GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 3.22 Circunferências de Apolonio
Sejam A e A ′ dois pontos distintos do plano euclidiano, e λ um real positivo, λ=/ 1. O conjunto
C(A,A ′ ,λ) = {P ∈ R 2 : AP = λA ′ P}
é uma circunferência com centro um ponto O exterior ao segmento AA ′ e raio r verificando:
OA = λ 2 OA ′
r 2 = OA·OA ′
(Demonstração)
Seja P um ponto do conjunto C(A,A ′ ,λ), não colinear com A e A ′ . Considere-se C a
circunferência incidente em P, A e A ′ . Note-se que P não incide na mediatriz m de AA ′ e
portanto existe um ponto O intersecção da tangente a C em P e a recta < A,A ′ >. Se P incide
no mesmo semi-plano definido por m que A ′ , então A ′ está entre A e O e ∠OPA ′ ≡ ∠PAA ′ .
Como o ângulo ∠POA é comum, os triângulos △OA ′ P e △OPA são semelhantes e tem-se
OP OP PA
= =
OA ′ OA A ′ P
donde OA = λ 2 OA ′ e OP 2 = OA·OA ′ . Note-se que a condicção OA = λ 2 OA ′ determina um
único ponto O exterior ao segmento AA ′ (c.f. exercícios ??). E como ela é verificada por O
é independente do ponto P escolhido tem-se que o ponto O obtido por este procedimento é
sempre o mesmo.
Reciprocamente, seja P um ponto incidente na circunferência centrada em O de raio r, nas
condicções do enunciado. Como
OP OA
=
OA ′ OP
e A e A ′ incidem na mesma semi-recta de origem O, tem-se que ∠POA ≡ ∠A ′ OP. Pelo critério
LAL de triângulos semelhantes, △POA e △A ′ OP são semelhantes, logo
Note-se que, pelas hipóteses,
donde
AP
A ′ P
OP OA
= =
OA ′ OP
OP OA
· = λ2
OA ′ OP
OP OA AP
= =
OA ′ OP A ′ P
89
= λ
= λ