GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

A relação entre o lado L de um triângulo equilátero e o raio da circunferência circunscrita
é
√
3
L = 2Rsin(π/3) = 2R
2 = √ 3R
que é uma proporção construtível. No caso do heptágono regular, a relação é
L = 2Rsin(π/7)
e sin(π/7) não é constructível pelo que o heptágono regular não pode ser construído a partir
do lado usando régua e compasso. De facto, o teorema de Gauss-Wantzel diz-nos que
“ um polígono regular de n lados é constructível se e só se n = 2 k p1...ps, com pi
primos de Fermat diferentes”
Gauss provou que para esse valores de n os polígonos são constructíveis (condição suficiente)
e Pierre Wantzel que os outros não o são (condição necessária). Na realidade, o que
Wantzel provou em 1837 foi uma condição necessária (mas não suficiente) para um número ser
constructível:
Todo o número constructível x é raiz de um polinómio com coeficientes inteiros e o
grau do polinómio minimal admitindo x como raiz é uma potência de 2.
Esta condição permitiu dar uma resposta negativa aos conhecidíssimos Problemas Clássicos
da Geometria, propostos já pela geometria grega:
Trisecção de um ângulo Dividir um ângulo dado em três angulos iguais.
Em geral não é possível. Por exemplo, se se conseguisse trisectar com régua e compasso o ângulo π/3, isto é,
construir o ângulo π/9, então cos(π/9) seria constructível (e não é pelo teorema de Wantzel). Um exemplo de
ângulo que se pode trisecar é π (cosπ/3 = 1/2 que é obviamente constructível).
Duplicação do cubo Dado um cubo de lado L construir o lado do cubo com o dobro do
volume.
O lado do cubo D com o dobro do volume deve verificar D 3 = 2L 3 pelo que D = 3√ 2L e 3√ 2 não é constructível
(Wantzel).
Quadratura do círculo Dado um círculo de raio R construir um quadrado com a mesma
área.
O lado do quadrado L deve verificar L = √ πR. (Carl Louis Ferdinand von Lindemann provou que π era trascen-
dente em 1884).
Salienta-se que os dois primeiros problemas não tem solução usando régua e compasso
mas podem resolver-se facilmente admitindo outro tipo de instrumentos (como uma ”régua
marcada” ou neusis)
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