GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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Definição . 3.14 Circunferências tangentes e secantes. Duas circunferências dizem-se tangentes se incidem num único ponto. Duas circunferências dizem-se secantes se incidem em dois pontos. Recorde-se que duas circunferências distintas incidem, no máximo, em dois pontos. Teorema . 3.15 Caracterização das circunferências tangentes Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente. As circunferências C e C ′ são tangentes se e só se se verifica alguma das igualdades seguintes: d = r +r ′ r = d+r ′ r ′ = d+r com d = OO ′ , ou, equivalentemente, se se verifica d 2 = (r ±r ′ ) 2 . (Demonstração) Se C e C ′ são tangentes em P então O, P e O ′ devem sem colineares (se não fossem o ponto P ′ simétrico de P em relação à recta < O,O ′ > incidiria nas duas circunferências). Os três casos possíveis O ∈ O ′ P, O ′ ∈ OP ou P ∈ OO ′ implicam as igualdades possíveis. Reciprocamente, se se verificar alguma dessas três igualdades, é possível definir um único ponto incidindo em C e C ′ O O’ P Por exemplo, se d = r + r ′ , considera-se um ponto P entre O e O ′ que verifique OP = r. Note-se que, se existir um outro ponto P ′ incidindo em C e C ′ , ter-se-ia OP ′ = r, O ′ P ′ = r ′ e como OO ′ = OP ′ +P ′ O ′ , o ponto P ′ está obrigatoriamente entre O e O ′ e assim P = P ′ . Teorema . 3.16 Teorema das duas circunferências ou da continuidade circular Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente. As circunferências C e C ′ são secantes se e só se se verificam as três condições seguintes: com d = OO ′ . (Demonstração) d < r +r ′ , r < d+r ′ O P O’ r ′ < d+r Se C e C ′ são secantes num ponto P ter-se-á (desigualdade triangular) d ≤ r +r ′ r ≤ d+r ′ r ′ ≤ d+r E estas desigualdades devem ser estritas para as circunferências não serem tangentes (resultado anterior). 84
O P r r’ P’ d Reciprocamente, as três desigualdades estritas asseguram a existência (proposição 2.1) de um pontoP, queformacomO eO ′ umtriânguloverificandoOP = r eO ′ P = r ′ , ouseja, asseguram a existência de um ponto P ∈ C ∩C ′ . Se se considerar o ponto P ′ , reflexão de P em relação à recta < O,O ′ > tem-se que P ′ verifica OP ′ = OP = r e O ′ P ′ = r ′ , com P=/ P ′ logo P ′ ∈ C∩C ′ . Note-se que C e C ′ são obrigatoriamente circunferências distintas porque d = OO ′ =/ 0. Proposição . 3.17 Proposição 1 de Euclides Fixado um segmento AB existe um triângulo equilátero de lado AB. (Demonstração) Considerem-se as circunferências C e C ′ centradas nos pontos A e B com raio AB. Pelo teorema 3.16, C e C ′ incidem em dois pontos P e P ′ e os triângulos △ABP e △ABP ′ são equiláteros. A construção geométrica é indicada na figura: P A B Saliente-se que a demonstração deste resultado, nos Elementos, apresenta um “erro básico”: Euclidesnãojustificaofactodasduascircunferênciasseintersectarem. Etrata-sedeumdetalhe importante: é necessário assumir os axiomas de continuidade para justificar este passo. 85 O’
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O<br />
P<br />
r r’<br />
P’<br />
d<br />
Reciprocamente, as três desigualdades estritas asseguram a existência (proposição 2.1) de um<br />
pontoP, queformacomO eO ′ umtriânguloverificandoOP = r eO ′ P = r ′ , ouseja, asseguram<br />
a existência de um ponto P ∈ C ∩C ′ . Se se considerar o ponto P ′ , reflexão de P em relação à<br />
recta < O,O ′ > tem-se que P ′ verifica OP ′ = OP = r e O ′ P ′ = r ′ , com P=/ P ′ logo P ′ ∈ C∩C ′ .<br />
Note-se que C e C ′ são obrigatoriamente circunferências distintas porque d = OO ′ =/ 0.<br />
Proposição . 3.17 Proposição 1 de Euclides<br />
Fixado um segmento AB existe um triângulo equilátero de lado AB.<br />
(Demonstração)<br />
Considerem-se as circunferências C e C ′ centradas nos pontos A e B com raio AB. Pelo teorema<br />
3.16, C e C ′ incidem em dois pontos P e P ′ e os triângulos △ABP e △ABP ′ são equiláteros.<br />
A construção geométrica é indicada na figura:<br />
P<br />
A B<br />
Saliente-se que a demonstração deste resultado, nos Elementos, apresenta um “erro básico”:<br />
Euclidesnãojustificaofactodasduascircunferênciasseintersectarem. Etrata-sedeumdetalhe<br />
importante: é necessário assumir os axiomas de continuidade para justificar este passo.<br />
85<br />
O’
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