GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Finalmente, para obter o segmento na proporção λ −1 , consideramos os segmentos considerando AB ∼ = AC e
AD = λAB colocados como indica a figura seguinte. Traçando primeiro a recta DC e de seguida a recta paralela
passando por B obtemos o ponto M tal que AM = λ −1 AB.
A
λ −1 AB
M
AB
AB
B
λAB
C
3. Se existe um segmento na proporção λ com o segmento inicial então é possível construir
um segmento na proporção √ λ.
D
Considerar os segmentos AB e AC = λAB colocados como indica a figura. Construir o ponto médio D entre B e C
e traçar a circunferência com diâmetro BC (que tem raio ( λ+1
)AB). O ponto M intersecção dessa circunferência
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com a perpendicular passando por A verifica que AM = √ λAB.
√ λAB
M
B A
AB
( λ+1
2 )AB
D
λAB
4. As proporções obtidas pelos procedimentos anteriores são as únicas possíveis.
A ideia é simples: nas construções com régua e compasso um ponto novo só pode ser construído (a) como intersecção
de duas rectas que já existem, (b) como intersecção de uma recta e uma circunferência que já existem, (c) como
intersecção de duas circunferências que já existem. Se traduzimos estas propriedades geométricas à linguagem
algébrica, introduzindo coordenadas, obtemos que as coordenadas de um ponto novo são soluções de equações de
ordem 2 nas coordenadas que já existem. A formalização desta ideia para obter uma prova rigorosa precisa da
Teoria de corpos.
Por exemplo, são proporções construtíveis 3/5, √ 2, √ 3/2, 4√ 2, 1+√5 ...
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