GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Proposição . 1.3 Propriedades das isometrias
Seja f : P −→ P uma isometria. Então:
1. f é injectiva;
2. f preserva a relação “estar entre”, de facto, C está entre A e B se e só se f(C) está
entre f(A) e f(B);
3. f preserva colinearidade, semi-rectas e semi-planos;
4. Seja △ABC um triângulo, tem-se △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C);
5. f preserva os ângulos;
6. f é sobrejectiva;
7. f preserva e o paralelismo.
(Demonstração)
1. Se A=/ B então AB ≡ AA pelo que f(A)f(B) ≡ f(A)f(A) e portanto f(A) = f(B).
2. Seja µ uma medida qualquer de segmentos. Recorde-se que um ponto C está entre A e
B se e só se µ(AB) = µ(AC) + µ(CB). Uma isometria f preserva qualquer medida de
segmentos(preservaacongruênciapordefinição)peloqueµ(f(A)f(B)) = µ(f(A)f(C))+
µ(f(C)f(B)) e portanto f(C) está entre f(A) e f(B).
3. Consequência da alínea anterior;
4. Se A, B e C não são colineares, f(A), f(B) e f(C) também formam triângulo. Aplicando
LLL obtem-se △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C);
5. Pela alínea anterior, △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C), donde ∠ABC ≡ ∠f(A)f(B)f(C).
6. Seja △ABC um triângulo fixado do plano e △f(A)f(B)f(C) o triângulo imagem. Seja
M um ponto qualquer do plano. Considerar-se-ão dois casos:
(a) M incide na recta < f(A),f(B) >;
(b) M não incide nessa recta.
Provar-se-á que em cada caso existe N ∈ P tal que f(N) = M.
(a) Suponha-se que M está na recta definida por f(A) e f(B). Se M está na mesma
semi-recta com origem f(A) passando por f(B) considere-se N na semi-recta com
origem A passando por B tal que AN ≡ f(A)M. Se M está na semi-recta oposta
considere-se N na semi-recta oposta. Por definição de isometria AN ≡ f(A)f(N) e
então o axioma III-1 assegura que f(N) = M.
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