GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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Exercícios . 4.1 Indique construções com régua e compasso que resolvam os problemas propostos, justificando a construção sucintamente. 1. Fixada uma recta r e um ponto P, construir a perpendicular a r incidente em P. 2. Fixada uma recta r e um ponto P, construir a paralela a r incidente em P. 3. Construir a mediatriz e o ponto médio de um segmento AB. 4. Construir a bissectriz de um ângulo fixado ∠{h+,k+}. 5. Fixados dois pontos A e B, construir o ponto C, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AC = √ 2AB. 6. Fixados dois pontos A e B, construir o ponto C, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AC = λAB para os valores seguintes de λ: 3/5, √ 2, √ 3/2, 4√ 2, 1+√ 5 2 7. Construir quadrado com base AB. 8. Construir um hexágono regular com base AB (ajuda: cosπ/3 = 1/2) 9. Construir um pentágono regular com base AB (ajuda: consultar a proposição 11 do Livro IV dos Elementos) 10. Construir um triângulo equilátero com a àrea igual à àrea de um quadrado dado. 96
III. Isometrias 1 Isometrias na geometria absoluta Seja G = (P, L,I) um plano de incidência verificando os axiomas I, II, III e IV. Definição . 1.1 Isometria Uma isometria do plano é uma aplicação f : P −→ P que envia segmentos em segmentos congruentes com os iniciais, isto é, Exemplos . 1.2 AB ≡ f(A)f(B) ∀A,B ∈ P Seja (R 2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano. 1. Fixado v ∈ R 2 , definimos τv : R 2 −→ R 2 como τv(A) = A+v, para cada A ∈ R 2 . Esta aplicação é uma isometria chamada translação pelo vector v. Note-se que, analiticamente, τv(x1,x2) = (x1 +v1,x2 +v2), se v = (v1,v2). 2. A aplicação definida por f(x1,x2) = (λx1,λx2), para λ=/ ±1 não é uma isometria. 3. A aplicação definida por f(x1,x2) = (−x1,−x2) é uma isometria. Em geral, aplicação definida por f(x1,x2) = (−x1 + q1,−x2 + q2) é uma isometria do plano euclidiano que admite um único ponto fixo Ω, isto é, um único ponto tal que f(Ω) = Ω (definido por Ω = ( q1 2 q2 , )). Esta isometria é chamada simetria central com centro o ponto Ω 2 4. A aplicação definida por g(x1,x2) = (x2,x1) é uma isometria. Observe-se que o ponto A e g(A) são simétricos em relação à recta r ≡ y −x = 0. g(A) A 97
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GEOMETRIA BÁSICA Lucía Fernández
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Notas: • Estes apontamentos foram
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1 Os axiomas de incidência Defini
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3. O plano de incidência cujos pon
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3. Seja B1 o ponto na semi-recta de
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A C (Demonstração) Seja △ABC u
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donde AC ≡ CB. Só falta verifica
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obter que A ∈ h+ e B ∈ k+. Apli
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