
que são subespaços vectoriais de dimensão " , o que mostra que X é um<br />
espaço vectorial de dimensão $ .<br />
<br />
Vamos agora examinar alguns exemplos de utilização da Álgebra Linear<br />
Ä<br />
de X ao estudo da <strong>Geometria</strong>.<br />
9.59 (Caracterização vectorial dos pontos da recta) Sejam < uma recta e EßF<br />
dois pontos distintos de < . Tem-se então que os pontos \ − < são<br />
Ä Ä<br />
exactamente aqueles para os quais se tem E\ œ>EF , para um certo >−‘<br />
.<br />
Û<br />
Um tal > é então único e, sendo < œ EF e < a semirrecta oposta de origem<br />
E , tem-se \−< se, e só se, > ! e \−< se, e só se, >Ÿ! .<br />
Dem: Sabemos que os pontos \−< são exactamente aqueles para os quais<br />
Ä<br />
E\ −<br />
Ä<br />
< pelo que a primeira afirmação, tal como aquela sobre a unicidade de<br />
> EF Ä<br />
resulta simplesmente de que é um vector não nulo, e portanto uma base<br />
do subespaço vectorial<br />
Ä<br />
< de dimensão " . Afastando agora o caso trivial em<br />
que \œE , que pertence a ambas as semirrectas e para o qual >œ! , vemos<br />
Ä Ä<br />
que \−< se, e só se, os vectores E\ e EFtêm<br />
o mesmo sentido o que,<br />
tendo em conta a definição da multiplicação dos vectores pelos números reais<br />
em 9.51 , equivale a >! .<br />
<br />
9.60 (Combinações afins de pontos) Sejam ÐE4Ñ4−Numa família finita de<br />
pontos e Ð> 4Ñ 4−Numa família de números reais tal que ! > 4œ<br />
" . Existe então<br />
4<br />
um, e um só, ponto \ , que notaremos ! > E com a propriedade de, para<br />
Ä Ä<br />
qualquer ponto S, se ter S\ œ ! > SE .<br />
4<br />
– 129–<br />
4<br />
4 4<br />
Dem: A unicidade de um ponto \ nas condições pedidas é imediata. Para<br />
provarmos a existência, o que temos que repararar é que, escolhendo S e<br />
Ä Ä<br />
definindo \ pela condição de se ter S\ œ ! > SE , então dado outro<br />
4 4<br />
4<br />
4 4
ponto S , tem-se w<br />
Ä Ä Ä<br />
w w Ä Ä<br />
S\œSSS\œ " w<br />
> SS " > SE œ<br />
Ä Ä<br />
Ä<br />
œ " w<br />
> ÐS SSE Ñ œ " w<br />
> S E . <br />
– 130–<br />
4 4 4<br />
4 4<br />
4 4 4 4<br />
4 4<br />
9.61 (Nota) É comum utilizar notações<br />
alternativas para ! >E (quando se tem<br />
!<br />
4<br />
> œ ") que são claramente entendidas como sinónimas. Ninguém terá<br />
4<br />
dúvidas em entender, por exemplo, o que queremos significar ao escrever<br />
=E>F (se =>œ" ) ou = " E" â= 8E 8 (se = " â= 8 œ" ).<br />
Note-se que, como caso particular trivial, tem-se Eœ"E.<br />
9.62 (Caracterização afim dos pontos duma recta, duma semirrecta e dum<br />
segmento de recta) Sejam < uma recta e EßF dois pontos distintos de < .<br />
Tem-se então que os pontos \−< são exactamente aqueles para os quais se<br />
tem \œ=E>F , com =>œ" , os reais =ß> estando então univocamente<br />
determinados por \ . Tem-se então E œ "E !F, F œ !E "F e, para \<br />
Û Û<br />
com a decomposição referida, \−EF se, e só se, > ! , \−FEse,<br />
e só<br />
se, = ! (ou, o que é equivalente, >Ÿ" ) e portanto \−ÒEßFÓse,<br />
e só se,<br />
> ! e = ! (ou, o que é equivalente, >−Ò!ß"Ó).<br />
Dem: A caracterização dos pontos \−< como os que se podem escrever na<br />
forma \œ=E>F , com =>œ" , e a unicidade de uma tal decomposição<br />
resultam de 9.59, uma vez que, escolhendo como ponto auxiliar o ponto E,<br />
Ä Ä Ä Ä Ä<br />
aquela igualdade é equivalente a E\ œ =EE >EF, isto é a E\ œ >EF,<br />
igualdade que, para cada \ é verificada para um único > , o qual determina =<br />
pela condição =œ"> . É evidente que "E!Fœ"EœE e que<br />
Û<br />
!E "F œ "F œ F . O facto de se ter \ − EF se, e só se, > ! é uma<br />
consequência de 9.59 uma vez que, como já referido, \œ=E>F é<br />
Ä Ä<br />
equivalente a E\ œ >EF. Por simetria dos papéis de E e F,<br />
tem-se<br />
Û<br />
\−FE se, e só se, = ! , o que é equivalente a >Ÿ" , por ser >œ"=Þ<br />
Por fim, sabemos que \−ÒEßFÓ se, e só se, \ pertence simultaneamente às<br />
Û Û<br />
semirrectas EF e FE , o que é equivalente a > ! e = ! , e portanto<br />
também a >−Ò!ß"Ó uma vez que, como já referido, = ! é equivalente a<br />
>Ÿ". <br />
9.63 (Caracterização vectorial dos pontos do plano) Sejam ! um plano,
Ä Ä Ä<br />
E\ œ = EF > EG,<br />
com =ß > − ‘ . Um tal par de números reais Ð=ß >Ñ é então único e tem-se<br />
\−< se, e só se, >œ! , \− ! se, e só se, > ! e \−!<br />
se, e só se,<br />
>Ÿ!.<br />
Dem: Sabemos que os pontos \−! são exactamente aqueles para os quais<br />
Ä<br />
E\ −<br />
Ä!<br />
pelo que a primeira afirmação, assim como a unicidade do par<br />
Ä Ä<br />
Ð=ß >Ñ, resultam de que, por 9.35,<br />
EF e EG são vectores não colineares, logo<br />
linearmente independentes, do espaço vectorial<br />
Ä<br />
! de dimensão # , e portanto<br />
uma base deste espaço. A caracterização dos pontos \−< em 9.59<br />
mostra-nos que, para um tal ponto \ , tem-se \ − < se, e só se, > œ ! . Seja<br />
Ä Ä Ä<br />
agora \ − ! Ï < , portanto E\ œ = EF > EG com > Á ! . Tendo em conta<br />
a caracterização dos segmentos de recta em 9.62 , os pontos ]−ÒGß\Ósão<br />
aqueles para os quais, para um certo ?−Ò!ß"Ó,<br />
Ä Ä Ä Ä Ä<br />
E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ œ Ð" ? ?>ÑEG ?=EF.<br />
Se > ! , tem-se, para todo o ? − Ò!ß "Ó , " ? ?> ! portanto ] Â < , o<br />
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta < , e portanto \<br />
está no mesmo semiplano de bordo < que G , ou seja, \ − !.<br />
Suponhamos<br />
"<br />
agora que >! . Podemos então considerar o valor ?œ "> −Ò!ß"Ó,<br />
para o<br />
qual se tem "??>œ! , pelo que o ponto ] −ÒGß\Ódefinido<br />
por<br />
Ä Ä Ä<br />
E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ pertence a < , o que mostra que G e \ estão em<br />
semiplanos opostos de bordo < , ou seja, \ − !. <br />
9.64 (Corolário) Sejam ! um plano e Eß Fß G três pontos não colineares de ! e<br />
Û Û<br />
consideremos as semirrectas < œ EF e = œ EG de origem E e o<br />
correspondente sector angular nÖ< ß = × § ! . Tem-se então que um ponto<br />
Ä Ä Ä<br />
\ − !, com E\ œ ?EF @ EG, pertence a nÖ< ß = ×<br />
se, e só se, ? ! e<br />
@ !.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.63,<br />
se nos lembrarmos que<br />
nÖ< ß = × é a intersecção do semiplano de ! de bordo EF que contém G<br />
com o semiplano de ! de bordo EG que contém F. <br />
9.65 (Caracterização afim dos pontos dum plano, dum semiplano, dum<br />
sector angular e dum segmento triangular) Sejam ! um plano e Eß Fß G<br />
três pontos não colineares de ! . Tem-se então que os pontos \−!<br />
são<br />
exactamente aqueles para os quais se tem<br />
\œ=E>F?G,<br />
com =>?œ" e, para cada ponto \ nessas condições, o triplo Ð=ß>ß?Ñ<br />
fica univocamente determinado. Além disso, para um ponto \ nessas<br />
condições, tem-se que \ pertence à recta EF se, e só se ? œ ! , \ pertence<br />
ao semiplano de ! de bordo EF que contém G se, e só se, ? ! , \<br />
pertence<br />
– 131–
Û Û<br />
ao sector angular nÖEFß EG× se, e só se, > ! e ? ! e \ pertence ao<br />
segmento triangular ÒEßFßGÓ se, e só se, = !ß> ! e ? ! .<br />
Dem: A caracterização dos pontos \−! como os que se podem escrever na<br />
forma \œ=E>F?G , com =>?œ", e a unicidade de uma tal<br />
decomposição resultam de 9.63,<br />
uma vez que, escolhendo como ponto<br />
auxiliar o ponto E,<br />
aquela igualdade é equivalente a<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
E\ œ =EE >EF ?EG,<br />
Ä Ä Ä<br />
isto é a E\ œ >EF ?EG , igualdade que, para cada \ é verificada para<br />
um único par Ð>ß ?Ñ , o qual determina = pela condição = œ " > ? . As<br />
condições referidas no enunciado para que \ pertença à recta EF,<br />
ao<br />
Û Û<br />
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ao sector angular nÖEFß EG×<br />
resultam das correspondentes condições em 9.63 e 9.64 e a condição para<br />
que \ pertença ao segmento triangular ÒEßFßGÓ resulta de que isso é<br />
Û Û<br />
equivalente a \ pertencer simultaneamente ao sector angular nÖEFßEG× e<br />
ao semiplano de ! de bordo FG que contém E. <br />
9.66 (Caracterização vectorial dos pontos do espaço) Sejam ! um plano e<br />
HÂ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém He<br />
X<br />
o outro<br />
semiespaço com o mesmo bordo (cf. 2.11). Sejam Eß Fß G pontos não<br />
colineares de ! . Tem-se então que, para cada \−X, o vector E\ escreve-se<br />
Ä<br />
de modo único na forma<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
E\ œ = EF > EG ? EH,<br />
tendo-se então que \− ! se, e só se, ?œ! , \− Xse,<br />
e só se, ? ! e<br />
\− X se, e só se, ?Ÿ! .<br />
Dem: Uma vez que Eß Fß Gß H são não complanares, resulta de 9.41 que os<br />
Ä Ä Ä<br />
vectores EF, EG e EH são não complanares, portanto linearmente indepen-<br />
Ä<br />
dentes, logo uma base de X , o que mostra que, para cada ponto \ , o vector<br />
Ä Ä Ä Ä Ä<br />
E\ escreve-se de modo único na forma E\ œ = EF > EG ? EH,<br />
com<br />
=ß>ß?− ‘ . O facto de se ter \− ! se, e só se, ?œ! é uma consequência da<br />
caracterização dos pontos de ! em 9.63 . Seja agora \−X Ï!<br />
, portanto<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
E\ œ = EF > EG ? EH com ? Á ! . Tendo em conta a caracterização<br />
dos segmentos de recta em 9.62 , os pontos ]−ÒHß\Ósão<br />
aqueles para os<br />
quais, para um certo @−Ò!ß"Ó,<br />
Ä Ä Ä Ä Ä Ä<br />
E] œ Ð" @ÑEH @E\ œ Ð" @ @?ÑEH @=EF @>EG.<br />
Se ? ! , tem-se, para todo o @ − Ò!ß "Ó , " @ @? ! portanto ] Â ! , o<br />
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta ! , e portanto \<br />
está no mesmo semiespaço de bordo ! que G , ou seja, \ − X.<br />
Suponhamos<br />
"<br />
agora que ?! . Podemos então considerar o valor @œ "? −Ò!ß"Ó,<br />
para o<br />
qual se tem "@@?œ! , pelo que o ponto ] −ÒGß\Ódefinido<br />
por<br />
– 132–
Ä Ä Ä<br />
E] œ Ð" @ÑEH @E\ pertence a ! , o que mostra que G e \ estão em<br />
semiespaços opostos de bordo ! , ou seja, \−X. <br />
9.67 (Caracterização afim dos pontos do espaço e dum semiespaço) Sejam !<br />
um plano e HÂ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém He<br />
Eß Fß G<br />
colineares de ! . Tem-se então que qualquer ponto \−X<br />
se escreve de modo<br />
único na forma<br />
\œ=E>F?G@H,<br />
<br />
X o outro semiespaço com o mesmo bordo. Sejam pontos não<br />
com =>?@œ" , tendo-se \−! se, e só se, @œ! , \−Xse,<br />
e só<br />
se, @ ! e \−X se, e só se, @Ÿ! .<br />
Dem: O facto de qualquer ponto \−X se poder escrever na forma<br />
\œ=E>F?G@H , com =>?@œ" , e a unicidade de uma tal<br />
decomposição resultam de 9.66,<br />
uma vez que, escolhendo como ponto<br />
auxiliar o ponto E,<br />
aquela igualdade é equivalente a<br />
Ä Ä Ä Ä Ä<br />
E\ œ =EE >EF ?EG @EH,<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
isto é a E\ œ >EF ?EG @EH , igualdade que, para cada \ é verificada<br />
para um único triplo Ð>ß?ß@Ñ , o qual determina = pela condição<br />
=œ">?@ . As condições referidas no enunciado para que \ pertença<br />
a ! , a X e a X<br />
resultam das correspondentes condições em 9.66. <br />
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno.<br />
10.1 Existe uma única aplicação .s que a cada par de vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ não<br />
colineares (em particular não nulos) associa .sÐ?ß@Ñ−Ó!ß#Ò<br />
ÄÄ<br />
tal que, sempre<br />
que<br />
Ä Ä<br />
? œ EF e<br />
Ä Ä<br />
@ œ EG, se tenha Ð?<br />
ÄÄ Û Û<br />
s. ß @ Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ (cf. 3.16).<br />
Dizemos que .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ é a amplitude do ângulo dos vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ .<br />
Dem: A unicidade de uma aplicação .s nas condições pedidas é uma<br />
consequência de que, fixado E, existem pontos únicos F e G tais que<br />
Ä Ä<br />
? œ EF<br />
Ä Ä<br />
Û Û<br />
e @ œ EG e então Eß Fß G são não colineares, pelo que EF e EG<br />
são semirrectas com a mesma origem determinando rectas distintas. Para<br />
terminar a demonstração, tudo o que temos que verificar é que, se for<br />
também<br />
Ä Ä<br />
? œEF e<br />
Ä Ä<br />
w w w w @ œEG,<br />
então tem-se<br />
Û Û Ûw w Ûw<br />
w . ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG ×Ñ.<br />
Ora, por 9.28,<br />
uma vez que<br />
w w w<br />
F œ 7FßEÐEÑ, tem-se também F œ 7EwEÐFÑ<br />
e, do mesmo modo<br />
w w<br />
G œ 7EE w ÐGÑ e, evidentemente, E œ 7EE<br />
w ÐEÑ.<br />
Tendo em conta o facto de<br />
7EE w ÀX Ä X ser uma isometria, deduzimos agora de que se tem<br />
5.8<br />
Û Û Ûw w Ûw<br />
w efectivamente . ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG ×Ñ.<br />
<br />
– 133–
10.2 Extendemos a definição anterior definindo, quando<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são vectores não<br />
nulos colineares, a amplitude do ângulo .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ ! , se os vectores tiverem<br />
o mesmo sentido, e .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ # , se os vectores tiverem sentidos diferentes.<br />
10.3 Quaisquer que sejam os vectores não nulos ? ÄÄ<br />
ß@ e +! , tem-se:<br />
a) . sÐ?ß@Ñœ ÄÄ<br />
. sÐ@ß?Ñ<br />
ÄÄ<br />
;<br />
b) . sÐ+?ß@Ñœ ÄÄ<br />
. sÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
;<br />
c) . sÐ?ß@Ñœ# ÄÄ<br />
. sÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Dem: A alínea a) resulta trivialmente das definições em 10.1 e 10.2.<br />
Quanto<br />
a b), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de<br />
Ä<br />
? e +?<br />
Ä<br />
terem o mesmo sentido e, no caso em que não são colineares, basta<br />
repararmos que, sendo<br />
Ä Ä<br />
? œ EF e<br />
Ä Ä<br />
@ œ EG , tem-se +?<br />
Ä Ä<br />
w œ EF , onde, por<br />
Ä Ä<br />
w Û Û w<br />
EF ter o mesmo sentido que EF, as semirrectas EF e EF coincidem.<br />
Qanto a c), no caso em que os vectores são colineares, temos uma<br />
consequência de<br />
Ä<br />
? e ?<br />
Ä<br />
terem sentidos opostos e, no caso em que não são<br />
colineares, basta repararmos que se tem ?<br />
Ä<br />
œ EF , onde as semirrectas EF<br />
Ä ww Û<br />
ÛwÛ Û Ûww<br />
Û<br />
e EF são opostas, e portanto os ângulos ÖEFß EG× e ÖEF ß EG× são<br />
adjacentes. <br />
10.4 (Nota) Os resultados precedentes tornam possível definir, sem dificuldade,<br />
a amplitude do ângulo de duas semirrectas, não necessariamente com a<br />
mesma origem, de tal modo que quando elas tenham a mesma origem e<br />
tenham rectas continentes distintas, se reencontre a noção em 3.16.<br />
10.5 Dizemos que dois vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são ortogonais, ou perpendiculares,<br />
e<br />
escrevemos<br />
Ä<br />
?¼@<br />
Ä Ä<br />
, se pelo menos um deles for ! ou, sendo ambos não<br />
nulos, for .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ " .<br />
10.6 A relação de ortogonalidade verifica as seguintes condições:<br />
a) Se<br />
Ä<br />
?¼@<br />
Ä<br />
, então<br />
Ä<br />
@¼?<br />
Ä<br />
;<br />
b) Se<br />
Ä<br />
?¼@<br />
Ä<br />
, então, para cada +− ‘ ,<br />
Ä<br />
?¼+@<br />
Ä<br />
.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência imediata de 10.3 se repararmos que,<br />
afastando já os casos triviais em que<br />
Ä Ä<br />
?œ! ou<br />
Ä Ä<br />
@œ! , se s. Ð?ß@Ñœ"<br />
ÄÄ<br />
, então<br />
tem-se também . sÐ?ß@Ñœ# Ä Ä<br />
. sÐ?ß@Ñœ"<br />
ÄÄ<br />
, donde, para +! ,<br />
. sÐ?ß+@Ñœ Ä Ä<br />
. Ð?ß@Ñœ"<br />
ÄÄ<br />
, para +! , . sÐ?ß+@Ñœ Ä Ä<br />
. sÐ?ß@Ñœ"<br />
Ä Ä<br />
e, para<br />
+œ! +@<br />
Ä Ä<br />
, œ! , donde<br />
Ä<br />
? ¼+@<br />
Ä<br />
. <br />
10.7 (O complementar ortogonal de um conjunto) Seja T § Ä X um conjunto<br />
de vectores. Define-se então o complementar ortogonal de T como sendo o<br />
¼ conjunto T dos vectores<br />
Ä Ä<br />
?− X tais que<br />
Ä<br />
?¼@<br />
Ä<br />
para qualquer<br />
Ä<br />
@−T.<br />
10.8 Tem-se:<br />
a) Para cada T , ! Ä − T¼ ;<br />
¼ ¼<br />
b) Se T § U, então T ¨ U ;<br />
c) g œ Ä ¼ X<br />
– 134–
Ä Ä ¼ d) Ö! × œ X<br />
ļ Ä<br />
e) X œÖ!× .<br />
Ä<br />
Dem: As alíneas a) e d) resultam de se ter !¼@<br />
Ä<br />
, para todo o<br />
Ä<br />
@.<br />
As alíneas<br />
b) e c) são triviais. A alínea e) resulta de a) e de que, se<br />
Ä Ä<br />
?Á! , então não se<br />
tem<br />
Ä<br />
? ¼?<br />
Ä<br />
( Ð?ß?Ñœ!<br />
ÄÄ<br />
) e portanto<br />
Ä Ä<br />
. s<br />
? Â X . ¼ <br />
10.9 (O complementar ortogonal de um vector não nulo e de uma recta<br />
vectorial) Sejam<br />
Ä Ä<br />
? Á! um vector e<br />
Ä<br />
< a única recta vectorial tal que<br />
Ä<br />
? −<<br />
Ä<br />
(cf. 9.34). Tem-se então que Ö?<br />
Ä ¼ × œ<br />
ļ < é um plano vectorial<br />
Ä<br />
! , para o qual<br />
Ä<br />
se tem X œ<<br />
Ä<br />
Š<br />
Ä<br />
! . Mais precisamente, escolhendo T −< , pode-se tomar<br />
para ! o plano perpendicular a < que passa por T (cf. 5.21).<br />
Dem: Uma vez que<br />
Ä<br />
< é um espaço vectorial de dimensão " que contém o<br />
vector não nulo<br />
Ä<br />
? , segue-se que todo o vector de<br />
Ä<br />
< é da forma +?<br />
Ä<br />
com<br />
+− ? Ä<br />
‘ e portanto qualquer vector ortogonal a é ortogonal a todos os<br />
vectores de<br />
Ä<br />
< , o que mostra que se tem Ö?×<br />
Ä ¼ œ<br />
ļ<br />
< . Escolhamos T − < , seja<br />
U−<<br />
Ä<br />
? œTU < T<br />
Ä<br />
tal que e seja ! o plano perpendicular a que passa por .<br />
Cada vector<br />
Ä<br />
@−<br />
Ä<br />
! é perpendicular a<br />
Ä<br />
? visto que, supondo-o já diferente de<br />
Ä<br />
!<br />
Ä<br />
@ œ TE E − T TE<br />
Ä<br />
, tem-se , com ! distinto de e então as rectas e<br />
TU œ < sÐ?ß@Ñœ "<br />
ÄÄ<br />
são perpendiculares (cf. 5.17 ), em particular . .<br />
Reciprocamente, se<br />
Ä Ä<br />
@− X é perpendicular a<br />
Ä<br />
? , então<br />
Ä<br />
@−<br />
Ä<br />
! visto que,<br />
supondo já<br />
Ä Ä<br />
@Á! , podemos escrever<br />
Ä Ä<br />
@œTF, para um certo F−Xe<br />
então<br />
a recta TF é perpendicular à recta TU œ < donde, por 5.19 , TF § ! , em<br />
particular<br />
Ä Ä<br />
@œTF−<br />
Ä<br />
! . Ficou assim provado que<br />
Ä<br />
! œ<<br />
Ä<br />
e o facto de ter<br />
Ä<br />
lugar a soma directa X œ<<br />
Ä<br />
Š<br />
Ä<br />
! resulta, por exemplo, de 9.42,<br />
uma vez que<br />
Ä<br />
<<br />
Ä Ä Ä<br />
! œÖ!× , já que um vector diferente de ! nunca é perpendicular a si<br />
mesmo. <br />
10.10 (Corolário) O complementar ortogonal de qualquer conjunto T § Ä X é um<br />
Ä Ä Ä<br />
subespaço vectorial de X, e portanto é Ö! × , ou X,<br />
ou uma recta vectorial<br />
Ä<br />
< ,<br />
ou um plano vectorial<br />
Ä<br />
! .<br />
Ä ¼ ¼<br />
Dem: Já sabemos que g œ X e, se T Á g,<br />
T é trivialmente a intersecção<br />
dos Ö?<br />
Ä ¼ × , com<br />
Ä<br />
? − T e portanto, sendo uma intersecção de subespaços<br />
vectoriais é um subespaço vectorial. Basta agora reparar que, uma vez que X Ä<br />
tem dimensão $ , os seus subespaços vectoriais só podem ter dimensão ! , " , #<br />
ou $ , no primeiro caso sendo igual a Ö!× , no segundo sendo uma recta<br />
Ä<br />
vectorial<br />
Ä<br />
< (cf. 9.56), no terceiro sendo um plano vectorial (cf. 9.57)<br />
e no<br />
Ä<br />
quarto sendo igual a X .<br />
<br />
10.11 (O complementar ortogonal de um plano vectorial) <strong>Da</strong>do um plano<br />
vectorial<br />
Ä<br />
!<br />
ļ , tem-se que ! é uma recta vectorial<br />
Ä<br />
< , para a qual se tem<br />
Ä<br />
X œ<br />
Ä<br />
! Š<<br />
Ä<br />
. Mais precisamente, escolhendo T − ! , pode-se tomar para < a<br />
– 135–
ecta perpendicular a ! que passa por T (cf. 5.22).<br />
Dem: Escolhamos T− ! e seja < a recta perpendicular a ! que passa por T.<br />
Cada vector<br />
Ä<br />
@−<<br />
Ä<br />
é ortogonal a<br />
Ä<br />
, visto que, supondo já<br />
Ä Ä<br />
!<br />
@Á! , podemos<br />
escrever<br />
Ä Ä<br />
@œTUcom U−< distinto de Te então<br />
Ä<br />
@é<br />
ortogonal a qualquer<br />
vector<br />
Ä<br />
?−<br />
Ä<br />
visto que, supondo já<br />
Ä Ä<br />
?Á! , tem-se<br />
Ä Ä<br />
!<br />
?œTE,<br />
para um certo<br />
E−! distinto de T e então a recta TEestá<br />
contida em ! portanto, por<br />
definição, < œ TU é perpendicular a TE, em particular sÐ?ß@Ñœ " .<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Suponhamos, reciprocamente, que<br />
Ä Ä<br />
@−X<br />
é ortogonal a<br />
Ä<br />
! e mostremos que<br />
Ä<br />
@−<<br />
Ä Ä Ä<br />
@Á!<br />
Ä Ä<br />
, para o que podemos já supor , portanto @œTU,<br />
para um<br />
certo U−X distinto de T . Para cada recta =§ ! com T −= , podemos<br />
considerar E−= distinto de T e então<br />
Ä Ä<br />
@ é ortogonal ao vector TE−<br />
Ä<br />
! ,<br />
w<br />
pelo que a recta < œ TU é perpendicular à recta =œ TE.<br />
Ficou assim<br />
w provado que < é perpendicular a todas as rectas de ! que passam por T,<br />
ou<br />
w w<br />
seja < é perpendicular ao plano ! o que, por 5.22,<br />
implica que < œ < , e<br />
portanto<br />
Ä Ä<br />
@œTU−<<br />
Ä Ä<br />
. O facto de se ter X œ<br />
Ä<br />
! Š<<br />
Ä<br />
é uma consequência de<br />
10.9, uma vez que ! é o plano perpendicular a < que passa por T. <br />
Vamos agora definir o produto interno de vectores do espaço, associado a<br />
uma função distância que se suporá fixada. Começamos, para isso, por<br />
considerar o caso mais simples em que os vectores são colineares.<br />
10.12 Consideremos fixada uma função distância .−Y e notemos<br />
simplesmente m?<br />
Ä<br />
m a norma m?<br />
Ä<br />
m dum vector<br />
Ä<br />
.<br />
? , associada a . (cf. 9.15 e a<br />
alínea 8) em 9.31 ). <strong>Da</strong>dos dois vectores colineares<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@,<br />
definimos o seu<br />
produto interno Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
− , ou simplesmente Ø?ß@Ù−<br />
ÄÄ<br />
. ‘ ‘ , se . estiver<br />
implícito, do seguinte modo:<br />
1) Se<br />
Ä Ä<br />
?œ! ou<br />
Ä Ä<br />
@œ! , definimos Ø?ß@Ùœ!<br />
ÄÄ<br />
;<br />
2) Se<br />
Ä Ä<br />
?Á! e<br />
Ä Ä<br />
@Á! tiverem o mesmo sentido (cf. 9.48),<br />
definimos<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
m.<br />
3) Se<br />
Ä Ä<br />
?Á! e<br />
Ä Ä<br />
@Á! tiverem sentidos opostos (cf. 9.48 e 9.47),<br />
definimos<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
m.<br />
w w<br />
10.13 <strong>Da</strong>das duas funções distância .ß. − Y,<br />
com . œ -. , para um certo<br />
- ! , tem-se, quaisquer que sejam os vectores colineares<br />
ÄÄ<br />
?ß@, Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
. œ w<br />
# -Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
..<br />
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição, tendo em conta a<br />
correspondente propriedade para as normas em 9.16. <br />
10.14 (Corolário) Consideremos fixada uma função<br />
distância .−Y.<br />
Qualquer<br />
que seja o vector<br />
Ä<br />
? , tem-se Ø?ß?Ùœm?m<br />
ÄÄ Ä # .<br />
Dem: Se<br />
Ä Ä<br />
?Á! , temos uma consequência da alínea 2) da definição.<br />
Se<br />
Ä Ä<br />
?œ! , ambos os membros da igualdade são ! . <br />
– 136–
10.15 (Lema) Consideremos fixada uma função<br />
distância .− Y e sejam < uma<br />
recta e 0À< Ä ‘ um d-sistema de coordenadas de origem S − < . Quaisquer<br />
Ä Ä<br />
que sejam Eß F − < , tem-se então ØSE ß SFÙ œ 0ÐEÑ0ÐFÑ.<br />
Dem: Uma vez que 0ÐSÑœ ! , a igualdade anterior é trivial no caso em que<br />
Ä Ä Ä<br />
um dos vectores SE e SF é ! (tem-se então E œ S ou F œ S).<br />
Afastando<br />
já este caso trivial reparamos que se tem<br />
Ä<br />
mSEm œ .ÐSß EÑ œ l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ l0ÐEÑl<br />
Ä<br />
e, do mesmo modo, mSFm œ l0ÐFÑl pelo que, para concluirmos o resultado,<br />
Ä Ä<br />
basta repararmos que os vectores SE e SF têm o mesmo sentido se, e só se,<br />
E e F pertencem à mesma semirrecta de < de origem S,<br />
o que, uma vez que<br />
0 transporta uma das ordens lineares de < sobre a ordem usual de ‘ , é<br />
equivalente a 0ÐEÑe 0ÐFÑterem<br />
o mesmo sinal, ou seja, o seu produto ser<br />
positivo. <br />
10.16 (Bilinearidade do produto interno numa recta vectorial) Consideremos<br />
fixada uma função distância .− Y.<br />
<strong>Da</strong>da uma recta < , a aplicação<br />
Ä<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ Ø?<br />
Ä<br />
ß 1 Ð@<br />
Ä<br />
Ä<br />
< ÑÙ.<br />
Repare-se que esta definição extende a definição apresentada anteriormente<br />
para o caso dos vectores colineares. Com efeito, isso acontece trivialmente<br />
no caso em que<br />
Ä Ä<br />
?œ! e, se<br />
Ä Ä<br />
?Á! , basta repararmos que, se<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são<br />
colineares, tem-se<br />
Ä<br />
@−<<br />
Ä<br />
, e portanto 1 Ð@Ñœ@<br />
Ä Ä<br />
Ä<br />
< .<br />
w w<br />
10.18 <strong>Da</strong>das duas funções distância .ß. − Y,<br />
com . œ -. , para um certo<br />
-!<br />
ÄÄ<br />
?ß@− Ä<br />
, tem-se, quaisquer que sejam os vectores X ,<br />
Ø?<br />
ÄÄ #<br />
ß @ Ù œ - Ø?<br />
ÄÄ<br />
w ß @ Ù .<br />
. .<br />
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição e da correspondente<br />
propriedade para o caso dos vectores colineares em 10.13. <br />
10.19 (Comutatividade do produto interno) Consideremos fixada uma função<br />
distância .− . Quaisquer que sejam os vectores<br />
ÄÄ<br />
?ß@− , tem-se<br />
Ä<br />
Y X<br />
Ø@ß?ÙœØ?ß@Ù<br />
ÄÄ ÄÄ Ä<br />
?<br />
Ä Ä<br />
. Além disso, no caso em que e @ são diferentes de ! ,<br />
tem-se Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù ! se s. Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ " (cf. 10.1 e 10.2),<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ ! se<br />
. sÐ?ß@Ñœ" ÄÄ<br />
e Ø?ß@Ù!<br />
ÄÄ<br />
se . sÐ?ß@Ñ"<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Dem: Comecemos por reparar que decorre imediatamente da definição em<br />
10.17 que se tem Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ ! , sempre que<br />
Ä Ä<br />
? œ ! ou<br />
Ä Ä<br />
@ œ ! (no segundo<br />
caso, fora da situação trivial em que<br />
Ä Ä<br />
?œ! , tem-se, por linearidade,<br />
Ä Ä<br />
1 ÄÐ! < Ñ œ ! ). Basta assim demonstrar a igualdade do enunciado no caso em<br />
que<br />
Ä Ä<br />
?Á! e<br />
Ä Ä<br />
@Á! . No caso em que os vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são colineares, a<br />
comutatividade já foi estabelecida em 10.16 e, tendo em conta 10.2 e 10.12,<br />
sabemos que, ou . sÐ?ß@Ñœ! ÄÄ<br />
e Ø?ß@Ù!<br />
ÄÄ<br />
, ou . sÐ?ß@Ñœ#<br />
ÄÄ<br />
e Ø?ß@Ù!<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Examinemos agora o caso em que<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ não são colineares. Escolhamos um<br />
ponto S e sejam Eß F tais que<br />
Ä Ä<br />
? œ SE e<br />
Ä Ä<br />
@ œ SF . Sejam < e = as rectas<br />
SE e SF,<br />
respectivamente.<br />
Se .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ " , os vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são pependiculares, pelo que o facto de se<br />
ter<br />
Ä<br />
@−<<br />
ļ(cf. ) implica que Ð@Ñœ!<br />
Ä Ä<br />
10.9 1 , e portanto Ø?ß@Ùœ<br />
ÄÄ<br />
Ä<br />
<<br />
Ø?<br />
Ä<br />
ß 1 Ð@<br />
Ä<br />
Ä<br />
< ÑÙ œ ! e, por simetria dos papéis dos dois vectores, tem-se também<br />
Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù œ ! .<br />
Û Û<br />
Suponhamos agora que . sÐ?ß@Ñ"<br />
ÄÄ<br />
, portanto que o ângulo ÖSEßSF× é<br />
agudo. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta s œ SF e U o pé da<br />
perpendicular de F para a recta < œ SE (cf. 4.28),<br />
pontos que são distintos<br />
de S, por SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em conta 4.32<br />
Û Û<br />
pertencem respectivamente às semirrectas SF e SE.<br />
O facto de se ter<br />
Ä Ä Ä Ä Ä<br />
@ œ SF œ SU UF, com SU −<br />
Ä Ä<br />
< e UF perpendicular a<br />
Ä Ä Ä<br />
SU , e portanto a<br />
Ä<br />
< , implica que SU œ 1 Ð@<br />
Ä<br />
Ä<br />
< Ñ e, do mesmo modo, ST œ<br />
1 ÄÐ? = Ñ<br />
Ä . Podemos assim concluir que<br />
– 138–
Ø?ß@ÙœØ?ßSUÙœ.ÐSßEÑ‚.ÐSßUÑ!<br />
ÄÄ Ä Ä<br />
Ø@ß?ÙœØ@ßSTÙœ.ÐSßFÑ‚.ÐSßTÑ!<br />
ÄÄ Ä Ä<br />
,<br />
.<br />
O<br />
P<br />
B<br />
Q<br />
Û Û Û Û Û Û<br />
Mas, uma vez que ÖSEß ST × œ ÖSFß SU× e . ÐÖUSß UF×Ñ œ " œ<br />
. Û Û<br />
ÐÖT Sß T E×Ñ, o teorema 8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e<br />
.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ<br />
ÐTßSßEÑsão semelhantes, e daqui deduzimos que .ÐSßUÑ œ .ÐSßTÑ , donde<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù.<br />
Examinemos enfim o caso em que .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ " , portanto em que o ângulo<br />
Û Û<br />
ÖSEß SF× é obtuso. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta<br />
s œSFe Uo pé da perpendicular de F para a recta
Û Û Û Û<br />
verticalmente opostos, e . ÐÖUSßUF×Ñœ"œ. ÐÖTSßTE×Ñ,<br />
o teorema<br />
8.10 garante que os triângulos ÐUßSßFÑ e ÐTßSßEÑ são semelhantes, e<br />
.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ<br />
daqui deduzimos que .ÐSßUÑ œ .ÐSßTÑ , donde<br />
Ø?ß@Ùœ.ÐSßEÑ‚.ÐSßUÑœ.ÐSßFÑ‚.ÐSßTÑœØ@ß?Ù<br />
ÄÄ ÄÄ<br />
. <br />
10.20 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância .−Y.<br />
Dois<br />
vectores<br />
ÄÄ Ä<br />
? ß@ −X são ortogonais se, e só se, Ø?ß@Ùœ!<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Ä<br />
Dem: Se os vectores forem ambos diferentes de ! , a conclusão já foi referida<br />
em 10.19 . Se um dos vectores for ! tem-se, por definição e pela comutati-<br />
Ä<br />
vidade, Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ ! e os vectores são, por definição, ortogonais (cf. 10.5). <br />
10.21 (Bilinearidade do produto interno) Consideremos fixada uma função<br />
Ä Ä<br />
distância . − Y. A aplicação<br />
X ‚ X Ä ‘ , Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ È Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù,<br />
é bilinear.<br />
Dem: Tendo em conta a comutatividade em 10.19,<br />
basta mostrarmos que,<br />
para cada<br />
Ä<br />
?−X fixado, a aplicação<br />
Ä<br />
@ÈØ?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
é linear. Ora, isso é trivial<br />
se<br />
Ä Ä<br />
?œ! , por termos uma aplicação identicamente nula, e, no caso em que<br />
Ä Ä<br />
?Á! , consideramos a recta vectorial<br />
Ä<br />
< que contém<br />
Ä<br />
? e atendemos a que,<br />
por se ter Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ Ø?<br />
Ä<br />
ß 1 Ð@<br />
Ä<br />
Ä<br />
< ÑÙ,<br />
a linearidade é consequência da linearidade<br />
Ä<br />
da projecção ortogonal 1ÄÀ < X Ä<br />
Ä<br />
< e da bilinearidade em 10.16. <br />
10.22 (A norma de uma projecção ortogonal) Consideremos fixada uma<br />
função distância .− . Sejam<br />
Ä<br />
< uma recta vectorial,<br />
Ä<br />
œ<<br />
ļ<br />
Y ! o plano<br />
Ä<br />
vectorial complementar ortogonal e 1ÄÀ < X Ä<br />
Ä<br />
< a projecção associada à soma<br />
Ä Ä<br />
directa X œ<<br />
Ä<br />
Š<br />
Ä<br />
! (cf. 10.9).<br />
Para cada vector<br />
Ä<br />
? −X,<br />
tem-se então<br />
m1 Ð?<br />
Ä<br />
Ñm Ÿ m?<br />
Ä<br />
m m Ð?<br />
Ä<br />
Ñm œ m?<br />
Ä<br />
m<br />
Ä<br />
? −<br />
Ä<br />
Ä<br />
< , tendo-se 1Ä<br />
<<br />
se, e só se, < .<br />
Dem: Tem-se<br />
Ä<br />
?œ@A<br />
Ä Ä<br />
, com<br />
Ä<br />
@œ1 Ð?Ñ−<<br />
Ä Ä<br />
e<br />
Ä<br />
A−<br />
Ä<br />
Ä<br />
<<br />
! , e portanto<br />
Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ œ ! . Resulta daqui que<br />
m?m<br />
Ä #<br />
œØ?ß?ÙœØ@<br />
ÄÄ Ä<br />
Aß@<br />
ÄÄ<br />
AÙœØ@ß@<br />
Ä ÄÄ<br />
AÙØAß@<br />
Ä ÄÄ<br />
Aٜ<br />
Ä<br />
œØ@ß@ÙØ@ßAÙØAß@ÙØAßAÙœm@m<br />
ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ Ä #<br />
mAm<br />
Ä #<br />
,<br />
portanto m?<br />
Ä # m m@<br />
Ä # m , tendo-se m?<br />
Ä # m œ m@<br />
Ä # m se, e só se, mAm<br />
Ä # œ ! , isto é,<br />
Ä Ä<br />
Aœ! , isto é,<br />
Ä<br />
?−<<br />
Ä<br />
. <br />
10.23 <strong>Da</strong>dos dois vectores não nulos ? Ä Ä e @ , fica bem definido um número real<br />
cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ,<br />
pela condição de se ter, qualquer que seja a função distância<br />
.−Y,<br />
cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ<br />
– 140–<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù<br />
m?<br />
Ä<br />
m m@<br />
Ä<br />
m<br />
.<br />
. .<br />
Dem: Tudo o que temos que reparar é que, dadas duas funções distância<br />
.
w w<br />
.ß . − Y, existe - ! tal que . œ -. e então, tendo em conta 10.13 e 9.16,<br />
Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
. w<br />
m?m<br />
Ä<br />
m@m<br />
Ä w w<br />
# - Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
.<br />
œ<br />
-m?m<br />
Ä<br />
-m@m<br />
Ä<br />
Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
.<br />
œ<br />
m?m<br />
Ä<br />
m@m<br />
Ä . <br />
. . . . . .<br />
10.24 A função cos,<br />
no conjunto dos pares de vectores não nulos, verifica as<br />
seguintes propriedades:<br />
a) cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ<br />
cosÐ@ß?Ñ<br />
ÄÄ<br />
;<br />
b) Se +! , então cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä<br />
cosÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
;<br />
c) Se + ! , então cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä<br />
cosÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
;<br />
d) cosÐ? ÄÄ<br />
ß @ Ñ − Ò"ß "Ó, sendo cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ " se, e só se,<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ têm o mesmo<br />
sentido (em particular são colineares) e cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ " se, e só se,<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@<br />
têm sentidos opostos (em particular são colineares).<br />
e) cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ ! se, e só se, os vectores<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são ortogonais.<br />
Dem: Fixemos uma função distância .−YÞA alínea a) é uma consequência<br />
directa da simetria do produto interno. Quanto a b) e a c) basta repararmos<br />
que, tendo em conta a bilinearidade do produto interno e 9.52,<br />
tem-se, para<br />
cada + Á!<br />
cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä Ø?ß+@Ù<br />
Ä Ä<br />
+ Ø?ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
+<br />
œ œ cosÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
m?<br />
Ä<br />
mm+<br />
Ä<br />
@ m m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
.<br />
l+l m l+l<br />
Quanto a d), tem-se, por definição, sendo<br />
Ä<br />
< a recta vectorial que contém<br />
Ä<br />
? , e<br />
tendo em conta 10.22,<br />
lØ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ùl œ lØ?<br />
Ä<br />
ß 1 Ð@<br />
Ä<br />
ÑÙl œ l„m?<br />
Ä<br />
mmß Ð@<br />
Ä<br />
Ñml Ÿ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
Ä<br />
< 1Ä<br />
<<br />
m,<br />
tendo-se lØ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ùl œ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
m se, e só se,<br />
Ä<br />
@ −<br />
Ä<br />
< isto é,<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ são colineares,<br />
e, nesse caso, sabemos, por definição que Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
m , se<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ têm o<br />
mesmo sentido, e Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä<br />
m , se<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ têm sentidos opostos. A<br />
conclusão de e) resulta imediatamente de 10.20. <br />
10.25 Para cada par de vectores não nulos<br />
ÄÄ<br />
? ß@, define-se sinÐ?ß@Ñ−Ò!ß"Ó<br />
ÄÄ<br />
por<br />
sinÐ? ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ É " cos#<br />
Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ.<br />
# #<br />
Por definição, tem-se sempre sin Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ cos Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ " .<br />
10.26 (Teorema Pitagoróide) Sejam Eß Fß G três pontos, com F e G distintos<br />
de E. <strong>Da</strong>da uma função<br />
distância .−Y,<br />
tem-se então<br />
# # #<br />
Ä Ä<br />
.ÐFß GÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ #.ÐEßFÑ.ÐEßGÑcos ÐEFß EGÑ.<br />
Ä Ä Ä Ä Ä Ä<br />
Dem: Uma vez que EF FG œ EG, vem FG œ EG EF.<br />
Lembrando<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
ØEFßEGÙ<br />
que cosÐEFß EGÑ œ , podemos agora escrever<br />
Ä Ä<br />
mEFmmEGm<br />
– 141–
# Ä # Ä Ä Ä Ä Ä Ä<br />
.ÐFß GÑ œ mFGm œ ØFGß FGÙ œ ØEG EFßEG EFÙ œ<br />
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä<br />
œ ØEGß EGÙ ØEGß EFÙ ØEFß EGÙ ØEFß EFÙ œ<br />
Ä # Ä # Ä Ä<br />
œ mEFm mEGm #ØEFß EGÙ œ<br />
Ä # Ä # Ä Ä Ä Ä<br />
œ mEFm mEGm #mEFmmEGmcosÐEFß<br />
EGÑ œ<br />
# #<br />
Ä Ä<br />
œ .ÐEß FÑ .ÐEß GÑ #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑcosÐEFß EGÑ,<br />
como queríamos. <br />
10.27 Sejam<br />
ÄÄ<br />
?<br />
Äw ß@ e ? ß@<br />
Äw<br />
dois pares de vectores não nulos. Tem-se então<br />
. sÐ?ß@Ñœ ÄÄ<br />
. sÐ?<br />
Äw ß@<br />
Äw ÑÊ Ð?ß@Ñœ<br />
ÄÄ<br />
Ð?<br />
Äw ß@<br />
Äw<br />
cos cos Ñ,<br />
. sÐ?ß@Ñ ÄÄ<br />
. sÐ?<br />
Äw ß@<br />
Äw ÑÊ Ð?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
Ð?<br />
Äw ß@<br />
Äw<br />
cos cos Ñ.<br />
(cf. as definições de ângulo de vectores em 10.1 e 10.2).<br />
Dem: Fixemos uma função distância .−Y. Tendo em contas as alíneas a) e<br />
b) de 10.3 e as alíneas a) e b) de 10.24,<br />
vemos que, se necessário substituindo<br />
ÄÄÄw ?ß@ß? ß@<br />
Äw " Ä " ?ß<br />
Ä " @ß<br />
Äw " ? ß<br />
Äw<br />
respectivamente por @<br />
m?m<br />
Ä<br />
m@m<br />
Ä<br />
m?m<br />
Äw m@<br />
Äw<br />
, o que não altera<br />
m<br />
os valores de cosÐ? ÄÄ<br />
ß @ Ñß cosÐ?<br />
Äwß Äw @ Ñß Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñß Ð?<br />
Äwß Äw<br />
. s . s @ Ñ,<br />
podemos já supor<br />
que se tem m?<br />
Ä<br />
m œ m@<br />
Ä<br />
m œ m?<br />
Äwmœm@ Äwmœ<br />
" .<br />
Se repararmos que<br />
ÄÄ<br />
?ß@ são colineares e do mesmo sentido (respectivamente<br />
colineares e com sentidos opostos) se, e só se, cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ 1 (respectiva-<br />
mente cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ 1) se, e só se s. Ð?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ 0 (respectivamente<br />
.sÐ?ß@Ñœ#<br />
ÄÄ<br />
) e que, se<br />
ÄÄ<br />
?ß@ são não colineares, "cosÐ?ß@Ñ" ÄÄ<br />
e<br />
!sÐ?ß@Ñ# ÄÄ<br />
. (cf. 10Þ1, 10.2 e a alínea d) de 10.24)<br />
assim como nos<br />
factos análogos para<br />
ÄÄ w w ?ß@,<br />
constatamos que basta provar as implicações<br />
apenas no caso em que tento<br />
ÄÄ<br />
?ß@ como<br />
Äw ? ß@<br />
Äw<br />
são não colineares.<br />
Escolhamos pontos EßFßG tais que<br />
Ä Ä<br />
? œEFe Ä Ä w w w<br />
@ œEGe pontos EßFßG<br />
tais que<br />
Ä Ä<br />
? œEF e<br />
Ä Ä<br />
w w w w w w @ œEG. Temos assim dois triângulos ÐEßFßGÑe<br />
w w w w w w w<br />
ÐEßFßG Ñ com .ÐEßFÑœ.ÐEßGÑœ" e .ÐEßFÑœ.ÐEßG Ñœ" , pelo<br />
que a igualdade em 10.26 dá<br />
#<br />
Ä Ä<br />
.ÐFß GÑ œ # # cosÐEFß<br />
EGÑ,<br />
Ä Ä<br />
w w # w w w w<br />
.ÐFßGÑ œ## cosÐEFßEGÑ.<br />
Û Û Û Û<br />
Se . sÐ? ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ . sÐ?<br />
Äwß Äw<br />
w w w w<br />
@ Ñ, vem . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ donde,<br />
pelo axioma 4.13 , os triângulos são congruentes, em particular .ÐFß GÑ œ<br />
w w .ÐF ß G Ñ o que, pelas fórmulas anteriores, implica que<br />
cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ Ä Ä Ä Ä<br />
w w w w<br />
cosÐEFßEGÑœcosÐEFßEGÑœcosÐ?ß@ ÄwÄw Ñ.<br />
Û Û Û Û<br />
Se . sÐ? ÄÄ<br />
ß @ Ñ . sÐ?<br />
Äwß Äw<br />
w w w w<br />
@ Ñ, vem . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖE F ß E G ×Ñ donde, por<br />
w w<br />
4.45, .ÐFß GÑ .ÐF ß G Ñ o que, mais uma vez pelas fórmulas acima,<br />
– 142–
implica que<br />
cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ Ä Ä Ä Ä<br />
w w w w<br />
cosÐEFßEGÑcosÐEFßEGÑœcosÐ?ß@ ÄwÄw Ñ.<br />
<br />
10.28 Fica bem definida uma aplicação cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó pela condição de se<br />
ter, quaisquer que sejam os vectores não nulos<br />
ÄÄ<br />
?ß@,<br />
cos s Ð. sÐ?ß@ÑÑ ÄÄ<br />
œ cosÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
. 23<br />
Dem: Trata-se de uma consequência da primeira implicação em 10.27,<br />
desde<br />
que reparemos que, para cada +−Ò!ß#Ó , existem vectores não nulos ?ß@ tais<br />
ÄÄ<br />
que .sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ + . Ora, para + œ ! e + œ # basta tomar um vector não nulo<br />
arbitrário<br />
Ä<br />
? e tomar respectivamente<br />
Ä<br />
@ œ<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ œ ?<br />
Ä<br />
e, para + − Ó!ß#Ò,<br />
podemos tomar duas semirrectas < / s com a mesma origem E,<br />
com rectas<br />
correspondentes < Á = tais que . ÐÖ< ß = ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17)<br />
e<br />
escolhendo então F−< e G−= ,<br />
ambos distintos de E,<br />
tem-se, com<br />
Ä Ä<br />
? œ EF<br />
Ä Ä<br />
e @ œ EG, . sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ñ œ . ÐÖ< ß = ×Ñœ + .<br />
<br />
10.29 A aplicação cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó é contínua, estritamente decrescente e<br />
sobrejectiva. Tem-se cos s Ð!Ñ œ " , cos s Ð"Ñ œ ! e cos s Ð#Ñ œ " . Tem-se ainda,<br />
para cada +−Ò!ß#Ó, cos s Ð#+Ñœcos s Ð+Ñ.<br />
Dem: O facto de ela ser estritamente decrescente é uma consequência da<br />
segunda implicação em 10.27.<br />
Consideremos agora uma função distância<br />
.− Y e, em duas semirrectas perpendiculares < e = com a mesma origem<br />
E, dois pontos F − < e G − = com .ÐEßFÑ œ .ÐEßGÑ œ " . Sendo<br />
Ä Ä<br />
? œ EF<br />
Ä Ä<br />
e A œ EG, tem-se assim Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ œ ! e m?<br />
Ä<br />
m œ mAm<br />
Ä<br />
œ " . <strong>Da</strong>do<br />
agora , − Ò"ß "Ó, podemos tomar - œ " , e, tomando o vector @ œ<br />
Ä<br />
È #<br />
,?<br />
Ä<br />
-A<br />
Ä<br />
, vem<br />
m@<br />
Ä #<br />
m œ Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ Ø,?<br />
Ä<br />
-Aß<br />
Ä<br />
,?<br />
Ä<br />
-AÙ<br />
Ä<br />
œ<br />
#<br />
œ, Ø?ß?Ù,-Ø?ßAÙ,-ØAß?Ù-<br />
ÄÄ ÄÄ ÄÄ #<br />
ØAßAÙœ<br />
ÄÄ<br />
#<br />
œ, m?m-<br />
Ä #<br />
mAm<br />
Ä # # #<br />
œ, - œ"<br />
e, por outro lado,<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ Ø?<br />
Ä<br />
ß ,?<br />
Ä<br />
-AÙ<br />
Ä<br />
œ ,Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù -Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ œ ,m?<br />
Ä #<br />
m œ , ,<br />
donde<br />
cos s ÐsÐ?ß@ÑÑœcosÐ?ß@Ñœ œ,<br />
ÄÄ ÄÄ Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù<br />
.<br />
m?<br />
Ä<br />
mm@<br />
Ä .<br />
m<br />
23A razão do símbolo ^ em cima de cos é a necessidade de distinguirmos esta função da<br />
função cosÀ ‘ Ä Ò"ß "Ó dos analistas (cf. o apêndice 1).<br />
Veremos adiante uma relação<br />
entre estas duas funções.<br />
– 143–
A continuidade da função cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó resulta de um teorema<br />
elementar de Análise Real que garante que toda a função real cujo domínio é<br />
um intervalo de ‘ , que seja crescente ou decrescente (mesmo que apenas no<br />
sentido lato) e cuja imagem seja um intervalo de ‘ , é uma aplicação<br />
contínua. Quanto <strong>aos</strong> valores indicados para a função cos s , basta repararmos<br />
que<br />
cos s Ð!Ñœcos s Ð. sÐ?ß?ÑÑœ ÄÄ<br />
cosÐ?ß?ÑœØ?ß?Ùœ"<br />
ÄÄ ÄÄ<br />
,<br />
cos s Ð"Ñœcos s Ð. sÐ?ßAÑÑœ ÄÄ<br />
cosÐ?ßAÑœØ?ßAÙœ!<br />
ÄÄ ÄÄ<br />
,<br />
cos s Ð#Ñ œ cos s Ð. sÐ? Ä<br />
ß ?<br />
Ä<br />
Ñ œ cosÐ?<br />
Ä<br />
ß ?<br />
Ä<br />
Ñ œ Ø?<br />
Ä<br />
ß?Ùœ".<br />
Ä<br />
A igualdade cos s Ð# +Ñ œ cos s Ð+Ñ é verdadeira, por inspecção directa dos<br />
valores, nos casos em que +œ! e +œ# . Mostremo-la então para +−Ó!ß#Ò.<br />
Para isso, retomando as notações do início da demonstração, seja G na w<br />
w<br />
semirrecta < de origem E oposta de < e também com .ÐEßG Ñ œ " ,<br />
tendo-se assim ?<br />
Ä<br />
œ Eß G . Seja > uma semirrecta de origem E tal que<br />
Ä w<br />
<br />
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e reparemos que, por 3.19,<br />
tem-se<br />
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ # + H − > .ÐEß HÑ œ "<br />
Ä<br />
D œ EH<br />
Ä<br />
. Seja tal que e seja , para<br />
o qual se tem assim mD<br />
Ä<br />
m œ " . Podemos então escrever<br />
cos s Ð# +Ñ œ cos s Ð. sÐ? ÄÄ<br />
ß D ÑÑ œ cosÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß D Ñ œ Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß D Ù œ Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß D Ù œ<br />
œ cosÐ? ÄÄ<br />
ß D Ñ œ cos s Ð. sÐ?<br />
ÄÄ<br />
ß D ÑÑ œ cos s Ð+Ñ.<br />
<br />
10.30 Definimos também uma aplicação contínua sin<br />
, por<br />
s À Ò!ß #Ó Ä Ò!ß "Ó<br />
sin s Ð+Ñ œ É #<br />
" cos s Ð+Ñ.<br />
É claro que, por construção, tem-se, para todo o +−Ò!ß#Ó,<br />
#<br />
cos s Ð+Ñ sin s Ð+Ñ œ " .<br />
Além disso, das propriedades correspondentes em 10.29, para a função cos s ,<br />
deduzimos que<br />
sin s Ð!Ñœ! , sin s Ð"Ñœ" , sin s Ð#Ñœ!<br />
sin s Ð# +Ñ œ sin s Ð+Ñ,<br />
e da definição em 10.25 deduzimos que, para<br />
Ä<br />
? e<br />
Ä<br />
@ vectores não nulos,<br />
sin s Ð. sÐ?ß@ÑÑ ÄÄ<br />
œ sinÐ?ß@Ñ<br />
ÄÄ<br />
.<br />
10.31 (O cosseno da soma) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó.<br />
Tem-se<br />
então<br />
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.<br />
– 144–<br />
#
Dem: O resultado é verdadeiro se +œ! , uma vez que se reduz a fórmula<br />
cos s Ð,Ñœ"‚ cos s Ð,Ñ!‚ sin s Ð,Ñ,<br />
e, por simetria dos papéis, ele é também verdadeiro se ,œ! . No caso em que<br />
+,œ# , portanto ,œ#+ , uma vez que vem<br />
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s #<br />
Ð,Ñ œ cos s Ð+Ñ sin s Ð+Ñ œ " œ cos s Ð+ ,Ñ.<br />
Resta-nos verificar o resultado no caso em que +! , ,! e +,# .<br />
Fixemos um ponto E e uma semirrecta < de origem E e consideremos uma<br />
semirrecta = de origem E tal que . ÐÖ< ß= ×Ñ<br />
œ +, e, sendo < a recta<br />
que contém < , uma semirrecta > de origem E contida no mesmo<br />
semiplano de bordo < que a semirrecta = e tal que . ÐÖ< ß> ×Ñ<br />
œ + . Tendo<br />
em conta 3.18 , tem-se > § nÖ< ß= × , com > distinta de < e de = ,<br />
e<br />
portanto, pelo axioma b) em 3.17 , .ÐÖ> ß = ×Ñ œ , .<br />
– 145–<br />
<br />
s+<br />
C D<br />
v b<br />
w<br />
a<br />
A u<br />
Fixada uma função distância .−Y, escolhamos pontos F−< , G−= e<br />
H − > .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ .ÐEß HÑ œ "<br />
Ä Ä<br />
? œ EF<br />
Ä<br />
tais que . Pondo , @ œ<br />
Ä Ä<br />
EG e<br />
Ä<br />
A œ EH, tem-se assim m?<br />
Ä<br />
m œ m@<br />
Ä<br />
m œ mAm<br />
Ä<br />
œ " e, tendo em conta<br />
9.64, tem-se<br />
Ä<br />
Aœ-?.@<br />
Ä Ä<br />
, com -! e .! (se algum fosse ! , Hestaria<br />
numa das semirrectas < e = ). Reparemos agora que se pode escrever<br />
<br />
" œ ØAß<br />
ÄÄ<br />
AÙ œ Ø-?<br />
Ä<br />
.<br />
Ä<br />
@ ß -?<br />
Ä<br />
.<br />
Ä # #<br />
@ Ù œ - Ø?ß ?Ù . Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù #-.Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ<br />
# #<br />
œ- . #-. cos s Ð+,Ñ.<br />
Por outro lado, vem também<br />
cos s Ð+ÑœØAß?ÙœØ-?.@ß?Ùœ-.Ø@ß?Ùœ-.<br />
ÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ<br />
cos s Ð+,Ñ<br />
cos s Ð,ÑœØAß@ÙœØ-?.@ß@Ùœ.-Ø?ß@Ùœ.-<br />
ÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ<br />
cos s Ð+,Ñ,<br />
donde sai, por um lado,<br />
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ œ -. -. cos s Ð+ ,Ñ Ð- . Ñcos s Ð+ ,Ñ,<br />
e, por outro lado,<br />
t +<br />
B<br />
#<br />
r<br />
+<br />
# # #
# # #<br />
sin s Ð+Ñœ"cos s # #<br />
Ð+Ñœ"- . cos s Ð+,Ñ#-. cos s Ð+,Ñœ<br />
# #<br />
œ"- . #-. cos s # #<br />
Ð+,Ñ. Ð"cos s Ð+,ÑÑœ<br />
# #<br />
#<br />
œ"". Ð"cos s<br />
#<br />
Ð+,ÑÑœ. sin s Ð+,Ñ<br />
tal como<br />
# # #<br />
sin s Ð,Ñ œ " cos s # #<br />
Ð,Ñ œ " . - cos s Ð+ ,Ñ #-. cos s Ð+ ,Ñ œ<br />
# #<br />
œ"- . #-. cos s # #<br />
Ð+,Ñ- Ð"cos s Ð+,ÑÑœ<br />
# #<br />
#<br />
œ""- Ð"cos s<br />
#<br />
Ð+,ÑÑœ-sin s Ð+,Ñ,<br />
portanto<br />
sin s Ð+Ñ œ . sin s Ð+ ,Ñ, sin s Ð,Ñ œ - sin s Ð+ ,Ñ.<br />
Podemos agora escrever<br />
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ œ<br />
# #<br />
œ-.-. cos s # #<br />
Ð+,ÑÐ- . Ñcos s Ð+,Ñ-. sin s Ð+,Ñœ<br />
#<br />
œ#-. cos s # #<br />
Ð+,ÑÐ- . Ñcos s Ð+,Ñœ<br />
œcos s<br />
# #<br />
Ð+,ÑÐ-. #- . cos s Ð+,ÑÑ œ cos s Ð+,Ñ.<br />
<br />
10.32 (Corolário) Seja +−Ò!ß"Ó.<br />
Tem-se então<br />
#<br />
cos s Ð#+Ñ œ cos s Ð+Ñ sin s<br />
#<br />
Ð+Ñ œ # cos s Ð+Ñ " .<br />
10.33 (Corolário) Seja ,−Ò!ß#Ó.<br />
Tem-se então<br />
, "cos s Ð,Ñ<br />
cos s Ð Ñ œ Ê .<br />
# #<br />
Dem: Do corolário anterior podemos deduzir que<br />
portanto<br />
# ,<br />
cos s Ð,Ñ œ # cos s Ð Ñ " ,<br />
#<br />
# , "cos s Ð,Ñ<br />
cos s Ð Ñ œ ,<br />
# #<br />
, ,<br />
bastando enfim atender a que, por ser Ÿ" , tem-se cos s Ð Ñ 0Þ<br />
<br />
– 146–<br />
#<br />
# #<br />
10.34 (Relação entre os cossenos e senos geométrico e analítico) Seja<br />
+−Ò!ß#Ó. Tem-se então
1+ cos s Ð+ÑœcosÐ Ñ sin s 1+<br />
, Ð+ÑœsinÐ Ñ,<br />
# #<br />
onde nos segundos membros estão as funções trigonométricas definidas<br />
analiticamente no apêndice 1.<br />
Dem: Começamos por notar que, se para um certo +−Ò!ß#Óse<br />
verifica a<br />
primeira igualdade do enunciado, então também se verifica a segunda. Com<br />
1+ 1+<br />
efeito, tem-se # −Ò!ß1Ó, donde sinÐ<br />
# Ñ ! e, tendo em conta a definição<br />
de sin e , tem-se então<br />
s Ð+Ñ Ap1.8<br />
sin s Ð+Ñœ É # 1+ 1+<br />
"cos s Ð+Ñœ "cos# Ê Ð ÑœsinÐ Ñ<br />
# #<br />
Reparemos agora que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida<br />
para +œ# , uma vez que cos s Ð2 Ñœ"œcosÐ1Ñ. Suponhamos a primeira<br />
igualdade, e portanto a segunda é válida para um certo +−Ò!ß#Ó.<br />
Uma vez<br />
1+ 1 1+<br />
que % −Ò!ß# Ó, e portanto cosÐ % Ñ ! , resulta de 10.33 e da fórmula<br />
análoga em Ap1.12,<br />
+ "cos s Ð+Ñ "cosÐ Ñ +<br />
cos s Ð Ñ œ Ê œ Ê<br />
# 1<br />
œ cosÐ<br />
Ñ,<br />
# # # %<br />
+<br />
pelo que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para # .<br />
Resulta daqui, por indução, que, para cada 8 ! , a primeira igualdade, e<br />
#<br />
portanto a segunda, é válida para cada + da forma # . Observamos agora que,<br />
8<br />
se a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para valores<br />
+ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó a primeira igualdade, e portanto a<br />
segunda, é também válida para +, , uma vez que podemos escrever, tendo<br />
em conta 10.31 e Ap1.11<br />
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ œ<br />
1+ 1, 1+ 1, 1Ð+,Ñ<br />
œ cosÐ ÑcosÐ ÑsinÐ ÑsinÐ Ñ œ cosÐ<br />
Ñ.<br />
# # # # #<br />
Resulta daqui, por indução em : , que, para cada 8 ! e cada " Ÿ : Ÿ # , a 8<br />
primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para +œ . Mas o<br />
#:<br />
# 8<br />
conjunto dos + desta forma é denso em Ò!ß #Ó e portanto, uma vez que ambos<br />
os membros da primeira igualdade são funções contínuas de + , concluímos<br />
que esta, e portanto a segunda, são válidas para qualquer +−Ò!ß#Ó. <br />
10.35 (Corolário) As funções<br />
cos s ßsin s ÀÒ!ß#Ó Ä ‘ são deriváveis em todos os<br />
pontos e tem-se<br />
w 1 w<br />
cos s Ð+Ñœ sin s Ð+Ñ sin s 1<br />
, Ð+Ñœ cos s Ð+Ñ.<br />
# #<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34,<br />
tendo em conta as fórmulas de<br />
derivação em Ap1.10. <br />
– 147–<br />
1+
10.36 (Corolário) Para além da propriedade em 10.31,<br />
valem ainda as seguintes:<br />
a) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó.<br />
Tem-se então<br />
sin s Ð+ ,Ñ œ sin s Ð+Ñcos s Ð,Ñ cos s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.<br />
b) Sejam , Ÿ + em Ò!ß #Ó.<br />
Tem-se então<br />
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ,<br />
sin s Ð+ ,Ñ œ sin s Ð+Ñcos s Ð,Ñ cos s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34,<br />
tendo em conta as fórmulas<br />
em Ap1.11 e Ap1.9. <br />
10.37 (Corolário) Suponhamos que !Ÿ+Ÿ" . Tem-se então:<br />
cos s Ð" +Ñ œ sin s Ð+Ñ, sin s Ð" +Ñ œ cos s Ð+Ñ.<br />
Suponhamos que "Ÿ+Ÿ# . Tem-se então<br />
cos s Ð+ "Ñ œ sin s Ð+Ñ, sin s Ð+ "Ñ œ cos s Ð+Ñ.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência das fórmulas na alínea b) de 10Þ36. <br />
10.38 (Trigonometria do triângulo rectângulo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo<br />
Ä Ä<br />
tal que .sÐÖFEß FG×Ñ œ " (um triângulo rectângulo em F).<br />
Fixada uma<br />
função distância .−Y,<br />
tem-se então<br />
A B<br />
Ä Ä .ÐEßFÑ Ä Ä .ÐGß FÑ<br />
cosÐEFß EGÑ œ , sinÐEFß<br />
EGÑ œ .<br />
.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ Ä Ä Ä Ä Ä<br />
Dem: Vem EG œ EF FG, onde, por ser s. ÐÖFEßFG×Ñ œ " e<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
EF œ FE, tem-se também . sÐÖEFß<br />
FG×Ñ œ " (cf. 10.3).<br />
Concluímos<br />
Ä<br />
daqui que, sendo < œ EF, tem-se FG −<br />
Ä Ä Ä<br />
¼ < , e portanto EF œ 1Ä<br />
< ÐEGÑ.<br />
Ä Ä #<br />
Deduzimos daqui que ØEFß EGÙ œ .ÐEß FÑ , e portanto<br />
Ä Ä<br />
Ä Ä #<br />
ØEFß EGÙ .ÐEß FÑ .ÐEß FÑ<br />
cosÐEFß EGÑ œ Ä Ä œ œ ,<br />
mEFmmEGm .ÐEßFÑ.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ donde a primeira igualdade do enunciado. Aplicando o que acabamos de<br />
– 148–<br />
C
deduzir ao triângulo ÐGßFßEÑ,<br />
resulta que<br />
Ä Ä .ÐGß FÑ .ÐGß FÑ<br />
cosÐGFß GEÑ œ œ<br />
.ÐGß EÑ .ÐEßGÑ ,<br />
bastando agora reparar que, uma vez que a soma das amplitudes dos ângulos<br />
internos dum triângulo é igual a # , tem-se<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
. sÐÖGFß GE×Ñ œ " . sÐÖEFß<br />
EG×Ñ,<br />
donde, tendo em conta 10.37,<br />
Ä Ä<br />
sinÐEFß EGÑ œ sin s<br />
Ä Ä Ä Ä Ä Ä<br />
Ð. sÐÖEFß EG×ÑÑ œ cos s Ð. sÐÖGFß<br />
GE×ÑÑ œ cosÐGFß<br />
GEÑ,<br />
o que nos dá a segunda igualdade do enunciado. <br />
10.39 Seja ÐEßFßGÑum triângulo e consideremos fixada uma função<br />
distância<br />
.−Y. Seja Q o pé da perpendicular de G para a recta EF(cf.<br />
4.28).<br />
Tem-se então<br />
Ä Ä<br />
.ÐGßQÑœ.ÐFßGÑsin ÐFEßFGÑ.<br />
Û Û<br />
Dem: Separemos três casos, conforme o ângulo ÖFEß FG× seja recto, agudo<br />
ou obtuso.<br />
C<br />
A B=M<br />
– 149–<br />
C<br />
A M B A B<br />
No caso em que o ângulo em questão é recto, tem-se FœQe<br />
Ä Ä<br />
sinÐFEß FGÑ œ É<br />
Ä Ä<br />
" cos#<br />
ÐFEß FGÑ œ " ,<br />
pelo que a igualdade é trivial. No caso em que o ângulo é agudo, resulta de<br />
Ä Û Û<br />
4.32 que Q − FE, portanto FE œ FQ,<br />
pelo que, aplicando 10.38 ao<br />
triângulo ÐFßQßGÑ,<br />
Ä Ä<br />
sinÐFEß FGÑ œ sin s Û Û<br />
Ð ÐÖFEß FG×ÑÑ œ sin s Û Û<br />
. Ð. ÐÖFQß FG×ÑÑ œ<br />
Ä Ä .ÐGß QÑ<br />
œ sinÐFQßFGÑ<br />
œ ,<br />
.ÐFß GÑ<br />
donde a igualdade do enunciado. Por fim, examinemos o caso em que o<br />
ângulo é obtuso. Resulta de 4.32 que Q pertence à semirrecta de EF<br />
de<br />
C<br />
M
Ä<br />
origem F oposta a FE, pelo que, aplicando 10.38 ao triângulo ÐFßQßGÑ,<br />
Ä Ä<br />
sinÐFEß FGÑ œ sin s Û Û<br />
Ð ÐÖFEß FG×ÑÑ œ sin s Û Û<br />
. Ð# . ÐÖFQß FG×ÑÑ œ<br />
œ sin s Ä Ä .ÐGß QÑ<br />
Ð. ÐÖFQßFG×ÑÑ œ sinÐFQßFGÑ<br />
œ<br />
.ÐFß GÑ<br />
Û Û<br />
,<br />
o que implica, mais uma vez, a igualdade do enunciado. <br />
10.40 (Corolário — Lei dos senos) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e<br />
consideremos fixada uma função distância .−Y.<br />
Tem-se então<br />
.ÐFß GÑ .ÐEßGÑ .ÐEßFÑ Ä Ä œ Ä Ä œ Ä Ä .<br />
sinÐEFß EGÑ sinÐFEßFGÑ sinÐGEßGFÑ<br />
Dem: Aplicando 10.40 <strong>aos</strong> triângulos ÐEßFßGÑ e ÐFßEßGÑ,<br />
vemos que,<br />
sendo Q o pé da perpendicular de G para a recta EF,<br />
tem-se<br />
Ä Ä<br />
Ä Ä<br />
.ÐFßGÑsinÐFEßFGÑ œ .ÐGßQÑ œ .ÐEßGÑsin ÐEFßEGÑ,<br />
donde a primeira igualdade do enunciado. A segunda resulta de aplicar a<br />
primeira ao triângulo ÐFßGßEÑ. <br />
11. <strong>Geometria</strong> da Circunferência.<br />
11.1 Em toda esta secção vamos supor fixada uma função distância .−Y e um<br />
plano ! . <strong>Da</strong>dos G−! e 3 ! , define-se a circunferência V de centro Ge<br />
raio 3 como sendo o conjunto dos pontos \− ! tais que .ÐGß\Ñœ3.<br />
Esta<br />
circunferência será também notada V3ÐGÑ.<br />
11.2 (Lema) Seja V a circunferência de centro G e raio 3 e seja TÁGem<br />
! .<br />
Tem-se então que na recta
Ä Ä Ä 3 Ä 3 Ä<br />
.ÐTßEÑœmTEmœmGEGTmœmÐ "ÑGTmœl "lmGTmœl3 +l,<br />
+ +<br />
Ä Ä Ä 3 Ä 3 Ä<br />
.ÐTßFÑœmTFmœmGFGTmœmÐ "ÑGTmœl "lmGTmœl3+l, + +<br />
pelo que só se teria .ÐTß EÑ œ .ÐTß FÑ se fosse 3 + œ 3 + ou<br />
3+œ3+ , o que não pode acontecer, por ser 3 Á! e +Á! . <br />
11.3 O centro e o raio de uma circunferência V estão bem definidos.<br />
Dem: Se V é uma circunferência de centro G e raio 3,<br />
o lema precedente<br />
mostra que, para cada TÁG, V não é uma circunferência de centro T(tem<br />
dois pontos E e F a distâncias distintas de T) e o facto de V ser um conjunto<br />
não vazio (por exemplo ß também pelo lema precedente) implica que V não é<br />
circunferência com nenhum raio distinto de 3. <br />
11.4 <strong>Da</strong>da uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que um ponto<br />
E−! está no interior da circunferência (respectivamente no exterior da<br />
circunferência) se .ÐGß EÑ 3 (respectivamente .ÐGß EÑ 3Ñ. 24<br />
Por exemplo, o próprio centro G está no interior da circunferência.<br />
11.5 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam H um ponto no<br />
interior da circunferência e < uma recta com H − < . Tem-se então que a recta<br />
< tem dois, e só dois, pontos EßF pertencentes a V.<br />
Dem: No caso em que G−< , temos uma consequência de 11.2.<br />
tomando<br />
para T qualquer ponto de < distinto de G.<br />
A<br />
C<br />
D<br />
M<br />
– 151–<br />
r<br />
B<br />
Supomos então que GÂ< e consideramos o pé da perpendicular Q de G<br />
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGßQÑ Ÿ .ÐGßHÑ 3.<br />
Tendo em conta o teorema de Pitágoras 8.12 , para um ponto \−< , distinto<br />
# # # de Q , tem-se .ÐGß \Ñ œ .ÐGß QÑ .ÐQß \Ñ , pelo que \ − V se, e só<br />
se, .ÐGß \Ñ œ 3 se, e só se, .ÐQß \Ñ œ È 3#<br />
.ÐGß QÑ#<br />
, o que mostra que<br />
há efectivamente dois, e só dois, pontos \ nessas condições, um em cada<br />
uma das semirrectas de < de origem Q. <br />
11.6 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam Eß F pontos<br />
distintos de V e < a recta EF . Tem-se então que
Dem: Comecemos por examinar o caso em que G−< , caso em que, por ser<br />
.ÐGß EÑ œ 3 œ .ÐGß FÑ, G é o ponto médio do par ÐEßFÑ, em particular<br />
G−ÒEßFÓ (cf. 1.26). Tendo em conta a alínea d) de 1.19 um ponto \−<<br />
está no interior de V, isto é, verifica .ÐGß \Ñ 3 se, e só se, pertence a<br />
ÒGß FÓ Ï ÖF× ou pertence a ÒGß EÓ Ï ÖE× , isto é, se, e só se, pertence a<br />
ÒEßFÓÏÖEßF× . Tendo em conta 11.5, E e F são os únicos pontos de V na<br />
recta < .<br />
Passemos agora ao caso em que GÂ< e seja Qo pé da perpendicular de G<br />
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGßQÑ .ÐGßFÑ œ 3,<br />
portanto Q está no interior de V, o que implica já, por 11.5,<br />
que E e F são<br />
os únicos pontos de < em V. Além disso, por 4.27,<br />
e uma vez que .ÐGßEÑ œ<br />
3 œ .ÐGß FÑ, Q é o ponto médio do par ÐEß FÑ, em particular Q − ÒEß FÓ<br />
(cf. 1.26).<br />
A<br />
C<br />
X<br />
M<br />
– 152–<br />
r<br />
B<br />
Tendo em conta 4.31 , um ponto \−< está no interior de V,<br />
isto é, verifica<br />
.ÐGß \Ñ 3 œ .ÐGß FÑ œ .ÐGß EÑ se, e só se. .ÐQß \Ñ .ÐQß FÑ œ<br />
.ÐQß EÑ o que, mais uma vez pela alínea d) de 1.19,<br />
é equivalente a \<br />
pertencer a um dos conjuntos ÒQß FÓ Ï ÖF× ou ÒQß EÓ Ï ÖE× , o que equivale<br />
a \ pertencer a ÒEß FÓ Ï ÖEß F× .<br />
<br />
11.7 (Recta tangente a uma circunferência) Seja V uma circunferência de<br />
centro G e raio 3. Sejam E− V e < uma recta com E−< . Tem-se então que<br />
V
Dem: Comecemos por supor que a recta < é perpendicular à recta GE,<br />
em<br />
particular que E é o pé da perpendicular de G para < . Tendo em conta 4.29,<br />
para cada \−< com \ÁE tem-se .ÐGß\Ñ.ÐGßEÑœ3,<br />
portanto<br />
\Â V e \ não está no interior de V; ficou assim provado que V
11.11 (Intersecção de duas circunferências) Sejam GÁG em e notemos<br />
w !<br />
w w<br />
+œ.ÐGßGÑ. Sejam 3 ! e 3 ! e consideremos as circunferências V,<br />
de<br />
w w w<br />
centro G e raio 3, e V , de centro G e raio 3 . Tem-se então:<br />
w w w<br />
a) Se l33 l + 33 , então VV é um conjunto com dois elementos.<br />
C C'<br />
w w w<br />
b) Se +œl33 l ou +œ33 , então VV é um conjunto com um único<br />
elemento.<br />
C C' C C'<br />
w w w<br />
c) Se +l33 l ou +33 , então VV œg.<br />
CC' C C'<br />
Dem: Seja H − ! tal que GH seja ortogonal a GG e que .ÐGßHÑ œ " .<br />
Notemos<br />
Ä Ä<br />
? œ GG e<br />
Ä Ä<br />
w @ œ GH,<br />
vectores para os quais se tem assim<br />
Ø?ß?Ùœm?m<br />
ÄÄ Ä # #<br />
œ+ Ø@ß@Ùœm@m<br />
ÄÄ Ä #<br />
, œ" , Ø?ß@Ùœ!<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Podemos considerar uma correspondência biunívoca entre pontos \ do plano<br />
! e pares Ð,ß -Ñ de números reais, que cada \ associa o par Ð,ß -Ñ definido<br />
Ä<br />
pela condição de se ter G\ œ ,?<br />
Ä<br />
-@<br />
Ä<br />
.<br />
– 154–<br />
w
D<br />
v<br />
C u C'<br />
Ä<br />
Para um tal ponto \ , tem-se G\œ?G\<br />
Ä Ä Ä Ä<br />
w w , donde G\œG\?œ<br />
Ä<br />
Ð,"Ñ?<br />
Ä<br />
-@<br />
Ä<br />
e tem-se<br />
Ä #<br />
mG\m ϯ,?<br />
Ä<br />
-@ß,?<br />
Ä Ä<br />
-@ٜ,<br />
Ä #<br />
Ø?ß?Ù-<br />
ÄÄ #<br />
Ø@ß@Ù#,-Ø?ß@Ùœ<br />
ÄÄ ÄÄ<br />
# # #<br />
œ, + -<br />
e, do mesmo modo,<br />
– 155–<br />
X<br />
Ä<br />
w # # #<br />
mG \m œ Ð, "Ñ + -<br />
#.<br />
A condição de se ter \−VV é assim equivalente à de os correspondentes<br />
w<br />
,ß - verificarem as condições<br />
3<br />
3<br />
# # # #<br />
œ, + -<br />
w #<br />
# #<br />
œÐ,"Ñ - .<br />
Subtraindo membro a membro estas igualdades vemos que estas condições<br />
são equivalentes às condições<br />
a segunda das quais é equivalente a<br />
# # # #<br />
3 œ, + -<br />
# w #<br />
#<br />
3 3 œ Ð#, "Ñ+ ,<br />
# w # #<br />
3 3 +<br />
,œ .<br />
#+ #<br />
Substituindo este valor de , na primeira condição do sistema atrás, vemos<br />
assim que o número de pontos \ em VV é igual ao número de reais - para<br />
w<br />
os quais se tem<br />
isto é,<br />
3<br />
# w # #<br />
# # # #<br />
3 3 +<br />
œÐ Ñ + - ,<br />
#+ #<br />
# w # # #<br />
# # Ð3 3 + Ñ<br />
- œ 3 <br />
%+ #
que é sucessivamente equivalente a<br />
# # w # # #<br />
# Ð# 3+ÑÐ3 3 + Ñ<br />
- œ ,<br />
%+ #<br />
# # w # # # w#<br />
# Ð# 3+ 3 + 3 ÑÐ# 3+ 3 + 3 Ñ<br />
c œ ,<br />
%+ #<br />
# w# w #<br />
#<br />
# ÐÐ3+Ñ 3 ÑÐ3 Ð3+ÑÑ - œ ,<br />
%+ #<br />
w w w w<br />
# Ð3+3 ÑÐ3+3 ÑÐ3 3+ÑÐ3 3+ Ñ<br />
- œ ,<br />
%+ #<br />
w # # # w #<br />
# ÐÐ33 Ñ + ÑÐ+ Ð33ÑÑ - œ .<br />
%+ #<br />
w w # w #<br />
Uma vez que, por ser 3 ! e 3 ! , tem-se Ð33 Ñ Ð33 Ñ , vai<br />
existir um, e um só, - que verifica a igualdade anterior se, e só se, o segundo<br />
membro é ! (a solução é então - œ ! ) isto é, se, e só se + œ l33 l ou w<br />
+œ33 -<br />
w , vão existir dois, e só dois, que verificam a igualdade (um<br />
simétrico do outro) se, e só se o segundo membro é maior que ! , isto é, se, e<br />
w w<br />
só se, l33 l + 33 e não vai existir nenhum - que verifica a<br />
igualdade, caso contrário. <br />
11.12 <strong>Da</strong>da uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que dois pontos<br />
Eß F − V são diametralmente opostos se são distintos e a recta EF contém<br />
G.<br />
Repare-se que, dado E−V, existe um, e um só, F−V tal que Ee Fsejam<br />
diametralmente opostos, nomeadamente o ponto de EG V distinto de E (cf.<br />
11.5).<br />
11.13 (Ângulo inscrito num diâmetro) Sejam V uma circunferência, de centro<br />
G e raio 3, e Eß F − V dois pontos diametralmente opostos. Para cada ponto<br />
Ä Ä<br />
H − V, distinto de E e de F, tem-se então que os vectores HE e HF são<br />
ortogonais.<br />
Dem: Sendo<br />
Ä<br />
? œ GE , o facto de se ter .ÐEßGÑ œ œ .ÐFßGÑ com<br />
Ä<br />
3<br />
EÁF ?<br />
Ä<br />
œGF H− E F<br />
Ä<br />
, implica que . Sendo agora V,<br />
distinto de e de ,<br />
em particular com .ÐGß HÑ œ , obtemos, pondo<br />
Ä<br />
A œ GH,<br />
Ä<br />
3<br />
A<br />
u<br />
D<br />
w<br />
C<br />
– 156–<br />
-u<br />
B
Ä Ä<br />
ØHEß HFÙ œ Ø?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
Aß ?<br />
Ä<br />
<br />
Ä<br />
AÙ œ Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ ØAß<br />
ÄÄ<br />
? Ù ØAß<br />
ÄÄ<br />
AÙ œ<br />
# #<br />
œ3 3 œ! ,<br />
Ä Ä<br />
o que mostra que os vectores HE e HF são ortogonais.<br />
<br />
11.14 (Ângulo inscrito no caso não trivial) Sejam V uma circunferência, de<br />
centro G e raio 3, e Eß F − V dois pontos distintos, não diametralmente<br />
opostos. Para cada ponto H−V, distinto de Ee de F,<br />
tem-se então:<br />
Û Û<br />
1) Se HÂnÖGEßGF× , então<br />
Û Û " Û Û<br />
. ÐÖHEßHF×Ñœ . ÐÖGEßGF×Ñ.<br />
#<br />
Û Û<br />
2) Se H−nÖGEßGF× , então<br />
A<br />
u<br />
Û Û " Û Û<br />
. ÐÖHEß HF×Ñ œ # . ÐÖGEß GF×Ñ.<br />
#<br />
D<br />
x/2<br />
w<br />
C<br />
x<br />
v<br />
B<br />
A<br />
– 157–<br />
C v<br />
B<br />
x<br />
u<br />
2-x/2<br />
w<br />
D<br />
Dem: 25 Notemos<br />
Ä Ä<br />
? œ GE, Ä Ä<br />
@ œ GF e<br />
Ä Ä<br />
A œ GH,<br />
vectores para os quais se<br />
tem assim m?<br />
Ä<br />
m œ m@<br />
Ä<br />
m œ mAm<br />
Ä<br />
œ 3.<br />
Uma vez que Eß Fß G são não colineares,<br />
os vectores<br />
ÄÄ<br />
?ß@ são também não colineares, e portanto uma base do plano<br />
vectorial<br />
Ä<br />
! associado ao plano ! . Existem assim +ß , − ‘ tais que<br />
Ä<br />
Aœ+?,@<br />
Ä Ä<br />
Û Û<br />
e, tendo em conta 9.64, tem-se H−nÖGEßGF× se, e só se, + ! e , ! ,<br />
caso em que se tem mesmo +! e ,! (senão Hpertenceria<br />
a uma das<br />
Û Û<br />
semirrectas GE e GF e teria que ser respectivamente E ou F por estar à<br />
Û Û<br />
mesma distância de G que estes), e portanto H Â nÖGEßGF× se, e só se,<br />
+! ou ,! .<br />
Notemos<br />
25 Também existe uma demonstração puramente geométrica e intuitivamente mais clara<br />
deste resultado, que evita os detalhes algébricos mas que exige que se examinem separadamente<br />
várias situações possíveis “para a figura”.
Û Û Ä Ä<br />
Bœ. ÐÖGEßGF×Ñœ. sÐGEßGFÑœ. sÐ?ß@Ñ−Ó!ß#Ò<br />
ÄÄ<br />
.<br />
Tem-se assim cos s ÐBÑ œ cos s Ð?<br />
ÄÄ Ø?ß@Ù<br />
ß @ Ñ œ œ Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù,<br />
por outras palavras,<br />
ÄÄ<br />
"<br />
m?mm@m<br />
ÄÄ 3 #<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß @ Ù œ 3 s ÐBÑ # cos , e daqui deduzimos uma relação fundamental entre os<br />
coeficientes +ß , : De<br />
# # #<br />
3 œØAßAÙœØ+?<br />
ÄÄ Ä<br />
,@ß+?<br />
Ä Ä<br />
,@ٜ+<br />
Ä<br />
Ø?ß?Ù,<br />
ÄÄ<br />
Ø@ß@Ù#+,Ø?ß@Ùœ<br />
ÄÄ ÄÄ<br />
# # # # #<br />
œ+ 3 , 3 #+, 3 cos s ÐBÑ,<br />
deduzimos que<br />
(*)<br />
# #<br />
+ , #+, cos s ÐBÑ œ " .<br />
# <strong>Da</strong>qui se deduz, em particular, que Ð+,Ñ œ"#+,Ð"cos s ÐBÑÑ,<br />
onde<br />
Û<br />
" s<br />
Û<br />
cos ÐBÑ! e portanto, se H−nÖGEßGF× , tem-se +! e ,! ,<br />
Û Û<br />
donde +," , e, se HÂnÖGEßGF× , tem-se +! ou ,! , donde<br />
+," (reparar que +,l+,le<br />
que a desigualdade é trivial se um<br />
dos números + e , for menor que ! e o outro menor ou igual a ! porque então<br />
é mesmo +,! ).<br />
Reparemos agora que, uma vez que<br />
Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ œ +Ø?<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù ,Ø?<br />
ÄÄ #<br />
ß @ Ù œ 3 Ð+ , cos s ÐBÑÑ,<br />
Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß AÙ œ +Ø@<br />
ÄÄ<br />
ß ? Ù ,Ø@<br />
ÄÄ #<br />
ß @ Ù œ 3 Ð, + cos s ÐBÑÑ,<br />
e que cos s cos s B<br />
ÐBÑ œ # Ð # Ñ " , obtemos<br />
Ä Ä<br />
ØHEßHFÙœØ?<br />
Ä<br />
Aß@<br />
ÄÄ<br />
AÙœØ?ß@ÙØ?ßAÙØAß@ÙØAßAÙœ<br />
Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ<br />
#<br />
œ3 Ðcos s ÐBÑ+, cos s ÐBÑ,+ cos s ÐBÑ"Ñœ<br />
#<br />
œ3 Ð"+,ÑÐ"s #<br />
cosÐBÑÑœ# 3 Ð"+,Ñcos<br />
s Ð Ñ<br />
B #<br />
.<br />
#<br />
Analogamente,<br />
Ä #<br />
mHEm œ Ø?<br />
Ä<br />
<br />
ÄÄ<br />
Aß? <br />
Ä<br />
AÙ œ Ø?ß?Ù<br />
ÄÄ<br />
ØAßAÙ<br />
ÄÄ<br />
#Ø?ßAÙ<br />
ÄÄ<br />
œ<br />
#<br />
œ# 3 Ð"+, cos s ÐBÑÑ,<br />
Ä #<br />
mHFm œ Ø@<br />
Ä<br />
<br />
ÄÄ<br />
Aß@ <br />
Ä<br />
AÙ œ Ø@ß@Ù<br />
ÄÄ<br />
ØAßAÙ<br />
ÄÄ<br />
#Ø@ßAÙ<br />
ÄÄ<br />
œ<br />
#<br />
œ# 3 Ð",+ cos s ÐBÑÑ,<br />
donde, aplicando várias vezes a fórmula fundamental (*) e, de novo, a<br />
igualdade cos s cos s B<br />
ÐBÑ œ # Ð Ñ " ,<br />
#<br />
– 158–
Ä # Ä # %<br />
mHEmmHFmœ% Ð"++ s ÐBÑ,, s #<br />
3 cos cosÐBÑ+ cos s ÐBÑ<br />
#<br />
#<br />
œ , cos s ÐBÑ+,+, cos s ÐBÑÑœ<br />
% # B # B<br />
œ% Ð"#+ s Ð Ñ#, s #<br />
3 cos cos Ð Ñ+ cos s ÐBÑ<br />
# #<br />
#<br />
" " "<br />
œ , cos s ÐBÑ<br />
+, s #<br />
ÐBÑ + s #<br />
cos cosÐBÑ , cos s ÐBÑÑ œ<br />
# # #<br />
% # B # B "<br />
œ % Ð" #+ s Ð Ñ #, s #<br />
3 cos cos Ð Ñ + cos s ÐBÑ <br />
# # #<br />
" #<br />
"<br />
œ , cos s ÐBÑ+, cos s ÐBÑ œ<br />
# #<br />
%<br />
# B<br />
# B<br />
œ% 3 Ð"#+ cos s Ð Ñ#, s # # B "<br />
Ð Ñ+ s<br />
#<br />
cos cos Ð Ñ + <br />
#<br />
# # #<br />
# # B " B "<br />
, s #<br />
#<br />
œ cos Ð Ñ , +,cos s Ð Ñ Ñœ<br />
# # # #<br />
% " # B # B B<br />
œ% Ð #+ s Ð Ñ#, s # #<br />
3 cos cos Ð Ñ+ cos s Ð Ñ<br />
# # # #<br />
# # B "<br />
# B<br />
œ , cos s Ð Ñ +,<br />
cos s ÐBÑ +, cos s Ð ÑÑ œ<br />
# #<br />
#<br />
% # B # B B<br />
œ% Ð#+ s Ð Ñ#, s # #<br />
3 cos cos Ð Ñ+ cos s Ð Ñ<br />
# # #<br />
# # B # B # B<br />
œ , cos s Ð Ñ#+, cos s Ð Ñcos s Ð ÑÑœ<br />
# # #<br />
% # B<br />
œ% cos s<br />
# #<br />
3 Ð ÑÐ"+ , #+ #,#+,Ñœ<br />
#<br />
% # B<br />
œ% s<br />
#<br />
3 cos Ð ÑÐ"+,Ñ.<br />
#<br />
B Reparando que ! " , e portanto s B<br />
# cosÐ#<br />
Ñ! , deduzimos que<br />
Ä Ä<br />
mHEmmHFm œ # s Ð Ñl" + ,l<br />
B<br />
3<br />
#<br />
# cos ,<br />
e portanto<br />
Ä Ä<br />
ØHEß HFÙ B<br />
Ä Ä œ„ Ð Ñ<br />
mHEmmHFm<br />
s cos ,<br />
#<br />
Û Û<br />
onde o sinal é quando +, " , isto é, H Â nÖGEßGF× , e é quando<br />
Û Û<br />
+," , isto é, H−nÖGEßGF× , tendo-se assim no primeiro caso<br />
Û Û B Û Û<br />
B<br />
. ÐÖHEß HF×Ñ œ e, no segundo . ÐÖHEß HF×Ñ œ # . <br />
# #<br />
11.15 (Potência de um ponto relativamente a uma circunferência) Seja V<br />
uma circunferência, de centro G e raio 3 . <strong>Da</strong>do um ponto T−!<br />
, chama-se<br />
# #<br />
potência de T relativamente a V ao número real Pot VÐTÑ<br />
œ .ÐGßTÑ 3<br />
.<br />
Repare-se que, por definição, tem-se que Pot VÐT Ñ œ ! se, e só se, T − V,<br />
– 159–
Pot VÐTÑ! se, e só se, T está no interior de V e Pot VÐTÑ!<br />
se, e só se, T<br />
está no exterior de V.<br />
11.16 Seja V uma circunferência, de centro G e raio 3 . Sejam T− ! e < uma<br />
recta contida em ! , com T −< . Suponhamos que
como única solução que pode ser distinta da solução +œ! . Para esse valor<br />
de + , tem-se então<br />
Ä Ä<br />
ØTEßTFÙœØ?<br />
Ä<br />
Aß@<br />
ÄÄ<br />
Aٜ<br />
Ä<br />
Ø?<br />
Ä<br />
AßÐ@<br />
Ä Ä<br />
?ÑÐA?ÑÙœ<br />
Ä Ä Ä<br />
œØA?ßA?Ù+ØA?ßA?Ùœ<br />
Ä ÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä<br />
œØA?ßA?Ù#Ø?ßA?Ùœ<br />
Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä<br />
œØA?ßA?Ùœ<br />
Ä ÄÄ Ä<br />
œ ØAßAÙ<br />
ÄÄ<br />
ØAß?ÙØ?ßAÙØ?ß?Ùœ<br />
ÄÄ ÄÄ ÄÄ<br />
œmAm<br />
Ä # #<br />
3 œPot VÐTÑ.<br />
<br />
Apêndice 1: As funções trigonométricas dos Analistas.<br />
Ap1.1 (Diferenciabilidade do limite) Sejam I e J espaços vectoriais de<br />
dimensão finita, Y §Ium aberto e Ð0Ñ 8 8−uma<br />
família de funções de<br />
" classe G , 08ÀY Ä J, tal que existam aplicações 0ÀY Ä J e<br />
-ÀY ÄPÐIàJÑ tais que 08ÐBÑÄ0ÐBÑ, para cada B−Y,<br />
e que<br />
H08BÄ- B uniformemente para B − Y . Tem-se então que 0À Y Ä J é de<br />
" classe G e, para cada B − Y, H0B œ -B.<br />
Dem: Comecemos por notar que, uma vez que cada H08ÀY ÄPÐIàJÑ é<br />
contínua e que o limite uniforme da aplicações contínuas é uma aplicação<br />
contínua, podemos concluir que -ÀY ÄPÐIàJÑ é uma aplicação contínua.<br />
Seja B! − Y arbitrário. Seja $ ! arbitrário. Seja < ! tal que a bola aberta<br />
$<br />
FÐBÑ < ! esteja contida em Y e que, para cada B−FÐBÑ < ! , m-B - B mŸ # .<br />
!<br />
Pela convergência uniforme, seja 8! tal que, sempre que 8 8! e B − Y,<br />
$ mH0 - m Ÿ . Para cada 8 8 e B − F ÐB Ñ,<br />
tem-se assim<br />
8B B #<br />
! < !<br />
mH0 - m Ÿ mH0 - m m- - m Ÿ $<br />
8B B 8B B B B<br />
! ! .<br />
Podemos agora aplicar o teorema da média à aplicação :ÀF< ÐB! ÑÄJ,<br />
definida por : ÐBÑ œ 0 ÐBÑ - ÐBÑ,<br />
para a qual se tem<br />
8 B!<br />
mH: BmœmH08B - B m Ÿ $ ,<br />
!<br />
para deduzir que, para cada 8 8! e B−FÐB < ! Ñ,<br />
m0ÐBÑ0ÐBÑ- ÐBBÑmœm: ÐBÑ: ÐBÑmŸ$ mBBm,<br />
8 8 ! B ! ! !<br />
!<br />
pelo que, passando ao limite em 8,<br />
vem também<br />
m0ÐBÑ0ÐBÑ- ÐBBÑmœm: ÐBÑ: ÐBÑmŸ$ mBBm,<br />
! B ! ! !<br />
!<br />
o que mostra que 0 é diferenciável em B e com H0 œ - .<br />
<br />
– 161–<br />
! B B<br />
! !
Ap1.2 Tendo em conta a convergência uniforme da série, em qualquer bola de<br />
centro ! , deduzimos do resultado anterior que tem lugar uma aplicação<br />
de<br />
" classe Gßexp À‚ Ä‚<br />
, a aplicação exponencial,<br />
definida por<br />
D " # " $ " %<br />
expÐDÑ œ / œ "D D D D â,<br />
# $x %x<br />
w aplicação para a qual se tem exp ÐDÑ œ expÐDÑ<br />
e que, portanto, é mesmo de<br />
classe G . _<br />
Ap1.3 A aplicação exponencial verifica as seguintes propriedades:<br />
a) expÐ!Ñ œ " ,<br />
b) expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ " , em particular tem-se expÐDÑ<br />
Á ! ;<br />
c) expÐD AÑ œ expÐDÑ ‚ expÐAÑ.<br />
Dem: A conclusão de a) resulta de substituir D por ! na expressão da série<br />
definidora. Para provarmos b), consideramos uma função :‚ À Ä ‚ definida<br />
por :ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ<br />
e reparamos que, tendo em conta a expressão<br />
da derivada da função exp,<br />
sai<br />
: w ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ expÐDÑ ‚ expÐDÑ<br />
œ !<br />
pelo que a função : é constante, portanto : ÐDÑ œ : Ð!Ñ œ " . Para provarmos<br />
c), consideremos A−‚ fixado e definamos uma função < À‚ Ä‚<br />
por<br />
expÐDÑ ‚ expÐAÑ<br />
Ñ " > , o que implica que lim expÐ>Ñ<br />
œ _.<br />
Para cada<br />
– 162–<br />
>Ä_<br />
"<br />
expÐ>Ñ<br />
expÐAÑ<br />
>Ÿ! , o facto de se ter > ! e expÐ>Ñœ implica que expÐ>Ñ!<br />
e<br />
que lim expÐ>Ñ œ ! . O facto de a restrição de exp a ‘ ser estritamente<br />
>Ä_<br />
w crescente resulta de que exp Ð>ÑœexpÐ>Ñ! . O conhecimento dos limites<br />
de exp quando >Ä_ e quando >Ä_ implica agora que o<br />
contradomínio de exp é Ó!ß _Ò e portanto que exp é uma bijecção<br />
estritamente crescente de ‘ sobre Ó!ß _Ò e o facto de se ter exp Ð>Ñ Á ! w<br />
implica, pelo teorema da função inversa, que a função inversa de exp é<br />
também de classe G . _
Ap1.5 Define-se a função logaritmo neperiano lnÀÓ!ß_ÒÄ‘ como sendo o<br />
difeomorfismo inverso do difeomorfismo expÀ‘ Ä Ó!ß_Ò,<br />
difeomorfismo<br />
w "<br />
para o qual se tem ln Ð=Ñ œ = .<br />
Dem: Pelo teorema da função inversa, tem-se<br />
w " " "<br />
ln Ð=Ñ œ œ œ . <br />
expwÐlnÐ=ÑÑ expÐlnÐ=ÑÑ =<br />
Ap1.6 Para cada complexo D, tem-se expÐDÑ œ expÐDÑ.<br />
Em consequência, se<br />
DœD, isto é, se Dœ,3 , para um certo ,−‘,<br />
então lexpÐDÑl œ " .<br />
Dem: A primeira afirmação resulta da série definidora da aplicação<br />
exponencial, tendo em conta o facto de a conjugação ser uma aplicação linear<br />
real e o de o conjugado de um produto ser o produto dos conjugados (e<br />
portanto, por indução, o conjugado de uma potência de expoente 8 é a<br />
potência de expoente 8 do conjugado). Quando D œ D,<br />
podemos assim<br />
escrever<br />
#<br />
lexpÐDÑl œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ<br />
œ " . <br />
Ap1.7 Definimos funções trigonométricas cosßsinÀ‘ Ä ‘ , pela igualdade<br />
expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ<br />
3.<br />
Ap1.8 Tendo em conta Ap1.6, tem-se lexp3>Ñl œ " , portanto, para cada > ,<br />
# #<br />
# #<br />
cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ œ ",<br />
em particular cos Ð>ÑŸ" e sin Ð>ÑŸ" , isto é, cosÐ>Ñ−Ò1 ß"Óe sinÐ>Ñ−<br />
Ò"ß "Ó.<br />
Ap1.9 Lembrando que expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ,<br />
podemos escrever<br />
cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ<br />
3,<br />
portanto<br />
cosÐ>Ñ œ cosÐ>Ñ, sinÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ. Ap1.10 Por derivação da igualdade cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ,<br />
obtemos<br />
w w<br />
cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ 3 œ 3 expÐ3>Ñ œ sinÐ>Ñ cosÐ>Ñ<br />
3,<br />
portanto<br />
w w<br />
cos Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ, sin Ð>Ñ œ cosÐ>Ñ.<br />
– 163–
Ap1.11 <strong>Da</strong> fórmula expÐ3Ð= >ÑÑ œ expÐ3=Ñ<br />
‚ exp Ð3>Ñ,<br />
deduzimos que<br />
cosÐ= >Ñ sinÐ= >Ñ 3 œ ÐcosÐ=Ñ sinÐ=Ñ 3ÑÐcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ<br />
3Ñ œ<br />
œ ÐcosÐ=ÑcosÐ>Ñ sinÐ=ÑsinÐ>ÑÑ ÐcosÐ=ÑsinÐ>Ñ sinÐ=ÑcosÐ>ÑÑ 3,<br />
de onde deduzimos as fórmulas<br />
cosÐ= >Ñ œ cosÐ=ÑcosÐ>Ñ sinÐ=ÑsinÐ>Ñ, sinÐ= >Ñ œ sinÐ=ÑcosÐ>Ñ cosÐ=ÑsinÐ>Ñ. Ap1.12 Como casos particulares de Ap1.11, temos, tendo em conta Ap1.8,<br />
# # # #<br />
cosÐ#>Ñ œ cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ œ # cos Ð>Ñ " œ " # sin Ð>Ñ,<br />
sinÐ#>Ñ œ # sinÐ>ÑcosÐ>Ñ. e portanto também, pondo >œ , =<br />
#<br />
= "cosÐ=Ñ cosÐ<br />
Ñ œ „ Ê .<br />
# #<br />
Ap1.13 Partindo da série definidora da aplicação exponencial, vemos que, com a<br />
!<br />
convenção ! œ " ,<br />
"<br />
cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ<br />
œ " 5<br />
Ð3>Ñ œ<br />
5x<br />
5œ!<br />
_ _<br />
" "<br />
œ " #8 #8<br />
3 > " #8" #8"<br />
3 > œ<br />
Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx<br />
8œ! 8œ!<br />
_ 8 _ 8<br />
Ð"Ñ Ð"Ñ<br />
œ " #8<br />
> "<br />
#8"<br />
> 3,<br />
Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx<br />
8œ! 8œ!<br />
pelo que, comparando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos a<br />
séries definidoras das funções trigonométricas,<br />
Ð"Ñ > > ><br />
cosÐ>Ñ<br />
œ " #8<br />
> œ " â,<br />
Ð#8Ñx #x %x 'x<br />
8œ!<br />
_ 8 $ & (<br />
Ð"Ñ > > ><br />
sinÐ>Ñ<br />
œ "<br />
#8"<br />
> œ > â.<br />
Ð#8"Ñx $x &x (x<br />
– 164–<br />
_<br />
_ 8 # % '<br />
8œ!<br />
Ap1.14 (Algumas avaliações das funções trigonométricas) Tem-se cosÐ!Ñ œ "<br />
" &<br />
e sinÐ!Ñœ! . Para cada !Ÿ>Ÿ" , tem-se cosÐ>Ñ # e sinÐ>Ñ<br />
'><br />
. Tem-se<br />
cosÐ#Ñ !.<br />
Dem: Os valores das funções trigonométricas em ! resultam imediatamente<br />
da substituição nas séries. Suponhamos agora que !Ÿ>Ÿ" . Tem-se então<br />
que cosÐ>Ñ e sinÐ>Ñ<br />
são também caracterizados pelas séries de termos<br />
latamente positivos
de onde deduzimos que<br />
# % ' ) "!<br />
> > > > ><br />
cosÐ>Ñ<br />
œ Ð" ÑÐ ÑÐ Ñâ<br />
#x %x 'x )x "!x<br />
$ & ( * ""<br />
> > > > ><br />
sinÐ>Ñ<br />
œ Ð> ÑÐ ÑÐ Ñâ<br />
$x &x (x *x ""x<br />
#<br />
cosÐ>Ñ<br />
><br />
" <br />
#<br />
" "<br />
" œ ,<br />
# #<br />
sinÐ>Ñ<br />
$ #<br />
> ><br />
> œ>Ð" Ñ<br />
' '<br />
" &<br />
>Ð" Ñœ > .<br />
' '<br />
Em particular, tem-se sinÐ"Ñ & , donde, por Ap1.12,<br />
'<br />
# &!<br />
cosÐ#Ñ œ " # sin Ð"Ñ Ÿ " ! . <br />
$'<br />
Ap1.15 Existe um mínimo > ! para o conjunto dos > ! tais que cosÐ>Ñ<br />
œ ! ,<br />
tendo-se "> ! # , tendo-se então cosÐ>Ñ!<br />
, para cada !Ÿ>> ! .<br />
Dem: A existência de !Ÿ># tal que cosÐ>Ñœ!<br />
é uma consequência de se<br />
ter cosÐ!Ñœ"! e cosÐ#Ñ! . O conjuntos do > ! tais que cosÐ>Ñœ!<br />
é<br />
assim fechado não vazio e minorado pelo que admite um mínimo (o seu<br />
ínfimo) > ! . O facto de se ter > ! # resulta de que, como referimos, existe um<br />
elemento ># no conjunto referido e o facto de se ter > ! " resulta de que,<br />
"<br />
para cada !Ÿ>Ÿ" , tem-se cos Ð>Ñ # ! . O facto de se ter cosÐ>Ñ !,<br />
para cada !Ÿ>> ! , resulta de que a existir um tal > com cosÐ>ÑŸ!<br />
,<br />
podíamos aplicar mais uma vez o teorema do valor intermédio para garantir a<br />
existência de =−Ò!ß>Ótal que cos Ð=Ñœ! , o que contrariava o facto de > ! ser<br />
o mínimo nessas condições. <br />
Ap1.16 Definimos o número real 1 como sendo o dobro do número real >!<br />
referido em Ap1.15 . Tem-se assim, por aquele resultado, #1 % . 27<br />
Ap1.17 A restrição da função sin ao intervalo Ò!ß # Ó é uma bijecção estritamente<br />
crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função cos ao<br />
1<br />
intervalo Ò!ß # Ó é uma bijecção estritamente decrescente deste intervalo sobre<br />
1 1<br />
o intervalo Ò!ß"Ó. Em particular, cosÐ# Ñœ! e sinÐ#<br />
ќ" .<br />
1<br />
Dem: Por definição de 1, tem-se cosÐ# Ñ œ ! e cosÐ>Ñ<br />
! , para cada<br />
1<br />
w<br />
>−Ò!ß# Ò. Uma vez que sin Ð>ÑœcosÐ>Ñ, segue-se que a restrição de sin a<br />
1 Ò!ß # Ó Ð!Ñ œ !<br />
é estritamente crescente, em particular injectiva, e, por ser , sin<br />
1 # 1 # 1<br />
tem-se sinÐ>Ñ ! , para cada > − Ó!ß # Ó. <strong>Da</strong> igualdade sin Ð # Ñ cos Ð # Ñ œ " ,<br />
# 1 1<br />
resulta que sin Ð# Ñ œ " , e portanto sinÐ#<br />
Ñ œ " . A imagem da restrição da<br />
1<br />
função sin a Ò!ß Ó é o intervalo Ò!ß "Ó,<br />
visto que contém esse intervalo, pelo<br />
#<br />
27 É uma informação um pouco pobre, mas é melhor do que nada…<br />
– 165–<br />
1
teorema do valor intermédio, e está contida nesse intervalo, por ser<br />
w estritamente crescente. Uma vez que cos Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ, tem-se, para cada<br />
1 w<br />
1<br />
>−Ó!ß# Ó, cos Ð>Ñ! , o que implica que a restrição de cos a Ò!ß# Ó é<br />
estritamente decrescente, em particular injectiva e com valores no intervalo<br />
Ò!ß "Ó. Como antes, o teorema do valor intermédio garante que a imagem por<br />
1<br />
cos do intervalo Ò!ß Ó é precisamente o intervalo Ò!ß "Ó.<br />
<br />
#<br />
1 1<br />
Ap1.18 a) As igualdades cosÐ# Ñ œ ! e sinÐ#<br />
Ñ œ " podem ser traduzidas por<br />
1 expÐ# 3Ñ œ 3.<br />
1 # # b) De a) resulta que expÐ13Ñ œ expÐ#<br />
3Ñ œ 3 œ " ( fórmula de Euler),<br />
o<br />
que pode ser traduzido por cosÐ1Ñ œ " e sinÐ1Ñ<br />
œ ! .<br />
$ 1 1 $ $<br />
c) De a) também resulta que expÐ # 3Ñ œ expÐ#<br />
3Ñ œ 3 œ 3,<br />
o que pode<br />
$ 1 $ 1<br />
ser traduzido por cosÐ # Ñ œ ! e sinÐ<br />
# Ñ œ " .<br />
# #<br />
d) De b) resulta que expÐ# 13Ñ œ expÐ1 3Ñ œ Ð"Ñ œ " œ expÐ!Ñ,<br />
o que<br />
pode ser traduzido por cosÐ# 1Ñœ " œ cosÐ!Ñ e sinÐ# 1Ñœ<br />
! œ sinÐ!Ñ.<br />
Ap1.19 As funções cosßsinÀ‘ Ä Ò"ß"Ó são periódicas, admitindo # 1 como<br />
período positivo mínimo.<br />
Dem: Comecemos por reparar que, de se ter<br />
expÐ ( > # 1) 3Ñ œ expÐ>3Ñ ‚ expÐ# 13Ñ<br />
œ expÐ>3Ñ ‚ " œ expÐ>3Ñ,<br />
podemos escrever<br />
cosÐ> # 1ÑœcosÐ>Ñ, sinÐ> # 1ÑœsinÐ>Ñ,<br />
o que mostra que #1 é um período de ambas as funções. Uma vez que estas<br />
1<br />
têm restrições injectivas ao intervalo Ò!ß # Ó,<br />
não podem admitir período<br />
1<br />
menor ou igual a # . Sendo contínuas admitem assim um período positivo<br />
mínímo que tem que ser submúltiplo inteiro de # 1. Se # 1 não fosse o período<br />
positivo mínimo, ele teria assim que ser 1. Mas as igualdades cosÐ!Ñ œ " e<br />
1<br />
cosÐ1Ñ œ " mostram que 1 não é período de cos e as igualdades sinÐ#<br />
Ñ œ "<br />
1 $ 1<br />
e sinÐ 1Ñ œ sinÐ Ñ œ " mostram que 1 não é período de sin.<br />
<br />
# #<br />
1 1<br />
Ap1.20 Tem-se cosÐ # >Ñ œ sinÐ>Ñ e sinÐ # >Ñ œ cosÐ>Ñ.<br />
Dem: Podemos escrever<br />
ou seja,<br />
1 1<br />
expÐÐ >Ñ3Ñ œ expÐ 3Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ 3 ‚ expÐ>3Ñ,<br />
# #<br />
1 1<br />
cosÐ >ÑsinÐ >Ñ3œ3‚ÐcosÐ>ÑsinÐ>Ñ3Ñœ # #<br />
œ sinÐ>Ñ cosÐ>Ñ<br />
3,<br />
donde o resultado. <br />
– 166–
Ap1.21 Tem-se cosÐ1 >Ñ œ cosÐ>Ñ e sinÐ1 >Ñ œ sinÐ>Ñ.<br />
Dem: Podemos escrever<br />
ou seja<br />
expÐÐ1 >Ñ3Ñ œ expÐ1 3Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ " ‚ expÐ>3Ñ,<br />
cosÐ1 >Ñ sinÐ1 >Ñ 3 œ ÐcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ3Ñ<br />
œ<br />
œcosÐ>ÑsinÐ>Ñ3, donde o resultado.<br />
1<br />
Ap1.22 A restrição da função sin ao intervalo Ò# ß Ó é uma bijecção estritamente<br />
1<br />
decrescente daquele intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função<br />
1<br />
cos ao intervalo Ò# ß Ó é uma bijecção estritamente decrescente daquele<br />
1<br />
intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.21,<br />
se repararmos<br />
1<br />
que a aplicação >È1> é uma bijecção estritamente decrescente de Ò# ß1Ó 1 sobre Ò!ß # Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação<br />
= È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais<br />
uma vez com inversa definida pela mesma fórmula). <br />
Ap1.23 Tem-se, tendo em conta a periodicidade de sin e cos e as fórmulas em<br />
Ap1.9,<br />
cosÐ#<br />
1 >ÑœcosÐ>ÑœcosÐ>Ñ, sinÐ#<br />
1 >ÑœsinÐ>ÑœsinÐ>Ñ. Ap1.24 A restrição da função sin ao intervalo Ò1 ß Ó é uma bijecção estritamente<br />
$ 1<br />
#<br />
decrescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó. A restrição<br />
da função<br />
cos ao intervalo Ò1 ß Ó é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo<br />
$ 1<br />
#<br />
sobre o intervalo Ò"ß !Ó.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.22 e de Ap1.23,<br />
se repararmos<br />
que a aplicação >È# 1 > é uma bijecção estritamente decrescente de<br />
$ 1 1<br />
Ò1ß # Ó sobre Ò# ß1Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a<br />
aplicação =È= é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß"Ósobre<br />
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula). <br />
Ap1.25 A restrição da função sin ao intervalo Ò # ß# Ó é uma bijecção estrita-<br />
mente crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.<br />
A restrição da<br />
$ 1 função cos ao intervalo Ò # ß# 1Ó<br />
é uma bijecção estritamente crescente deste<br />
intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó.<br />
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.23,<br />
se repararmos<br />
que a aplicação >È# 1 > é uma bijecção estritamente decrescente de<br />
$ 1 1<br />
Ò # ß# 1 Ó sobre Ò!ß # Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a<br />
aplicação =È= é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß"Ósobre<br />
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula). <br />
– 167–<br />
$ 1 1
Ap1.26 Seja W § ‚ o conjunto dos complexos de módulo " . Tem então lugar<br />
uma bijecção de Ò!ß # 1Ò<br />
sobre W,<br />
definida por<br />
> È expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ sin Ð>Ñ 3.<br />
Dem: Já verificámos em Ap1.6 que esta aplicação toma valores em W.<br />
Para<br />
verificarmos que se trata de uma bijecção sobre W,<br />
basta decompormos<br />
Ò!ß # 1 Ò como união de subconjuntos E 5,<br />
" Ÿ 5 Ÿ ) , disjuntos dois a dois, tais<br />
que a restrição da aplicação a cada E5 seja uma bijecção sobre um<br />
subconjunto F5 de W, com os F5 disjuntos dois a dois e de união W.<br />
Definimos, para isso,<br />
E" œ Ö!× , F" œ Ö"× ,<br />
1<br />
E# œ Ó!ß Ò, F# œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× ,<br />
#<br />
1<br />
E$ œ Ö × , F$ œ Ö3× ,<br />
#<br />
1<br />
E% œÓ ß1Ò, F% œÖDœ+,3−W±+!•,!× ,<br />
#<br />
E& œ Ö 1×<br />
, F& œ Ö"× ,<br />
$<br />
E' œ Ó1ß Ò, F' œ ÖD œ +,<br />
#<br />
1<br />
3−W±+!•,!× ,<br />
$ 1<br />
E( œ Ö × , F( œ Ö3× ,<br />
#<br />
$ 1<br />
E) œ Ó ß # 1Ò,<br />
F) œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× .<br />
#<br />
Reparando que, para Dœ+,3−W , se +œ! , então ,œ„" e, se ,œ! ,<br />
então +œ„" , constatamos que os conjuntos F5 são efectivamente disjuntos<br />
dois a dois de união W . Reparando, por outro lado, que, se +,3 − W,<br />
com<br />
+ œ cosÐ>Ñ , resulta de Ap1.8 que , œ „ sinÐ>Ñ,<br />
deduzimos das propriedades<br />
Ap1.17, Ap1.22, Ap1.24 e Ap1.25 que as restrições da aplicação do enunciado<br />
a cada E é efectivamente uma bijecção de E sobre F .<br />
5 5 5 <br />
– 168–