GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
Se C e C ′ são ortogonais em P então o triângulo de vértices α, α ′ e P é rectângulo e o resultado
deduz-se do Teorema de Pitágoras. Reciprocamente, se d 2 = r 2 + (r ′ ) 2 o teorema sobre a
continuidade circular assegura que C e C ′ são secantes em dois pontos P e P ′ . Pelo recíproco do
Teorema de Pitágoras, cada um dos dois pontos de intersecção forma um triângulo é rectângulo
com os centros O e O ′ das circunferências.
Proposição . 3.21 Tangentes e cordas
Seja C uma circunferência do plano euclidiano, AB uma corda de C e m a mediatriz desta
corda. Designamos por HA e HB os semi-planos definidos por m e incidentes em A e B,
respectivamente. Definem-se os conjuntos
CA := C ∩HA CB := C ∩HB
Dado um ponto P ∈ C designar-se-á por tP a tangente a C em P.
1. Se P=/ A,B, então tP não intersecta nenhuma corda de C.
2. P incide na mediatriz m se e só se tp/ < A,B >;
3. Se P incide no semi-plano HB então
(a) a tangente tP intersecta a recta < A,B > num ponto Q desse semi-plano HB,
(b) o ponto Q verifica
m
(Demonstração)
tp
P
∠QPB ≡ ∠PAB
O
Q
1. Aplica-se o teorema de Pitágoras duas vezes: se M está numa corda então OM < r, se
M incide numa tangente, com M=/ P, então OM > r.
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B
A