GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2. Se P incide na mediatriz m, tem-se m =< O,P > e portanto m é perpendicular a tp.
Como m é perpendicular a < A,B > deduz-se que < A,B > /tP. Reciprocamente, se
tp/ < A,B > enão < O,P > é perpendicular a < A,B > e então < O,P > é a mediatriz
de AB.
3. Note-seque, pelaalíneaanterior, seP nãoincidenamediatriz, atangente emP intersecta
obrigatoriamente a recta < A,B > num ponto Q (que sempre será exterior ao segmento
AB pela primeira alínea).
(a) Consideram-se dois casos: a tangente tP paralela a m ou tP não paralela a m. Se
tP é paralela a m então todos os pontos de tP incidem no mesmo semi-plano que P
e B e assim Q incide em HB.
Se a tangente tP não é paralela a m, seja P ′ o ponto de incidência de m e tP. O
triângulo ∠P ′ PO é rectângulo em P portanto m∠PP ′ O < π/2. Pelo V Postulado,
as rectas tP e < A,B > incidem no semi-plano onde a soma dos ângulo seja inferior
a π que é HB.
(b) Note-se que os pontos interiores do ângulo ∠POB são interiores ao semi-plano HB
e portanto A não é interior ao ângulo ∠POB.
m
tp
P
α
O
Q
B
Se α = m∠BPO, como △POB é isósceles, obtemos que m∠POB = π − 2α. Finalmente,
usando o teorema do ângulo ao centro e o facto de tP e < O,P > serem
perpendiculares obtemos:
m∠PAB = π π
−α m∠QPB =
2 2 −α
88
A