GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(b) Se M não está na recta definida por f(A) e f(B) então está num dos semi-planos
definidos por essa recta. Se M está no mesmo semi-plano que f(C) então considerese
N, no semi-plano definido por < A,B > que contém C, tal que
∠BAN ≡ ∠f(B)f(A)M e AN ≡ f(A)M
Como uma isometria preserva os ângulos, pelo axioma III-3, obtemos f(N) = M.
Se M está no semi-plano oposto a f(C) considera-se N nas mesmas condições, no
semi-plano oposto a f(C).
A
C
B
N
f(A)
f(C)
f(B)
7. Sejam r e s duas rectas. Se f(r) e f(s) não são paralelas existe M incidente em f(r) e
f(s). Como f é bijectiva, o ponto N tal que f(N) = Ms incide em r e s e portanto r e
s não são paralelas.
Proposição . 1.4 O grupo de isometrias do plano
A inversa de uma isometria é uma isometria, a composta de duas isometrias é uma isometria.
Assim, o conjunto de isometrias de um é um grupo para a composição designado por Iso(P).
(Demonstração)
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Definição . 1.5 Pontos fixos, rectas de pontos fixos, rectas globalmente invariantes
Sejam f : P −→ P uma isometria e r uma recta do plano,
• um ponto A diz-se ponto fixo de f se f(A) = A
• a recta r diz-se recta de pontos fixos de f se todos os pontos incidentes em r são fixos;
• a recta r diz-se recta globalmente invariante se para todo o ponto A incidente em r se
verifica que f(A) também é incidente em r.
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M