GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

III. Isometrias
1 Isometrias na geometria absoluta
Seja G = (P, L,I) um plano de incidência verificando os axiomas I, II, III e IV.
Definição . 1.1 Isometria
Uma isometria do plano é uma aplicação f : P −→ P que envia segmentos em segmentos
congruentes com os iniciais, isto é,
Exemplos . 1.2
AB ≡ f(A)f(B) ∀A,B ∈ P
Seja (R 2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano.
1. Fixado v ∈ R 2 , definimos τv : R 2 −→ R 2 como τv(A) = A+v, para cada A ∈ R 2 . Esta
aplicação é uma isometria chamada translação pelo vector v.
Note-se que, analiticamente, τv(x1,x2) = (x1 +v1,x2 +v2), se v = (v1,v2).
2. A aplicação definida por f(x1,x2) = (λx1,λx2), para λ=/ ±1 não é uma isometria.
3. A aplicação definida por f(x1,x2) = (−x1,−x2) é uma isometria. Em geral, aplicação
definida por f(x1,x2) = (−x1 + q1,−x2 + q2) é uma isometria do plano euclidiano que
admite um único ponto fixo Ω, isto é, um único ponto tal que f(Ω) = Ω (definido por
Ω = ( q1
2
q2
, )). Esta isometria é chamada simetria central com centro o ponto Ω
2
4. A aplicação definida por g(x1,x2) = (x2,x1) é uma isometria. Observe-se que o ponto A
e g(A) são simétricos em relação à recta r ≡ y −x = 0.
g(A)
A
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