GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exercícios . 1.6
1. Enuncie os axiomas de incidência usando a linguagem lógica.
2. Considere-se o plano de incidência afim G = (P,L,I) onde:
P = R 2 L = { Rectas afins de R 2 }
e como relação de incidência a relação de pertença usual. (Recorde-se que uma recta afim de R 2
é um subconjunto definido por uma equação cartesiana ax+by +c = 0, com (a,b)=/ (0,0))
(a) Mostre que este plano verifica os axiomas de incidência.
(b) Qual a condição nas equações cartesianas para duas rectas serem paralelas? Determine a
equação cartesiana da recta incidente num ponto M = (m1,m2) e paralela à recta definida
por ax+by +c = 0.
3. Considere o plano de incidência G = (PL,I) onde:
• P = R 2 ;
• L é o conjunto das circunferências em R 2 de raio 1, isto é, uma “recta” deste plano é uma
circunferência C (a,b) de raio 1 centrada num ponto (a,b) ∈ R 2 ;
• a relação de incidência é definida como: um “ponto” M incide numa “recta” C (a,b) quando
o ponto for o centro da circunferência, isto é, M = (a,b).
Analise se este plano verifica cada um dos axiomas de incidência. Comente a afirmação: “neste
plano de incidência duas rectas distintas são sempre paralelas”.
4. Prove a proposição 1.4
A partir de agora chamaremos plano apenas aos planos de incidência
que verificam os axiomas I-1, I-2 e I-3.
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