GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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Proposição . 3.18 O Teorema das Duas Tangentes Sejam C uma circunferência de centro O e raio r e P um ponto exterior a uma circunferência (isto é, OP > r). Existem exactamente duas tangentes à circunferência C incidentes em P. (Demonstração) Sejam M o ponto médio entre O e P e C ′ a circunferência centrada em M e raio MP. Pelo teorema da continuidade circular, C e C ′ são secantes em pontos R e R ′ . Note-se que OP é um diâmetro da circunferência C ′ e portanto os ângulos ∠ORP e ∠OR ′ P são rectos. O M Definição . 3.19 Circunferências ortogonais Duas circunferências C, C ′ são ortogonais num ponto P ∈ C ∩C ′ se as tangentes em P a C e C ′ são perpendiculares. Proposição . 3.20 Caracterização de circunferências ortogonais Sejam C e C ′ duas circunferências de centros O, O ′ e raios r e r ′ . C e C ′ são ortogonais se e só se d 2 = r 2 +(r ′ ) 2 com d = OO ′ . 86 P
(Demonstração) Se C e C ′ são ortogonais em P então o triângulo de vértices α, α ′ e P é rectângulo e o resultado deduz-se do Teorema de Pitágoras. Reciprocamente, se d 2 = r 2 + (r ′ ) 2 o teorema sobre a continuidade circular assegura que C e C ′ são secantes em dois pontos P e P ′ . Pelo recíproco do Teorema de Pitágoras, cada um dos dois pontos de intersecção forma um triângulo é rectângulo com os centros O e O ′ das circunferências. Proposição . 3.21 Tangentes e cordas Seja C uma circunferência do plano euclidiano, AB uma corda de C e m a mediatriz desta corda. Designamos por HA e HB os semi-planos definidos por m e incidentes em A e B, respectivamente. Definem-se os conjuntos CA := C ∩HA CB := C ∩HB Dado um ponto P ∈ C designar-se-á por tP a tangente a C em P. 1. Se P=/ A,B, então tP não intersecta nenhuma corda de C. 2. P incide na mediatriz m se e só se tp/ < A,B >; 3. Se P incide no semi-plano HB então (a) a tangente tP intersecta a recta < A,B > num ponto Q desse semi-plano HB, (b) o ponto Q verifica m (Demonstração) tp P ∠QPB ≡ ∠PAB O Q 1. Aplica-se o teorema de Pitágoras duas vezes: se M está numa corda então OM < r, se M incide numa tangente, com M=/ P, então OM > r. 87 B A
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